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文檔簡介
充分條件與必要條件教材點撥一、充分條件圖1-1bac命題的條件和結論是構成命題的兩個部分,并且條件和結論可以互相轉化。當一個命題為假命題時,可以說條件不能推出結論;而當命題為真命題時,可以說由此條件能推出結論。所以一個命題從條件和結論的角度看,條件與結論有著一定的關系,即:由條件能否推出結論?如果由命題的條件能推出結論,那么命題就是真命題,此時條件就叫結論的充分條件。物理模型的直觀解釋:如圖1-2-1 電路圖,當開關a閉合時,燈泡b亮,而當燈泡b亮時,開關a卻不一定是閉合的;即要使燈泡b亮,只要開關a閉合著一個條件就夠了,我們就稱“開關a閉合”是“燈泡b亮”的充分條件。一般地,“若,則”是一個真命題,是指由通過推理可以得出,即由可推出,記作,那么,就稱條件是結論的充分條件(sufficient condition)。“若,則”是一個真命題,是指由通過推理可以得出,即由可推出,記作,那么,就稱是的充分條件(sufficient condition)。例如:,那么,“”是“”成立的充分條件;,那么,“”是“”成立的充分條件;三邊對應相等的兩個三角形全等:“三邊對應相等”是“兩個三角形全等”的充分條件;“”是函數為冪函數的充分條件;警示:充分條件就是某一個結論成立應該具備的條件,當命題具備此條件時,就可以得出此結論,或者要是此結論成立,只要具備此條件就夠了,而當命題不具備此條件時,結論也有可能成立。例如,當時,成立,但是,當時,也可以成立,即時,也成立,所以,是成立的充分條件,也是成立的充分條件?!纠糠抡帐纠膶懴铝忻},并判斷條件是否為充分條件:示例:若,則,可以改寫成:;是充分條件;(1)個位數字是0的自然數能被5整除;(2)對角線相等的四邊形是矩形;(3)與同一平面所成的角相等的兩條直線平行;(4)若定義域為的函數為奇函數,則解:(1)個位數字是0的自然數這個自然數能被5整除;是充分條件;(2)四邊形的對角線相等這個四邊形是矩形;不是充分條件;(3)兩條直線與同一平面所成的角相等這兩條直線平行;不是充分條件;(4)定義域為的函數為奇函數;是充分條件。點撥:本例還是練習命題的條件和結論,同時判斷此命題的真假,由命題的真假可以判斷條件是否為充分條件,當命題為真時,條件是充分條件;當命題為假時,條件不是充分條件。針對性練習:下列各題中,哪些是的充分條件:(1):且,:;(2):,:;(3):,:;(4):直線平面,:。解:(1)是的充分條件;(2)是的充分條件;(3)不是的充分條件;(4)不是的充分條件;點撥:可以用兩種方法判斷:(一)判斷命題的真假,如(4)是命題如果一條直線與一個平面平行,那么這條直線與這個平面內的任意一條直線都平行,是假命題;(二)由:(1)因為且所以,即;(2)由得:代入得:=右邊;bac圖1-2(3)觀察,式子的正負是由和兩個式子的符號確定的,不能由一個式子的符號確定。二、必要條件如圖1-2 電路圖,當開關a閉合時,燈泡b不一定亮,但是當開關a不閉合時,燈泡b一定不亮;當燈泡b亮時,可以知道開關a一定是閉合的;所以要使燈泡b亮,開關a必須是閉合的,我們稱開關a閉合是燈泡b亮的必要條件。一般地,“若,則”是一個真命題,是指由通過推理可以得出,即由可推出,記作“”那么,結論是條件的必要條件(necessary condition)?!叭?,則”是一個真命題,是指由通過推理可以得出,即由可推出,記作“”,那么,就稱是的必要條件(necessary condition)。 警示:由必要條件的定義可以看出,必要條件與充分條件是一個真命題的兩種說法:真命題的條件是充分條件,真命題的結論是條件的必要條件,即如果此結論不成立,那么條件也就不成立。 假命題的條件不是命題結論成立的充分條件,但是有可能是必要條件,例如,命題:“若:,則:”是假命題,不是的充分條件;由,所以是的必要條件。 【例】已知命題“若:,則:無實數根”,試判斷是的什么條件?是的什么條件?