高中數學 第一章 常用邏輯用語 教材點撥充分條件與必要條件素材 北師大版選修11.doc

充分條件與必要條件教材點撥一、充分條件圖1-1bac命題的條件和結論是構成命題的兩個部分，并且條件和結論可以互相轉化。當一個命題為假命題時，可以說條件不能推出結論；而當命題為真命題時，可以說由此條件能推出結論。所以一個命題從條件和結論的角度看，條件與結論有著一定的關系，即：由條件能否推出結論？如果由命題的條件能推出結論，那么命題就是真命題，此時條件就叫結論的充分條件。物理模型的直觀解釋：如圖1-2-1 電路圖，當開關a閉合時，燈泡b亮，而當燈泡b亮時，開關a卻不一定是閉合的；即要使燈泡b亮，只要開關a閉合著一個條件就夠了，我們就稱“開關a閉合”是“燈泡b亮”的充分條件。一般地，“若，則”是一個真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作，那么，就稱條件是結論的充分條件（sufficient condition）。“若，則”是一個真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作，那么，就稱是的充分條件（sufficient condition）。例如：，那么，“”是“”成立的充分條件；，那么，“”是“”成立的充分條件；三邊對應相等的兩個三角形全等：“三邊對應相等”是“兩個三角形全等”的充分條件；“”是函數為冪函數的充分條件；警示：充分條件就是某一個結論成立應該具備的條件，當命題具備此條件時，就可以得出此結論，或者要是此結論成立，只要具備此條件就夠了，而當命題不具備此條件時，結論也有可能成立。例如，當時，成立，但是，當時，也可以成立，即時，也成立，所以，是成立的充分條件，也是成立的充分條件?！纠糠抡帐纠膶懴铝忻}，并判斷條件是否為充分條件：示例：若，則，可以改寫成：；是充分條件；（1）個位數字是0的自然數能被5整除；（2）對角線相等的四邊形是矩形；（3）與同一平面所成的角相等的兩條直線平行；（4）若定義域為的函數為奇函數，則解：（1）個位數字是0的自然數這個自然數能被5整除；是充分條件；（2）四邊形的對角線相等這個四邊形是矩形；不是充分條件；（3）兩條直線與同一平面所成的角相等這兩條直線平行；不是充分條件；（4）定義域為的函數為奇函數；是充分條件。點撥:本例還是練習命題的條件和結論，同時判斷此命題的真假，由命題的真假可以判斷條件是否為充分條件，當命題為真時，條件是充分條件；當命題為假時，條件不是充分條件。針對性練習：下列各題中，哪些是的充分條件：（1）：且，：；（2）：，：；（3）：，：；（4）：直線平面，：。解：（1）是的充分條件；（2）是的充分條件；（3）不是的充分條件；（4）不是的充分條件；點撥：可以用兩種方法判斷：（一）判斷命題的真假，如（4）是命題如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面內的任意一條直線都平行，是假命題；（二）由：（1）因為且所以，即；（2）由得：代入得：=右邊；bac圖1-2（3）觀察，式子的正負是由和兩個式子的符號確定的，不能由一個式子的符號確定。二、必要條件如圖1-2 電路圖，當開關a閉合時，燈泡b不一定亮，但是當開關a不閉合時，燈泡b一定不亮；當燈泡b亮時，可以知道開關a一定是閉合的；所以要使燈泡b亮，開關a必須是閉合的，我們稱開關a閉合是燈泡b亮的必要條件。一般地，“若，則”是一個真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作“”那么，結論是條件的必要條件（necessary condition）?！叭?，則”是一個真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作“”，那么，就稱是的必要條件（necessary condition）。 警示：由必要條件的定義可以看出，必要條件與充分條件是一個真命題的兩種說法：真命題的條件是充分條件，真命題的結論是條件的必要條件，即如果此結論不成立，那么條件也就不成立。 