高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 教材點(diǎn)撥充分條件與必要條件素材 北師大版選修11.doc

充分條件與必要條件教材點(diǎn)撥一、充分條件圖1-1bac命題的條件和結(jié)論是構(gòu)成命題的兩個(gè)部分，并且條件和結(jié)論可以互相轉(zhuǎn)化。當(dāng)一個(gè)命題為假命題時(shí)，可以說條件不能推出結(jié)論；而當(dāng)命題為真命題時(shí)，可以說由此條件能推出結(jié)論。所以一個(gè)命題從條件和結(jié)論的角度看，條件與結(jié)論有著一定的關(guān)系，即：由條件能否推出結(jié)論？如果由命題的條件能推出結(jié)論，那么命題就是真命題，此時(shí)條件就叫結(jié)論的充分條件。物理模型的直觀解釋：如圖1-2-1 電路圖，當(dāng)開關(guān)a閉合時(shí)，燈泡b亮，而當(dāng)燈泡b亮?xí)r，開關(guān)a卻不一定是閉合的；即要使燈泡b亮，只要開關(guān)a閉合著一個(gè)條件就夠了，我們就稱“開關(guān)a閉合”是“燈泡b亮”的充分條件。一般地，“若，則”是一個(gè)真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作，那么，就稱條件是結(jié)論的充分條件（sufficient condition）?！叭簦瑒t”是一個(gè)真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作，那么，就稱是的充分條件（sufficient condition）。例如：，那么，“”是“”成立的充分條件；，那么，“”是“”成立的充分條件；三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等：“三邊對(duì)應(yīng)相等”是“兩個(gè)三角形全等”的充分條件；“”是函數(shù)為冪函數(shù)的充分條件；警示：充分條件就是某一個(gè)結(jié)論成立應(yīng)該具備的條件，當(dāng)命題具備此條件時(shí)，就可以得出此結(jié)論，或者要是此結(jié)論成立，只要具備此條件就夠了，而當(dāng)命題不具備此條件時(shí)，結(jié)論也有可能成立。例如，當(dāng)時(shí)，成立，但是，當(dāng)時(shí)，也可以成立，即時(shí)，也成立，所以，是成立的充分條件，也是成立的充分條件。【例】仿照示例改寫下列命題，并判斷條件是否為充分條件：示例：若，則，可以改寫成：；是充分條件；（1）個(gè)位數(shù)字是0的自然數(shù)能被5整除；（2）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（3）與同一平面所成的角相等的兩條直線平行；（4）若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)，則解：（1）個(gè)位數(shù)字是0的自然數(shù)這個(gè)自然數(shù)能被5整除；是充分條件；（2）四邊形的對(duì)角線相等這個(gè)四邊形是矩形；不是充分條件；（3）兩條直線與同一平面所成的角相等這兩條直線平行；不是充分條件；（4）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)；是充分條件。點(diǎn)撥:本例還是練習(xí)命題的條件和結(jié)論，同時(shí)判斷此命題的真假，由命題的真假可以判斷條件是否為充分條件，當(dāng)命題為真時(shí)，條件是充分條件；當(dāng)命題為假時(shí)，條件不是充分條件。針對(duì)性練習(xí)：下列各題中，哪些是的充分條件：（1）：且，：；（2）：，：；（3）：，：；（4）：直線平面，：。解：（1）是的充分條件；（2）是的充分條件；（3）不是的充分條件；（4）不是的充分條件；點(diǎn)撥：可以用兩種方法判斷：（一）判斷命題的真假，如（4）是命題如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行，是假命題；（二）由：（1）因?yàn)榍宜?，即；?）由得：代入得：=右邊；bac圖1-2（3）觀察，式子的正負(fù)是由和兩個(gè)式子的符號(hào)確定的，不能由一個(gè)式子的符號(hào)確定。二、必要條件如圖1-2 電路圖，當(dāng)開關(guān)a閉合時(shí)，燈泡b不一定亮，但是當(dāng)開關(guān)a不閉合時(shí)，燈泡b一定不亮；當(dāng)燈泡b亮?xí)r，可以知道開關(guān)a一定是閉合的；所以要使燈泡b亮，開關(guān)a必須是閉合的，我們稱開關(guān)a閉合是燈泡b亮的必要條件。一般地，“若，則”是一個(gè)真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作“”那么，結(jié)論是條件的必要條件（necessary condition）。“若，則”是一個(gè)真命題，是指由通過推理可以得出，即由可推出，記作“”，那么，就稱是的必要條件（necessary condition）。 