解: 是的充分條件,不是必要條件,是的必要條件,不是充分條件。 點撥:方法(一)方程無實數根,所以,所以當時,方程無實數根,是的充分條件,是的必要條件,又因為由不能推出,所以由不能推出,不是的充分條件,不是的必要條件。方法(二)命題“:,:無實數根”等價于“:,:”,因為,所以命題“若:,則:”為真命題,命題“若:,則:”是假命題,由命題的真假來判斷充分條件和必要條件。針對性練習:判斷下列各命題中,是的什么條件?是的什么條件?(1):,:;(2):,:;(3):,:直線與直線互相垂直;(4):,:解:(1)是的充分條件,不是必要條件,是必要條件,不是充分條件;(2)是的必要條件,不是充分條件,是充分條件,不是必要條件;(3)是的充分條件,不是必要條件,是必要條件,不是充分條件;(4)是的必要條件,不是充分條件,是充分條件,不是必要條件; 點撥:(1)(2)根據不等式的性質可以判斷;(3)(4)驗證法和直接推導相結合。三、充要條件利用下列電路圖,我么可以形象的理解充分條件、必要條件、充要條件:如圖1-3的四個電路圖甲、乙、丙、丁,開關為a,c,燈泡為b,將“開關的閉合”作為條件,“燈泡亮”作為結論b甲bac乙b丙bac丁圖1-3圖乙中,開關a閉合時,燈泡b不一定亮,即由開關a閉合,不能推出燈泡b亮,但是當燈泡b亮時,開關a一定是閉合的,即由燈泡b亮,一定能推知開關a閉合,我們稱“開關a閉合”是“燈泡b亮”的必要不充分條件;圖丁中,“開關a閉合”不能推知“燈泡b亮”,即由開關a閉合,不能推出燈泡b亮,而當燈泡b亮時,也不能確定開關a是否閉合,即由燈泡b亮,也不能推知開關a閉合,所以,我們稱“開關a閉合”是“燈泡b亮”的既不充分也不必要條件。圖甲,請同學們畫出開關a,c,使得當開關a閉合時,燈泡b亮,而當燈泡b亮時,開關a不一定閉合,即由開關a閉合,能推知燈泡b亮,由燈泡b亮,推知開關a不一定是閉合,此時稱“開關a閉合”是“燈泡b亮”的充分也不必要條件;圖丙,請同學們畫出開關a,使得開關a閉合,則燈泡b亮;燈泡b亮時,開關a閉合,即“開關a閉合”是“燈泡b亮”的充分必要條件,簡稱為充要條件。再如,已知:數列是等差數列,:對任意的,有(常數)。我們知道,由,且,所以既是的充分條件,又是的必要條件;我們就稱是的充分必要條件,簡稱充要條件。我們還可以發(fā)現,既是的充分條件,又是必要條件,所以也是的充要條件。 一般地,如果既有,又有,就記作:此時,我們說,是的充分必要條件,簡稱充要條件(sufficient and necessary condition),顯然,如果是的充要條件,那么也是的充要條件。 概括地說,如果,那么與互為充要條件。引申與思考:(1)命題成立的條件一共可以分為四種條件:充分不必要條件,即但是;必要不充分條件:但是;充要條件:且;既不充分也不必要的條件:即且。(2)充要條件的意義是:是的充要條件就是“有,則必成立;無,則必不成立”,簡記為“有之必有果,無之則無果”。(3)判斷四種條件的步驟是:第一步,分清條件是什么,結論是什么;第二步,嘗試用條件推結論(證明充分性),再嘗試用結論(作為條件)去推條件(證明必要性)。其中列舉反例法是得出不具有充分性和必要性的重要方法。第三步,得出條件是結論的什么條件。(4)圖甲,將兩個開關a,c并聯后與燈泡b串聯;圖丙,【例】判斷下列條件,是的什么條件?(1)中,是的中點,:,:(2):若函數過原點,: (3):,:直線與圓相切 (4)已知為在同一平面內的非零向量。:,: 解:(1)(2)的是的充要條件;(3)是的充分不必要條件;(4)是的必要不充分條件,點撥:(1)(2)需要判斷充分性和必要性,分兩步來證明。(3)當時,直線與圓也相切;(4)需要熟練的向量知識,因為,所以,所以只要在上的投影相等,不一定有,例如,而,仍有。當時,與相等,所以有。針對性練習:下列命題中:()中,垂足為,:,:,則是的充要條件;(2)“”是“”的必要條
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