假命題的條件不是命題結論成立的充分條件，但是有可能是必要條件，例如，命題：“若：，則：”是假命題，不是的充分條件；由，所以是的必要條件。 【例】已知命題“若：，則：無實數根”，試判斷是的什么條件？是的什么條件？解： 是的充分條件，不是必要條件，是的必要條件，不是充分條件。 點撥：方法（一）方程無實數根，所以，所以當時，方程無實數根，是的充分條件，是的必要條件，又因為由不能推出，所以由不能推出，不是的充分條件，不是的必要條件。方法（二）命題“：，：無實數根”等價于“：，：”，因為，所以命題“若：，則：”為真命題，命題“若：，則：”是假命題，由命題的真假來判斷充分條件和必要條件。針對性練習：判斷下列各命題中，是的什么條件？是的什么條件？（1）：，：；（2）：，：；（3）：，：直線與直線互相垂直；（4）：，：解：（1）是的充分條件，不是必要條件，是必要條件，不是充分條件；（2）是的必要條件，不是充分條件，是充分條件，不是必要條件；（3）是的充分條件，不是必要條件，是必要條件，不是充分條件；（4）是的必要條件，不是充分條件，是充分條件，不是必要條件； 點撥：（1）（2）根據不等式的性質可以判斷；（3）（4）驗證法和直接推導相結合。三、充要條件利用下列電路圖，我么可以形象的理解充分條件、必要條件、充要條件：如圖1-3的四個電路圖甲、乙、丙、丁，開關為a，c，燈泡為b，將“開關的閉合”作為條件，“燈泡亮”作為結論b甲bac乙b丙bac丁圖1-3圖乙中，開關a閉合時，燈泡b不一定亮，即由開關a閉合，不能推出燈泡b亮，但是當燈泡b亮時，開關a一定是閉合的，即由燈泡b亮，一定能推知開關a閉合，我們稱“開關a閉合”是“燈泡b亮”的必要不充分條件；圖丁中，“開關a閉合”不能推知“燈泡b亮”，即由開關a閉合，不能推出燈泡b亮，而當燈泡b亮時，也不能確定開關a是否閉合，即由燈泡b亮，也不能推知開關a閉合，所以，我們稱“開關a閉合”是“燈泡b亮”的既不充分也不必要條件。圖甲，請同學們畫出開關a，c，使得當開關a閉合時，燈泡b亮，而當燈泡b亮時，開關a不一定閉合，即由開關a閉合，能推知燈泡b亮，由燈泡b亮，推知開關a不一定是閉合，此時稱“開關a閉合”是“燈泡b亮”的充分也不必要條件；圖丙，請同學們畫出開關a，使得開關a閉合，則燈泡b亮；燈泡b亮時，開關a閉合，即“開關a閉合”是“燈泡b亮”的充分必要條件，簡稱為充要條件。再如，已知：數列是等差數列，：對任意的，有（常數）。我們知道，由，且，所以既是的充分條件，又是的必要條件；我們就稱是的充分必要條件，簡稱充要條件。我們還可以發(fā)現，既是的充分條件，又是必要條件，所以也是的充要條件。 一般地，如果既有，又有，就記作：此時，我們說，是的充分必要條件，簡稱充要條件（sufficient and necessary condition）,顯然，如果是的充要條件，那么也是的充要條件。 概括地說，如果，那么與互為充要條件。引申與思考：（1）命題成立的條件一共可以分為四種條件：充分不必要條件，即但是；必要不充分條件：但是；充要條件：且；既不充分也不必要的條件：即且。（2）充要條件的意義是：是的充要條件就是“有，則必成立；無，則必不成立”，簡記為“有之必有果，無之則無果”。（3）判斷四種條件的步驟是：第一步，分清條件是什么，結論是什么；第二步，嘗試用條件推結論（證明充分性），再嘗試用結論（作為條件）去推條件（證明必要性）。其中列舉反例法是得出不具有充分性和必要性的重要方法。第三步，得出條件是結論的什么條件。（4）圖甲，將兩個開關a，c并聯后與燈泡b串聯；圖丙，【例】判斷下列條件，是的什么條件？（1）中，是的中點，：，：（2）：若函數過原點，： （3）：，：直線與圓相切 （4）已知為在同一平面內的非零向量。：，： 解：（1）（2）的是的充要條件；（3）是的充分不必要條件；（4）是的必要不充分條件，點撥：（1）（2）需要判斷充分性和必要性，分兩步來證明。（3）當時，直線與圓也相切；（4）需要熟練的向量知識，因為，所以，所以只要在上的投影相等，不一定有，例如，而，仍有。當時，與相等，所以有。針對性練習：下列命題中：（）中，垂足為，：，：，則是的充要條件；（2）“”是“”的必要條