警示：由必要條件的定義可以看出，必要條件與充分條件是一個(gè)真命題的兩種說法：真命題的條件是充分條件，真命題的結(jié)論是條件的必要條件，即如果此結(jié)論不成立，那么條件也就不成立。 假命題的條件不是命題結(jié)論成立的充分條件，但是有可能是必要條件，例如，命題：“若：，則：”是假命題，不是的充分條件；由，所以是的必要條件。 【例】已知命題“若：，則：無實(shí)數(shù)根”，試判斷是的什么條件？是的什么條件？解： 是的充分條件，不是必要條件，是的必要條件，不是充分條件。 點(diǎn)撥：方法（一）方程無實(shí)數(shù)根，所以，所以當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，是的充分條件，是的必要條件，又因?yàn)橛刹荒芡瞥?，所以由不能推出，不是的充分條件，不是的必要條件。方法（二）命題“：，：無實(shí)數(shù)根”等價(jià)于“：，：”，因?yàn)?，所以命題“若：，則：”為真命題，命題“若：，則：”是假命題，由命題的真假來判斷充分條件和必要條件。針對(duì)性練習(xí)：判斷下列各命題中，是的什么條件？是的什么條件？（1）：，：；（2）：，：；（3）：，：直線與直線互相垂直；（4）：，：解：（1）是的充分條件，不是必要條件，是必要條件，不是充分條件；（2）是的必要條件，不是充分條件，是充分條件，不是必要條件；（3）是的充分條件，不是必要條件，是必要條件，不是充分條件；（4）是的必要條件，不是充分條件，是充分條件，不是必要條件； 點(diǎn)撥：（1）（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)可以判斷；（3）（4）驗(yàn)證法和直接推導(dǎo)相結(jié)合。三、充要條件利用下列電路圖，我么可以形象的理解充分條件、必要條件、充要條件：如圖1-3的四個(gè)電路圖甲、乙、丙、丁，開關(guān)為a，c，燈泡為b，將“開關(guān)的閉合”作為條件，“燈泡亮”作為結(jié)論b甲bac乙b丙bac丁圖1-3圖乙中，開關(guān)a閉合時(shí)，燈泡b不一定亮，即由開關(guān)a閉合，不能推出燈泡b亮，但是當(dāng)燈泡b亮?xí)r，開關(guān)a一定是閉合的，即由燈泡b亮，一定能推知開關(guān)a閉合，我們稱“開關(guān)a閉合”是“燈泡b亮”的必要不充分條件；圖丁中，“開關(guān)a閉合”不能推知“燈泡b亮”，即由開關(guān)a閉合，不能推出燈泡b亮，而當(dāng)燈泡b亮?xí)r，也不能確定開關(guān)a是否閉合，即由燈泡b亮，也不能推知開關(guān)a閉合，所以，我們稱“開關(guān)a閉合”是“燈泡b亮”的既不充分也不必要條件。圖甲，請(qǐng)同學(xué)們畫出開關(guān)a，c，使得當(dāng)開關(guān)a閉合時(shí)，燈泡b亮，而當(dāng)燈泡b亮?xí)r，開關(guān)a不一定閉合，即由開關(guān)a閉合，能推知燈泡b亮，由燈泡b亮，推知開關(guān)a不一定是閉合，此時(shí)稱“開關(guān)a閉合”是“燈泡b亮”的充分也不必要條件；圖丙，請(qǐng)同學(xué)們畫出開關(guān)a，使得開關(guān)a閉合，則燈泡b亮；燈泡b亮?xí)r，開關(guān)a閉合，即“開關(guān)a閉合”是“燈泡b亮”的充分必要條件，簡稱為充要條件。再如，已知：數(shù)列是等差數(shù)列，：對(duì)任意的，有（常數(shù)）。我們知道，由，且，所以既是的充分條件，又是的必要條件；我們就稱是的充分必要條件，簡稱充要條件。我們還可以發(fā)現(xiàn)，既是的充分條件，又是必要條件，所以也是的充要條件。 一般地，如果既有，又有，就記作：此時(shí)，我們說，是的充分必要條件，簡稱充要條件（sufficient and necessary condition）,顯然，如果是的充要條件，那么也是的充要條件。 概括地說，如果，那么與互為充要條件。引申與思考：（1）命題成立的條件一共可以分為四種條件：充分不必要條件，即但是；必要不充分條件：但是；充要條件：且；既不充分也不必要的條件：即且。（2）充要條件的意義是：是的充要條件就是“有，則必成立；無，則必不成立”，簡記為“有之必有果，無之則無果”。（3）判斷四種條件的步驟是：第一步，分清條件是什么，結(jié)論是什么；第二步，嘗試用條件推結(jié)論（證明充分性），再嘗試用結(jié)論（作為條件）去推條件（證明必要性）。其中列舉反例法是得出不具有充分性和必要性的重要方法。第三步，得出條件是結(jié)論的什么條件。（4）圖甲，將兩個(gè)開關(guān)a，c并聯(lián)后與燈泡b串聯(lián)；圖丙，【例】判斷下列條件，是的什么條件？（1）中，是的中點(diǎn)，：，：（2）：若函數(shù)過原點(diǎn)，： （3）：，：直線與圓相切 （4）已知為在同一平面內(nèi)的非零向量。：，： 解：（1）（2）的是的充要條件；（3）是的充分不必要條件；（4）是的必要不充分條件，點(diǎn)撥：（1）（2）需要判斷充分性和必要性，分兩步來證明。（3）當(dāng)時(shí)，直線與圓也相切；（4）需要熟練的向量知識(shí)，因?yàn)?，所以，所以只要在上的投影相等，不一定有，例如，而，仍有。?dāng)時(shí)，與相等，所以有。針對(duì)性練習(xí)：下列命題中：（）中，垂足為，：，：，則是的充要條件；（2）“”是“”的必要條