高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1兩角和與差的三角函數(shù)3.1.3兩角和與差的正切教案蘇教版.docx

31.3兩角和與差的正切教學(xué)分析由于學(xué)生有了推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦公式的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，因此，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立地推導(dǎo)兩角和與差的正切公式對(duì)于公式的成立條件，可以讓學(xué)生推導(dǎo)出公式觀察、比較、分析，以便在掌握公式結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加以討論對(duì)于公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析、歸納、總結(jié)，可以結(jié)合教科書中“思考”引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，并結(jié)合例題的解答幫助學(xué)生更好地掌握這些特點(diǎn)，同時(shí)體會(huì)這些特點(diǎn)在解題中的作用三維目標(biāo)1會(huì)由兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式2能用兩角和與差的正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式證明3通過(guò)推導(dǎo)兩角和與差的正切公式以及運(yùn)用公式解決具體問(wèn)題，使學(xué)生從中體會(huì)化歸思想的作用4通過(guò)對(duì)例題解題思路的探求，使學(xué)生學(xué)會(huì)用分析的方法尋求解題思路重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明過(guò)程中解題思路的探求課時(shí)安排2課時(shí)第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)前面我們推出了公式C()、C()、S()、S()后自然想到兩角和與差的正切，即有沒(méi)有tan()，tan()的公式呢？由此導(dǎo)入新課思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)我們現(xiàn)在很容易由兩角和與差的正弦、余弦公式求出sin15和cos15，再由同角三角函數(shù)關(guān)系求出tan15，那么能不能直接由tan45和tan30求出tan15呢？推進(jìn)新課1推導(dǎo)兩角和與差的正切公式2用兩角和與差的正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式的證明教師引導(dǎo)學(xué)生回顧并寫出兩角和與差的正弦、余弦公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式點(diǎn)撥學(xué)生推出tan()，tan()學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到但學(xué)生很可能想不到討論，這時(shí)教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來(lái)當(dāng)cos()0時(shí)，tan().如果coscos0，即cos0且cos0時(shí)，分子分母同除以coscos，得tan()，根據(jù)角、的任意性，在上面的式子中，用代之，則有tan().由此推得兩角和與差的正切公式，簡(jiǎn)記為T()、T()讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中、的取值是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過(guò)程可知，、都不能等于k(kZ)，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶至此，教師與學(xué)生一起歸類總結(jié)，我們把前面六個(gè)公式分類比較可得：C()、S()、T()叫和角公式；S()、C()、T()叫差角公式并由學(xué)生綜合分析以上六個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖可讓學(xué)生自己畫出這六個(gè)框圖通過(guò)邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運(yùn)用這些公式同時(shí)教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用如兩角和與差的正切公式的變形式：tantantan()(1tantan)，tantantan()(1tantan)，在化簡(jiǎn)求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美對(duì)于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tan，tan或tan()的值不存在時(shí)，不能使用T()處理某些相關(guān)問(wèn)題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡(jiǎn)tan()，因?yàn)閠an的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan()來(lái)處理等例1課本本節(jié)例1.變式訓(xùn)練在ABC中，已知tanA、tanB是方程3x28x10的兩個(gè)根，求tanC的值解：tanA、tanB是方程3x28x10的兩根，tanAtanB，tanAtanB.tanCtan180(AB)tan(AB)2.例2課本本節(jié)例2.變式訓(xùn)練求tan11tan34tan11tan34的值解：原式tan45(1tan11tan34)tan11tan341tan11tan34tan11tan341.點(diǎn)評(píng)：充分利用兩角和與差的正切公式的變形式：tantantan()(1tantan).例3課本本節(jié)例3.課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4.由于學(xué)生有了推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦公式的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，因此，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立地推導(dǎo)兩角和與差的正切公式對(duì)于公式的成立條件，可以讓學(xué)生推導(dǎo)出公式觀察、比較、分析，以便在掌握公式結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加以討論對(duì)于公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析、歸納、總結(jié)，可以結(jié)合教科書中“思考”引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，并結(jié)合例1和例2的解答幫助學(xué)生更好地掌握這些特點(diǎn)，同時(shí)體會(huì)這些特點(diǎn)在解題中的作用本小節(jié)共兩課時(shí)，本節(jié)課為第1課時(shí)，主要是推導(dǎo)公式、討論探究公式的成立條件，并完成課本例1、例2、例3.例3是一道具有幾何背景的簡(jiǎn)單問(wèn)題，在該題的教學(xué)中，要注意讓學(xué)生體會(huì)已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，確定角的方法本節(jié)課從內(nèi)容上來(lái)看，難度較小，但兩角和與差的正切公式有其成立的條件這點(diǎn)教材中未做特別說(shuō)明，是學(xué)生易出錯(cuò)的地方在教學(xué)中，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征仔細(xì)觀察，清楚公式變形的本質(zhì)屬性，解題時(shí)靈活選用同時(shí)注意鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行一題多解，一題多變，并從中體會(huì)重要的數(shù)學(xué)思想方法，這才是本節(jié)教學(xué)的核心問(wèn)題，而不是一些特殊的變換技巧一、對(duì)兩角和與差的正切公式的理解1兩角和的正切公式是根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式tan及正、余弦的和角公式導(dǎo)出的，因?yàn)楣絊()與C()具有一般性，因此公式T()也具有一般性，在公式T()中以代便可得到公式T()2兩公式只有當(dāng)tan，tan或tan()都存在，即k，k，k(kZ)時(shí)才成立，這是由任意角的正切函數(shù)的定義域所決定的3當(dāng)tan，tan或tan()的值不都存在時(shí)，不能使用T()來(lái)處理某些相關(guān)問(wèn)題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，如化簡(jiǎn)tan()，因?yàn)閠an的值不存在，不能利用公式T()，所以要改用誘導(dǎo)公式來(lái)解，則tan().二、備用習(xí)題1如果tan()，cot()4，則tan()為()A. B.C. D.2已知tan()，tan()，則tan的值等于_3已知tan()，則tan_，tan()_.4已知tan，tan是方程x2(4m1)x2m0的兩個(gè)根，且m，求.5已知、都是銳角，cos，tan()，求cos的值參考答案： 1C2.3解析：tan()，.解得tan，tan().4解：由題意tantan(4m1)，tantan2m，.5解：由題意tan，tantan().又cos2，cos.(設(shè)計(jì)者：王光玲)第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回顧前面所學(xué)的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，從分析公式的推導(dǎo)過(guò)程入手，揭示它們的邏輯關(guān)系思路2.(習(xí)題導(dǎo)入)已知45，求(1tan)(1tan)的值(答案：2)已知sin，是第四象限角，求tan()的值(答案：7)求tan70tan50tan50tan70的值(答案：)學(xué)生練習(xí)，教師講評(píng)中導(dǎo)入新課推進(jìn)新課本節(jié)為兩角和與差的三角函數(shù)的最后一節(jié)內(nèi)容，對(duì)兩角和與差公式進(jìn)一步熟練掌握上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的正切公式，請(qǐng)同學(xué)們默寫這些公式，并思考這些公式的使用條件我們上節(jié)課初步運(yùn)用這些公式解決了一些有關(guān)三角函數(shù)的求值和化簡(jiǎn)問(wèn)題，利用這些公式除了能進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)之外，我們還可以運(yùn)用其解決一些三角函數(shù)式的證明問(wèn)題，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容例1課本本節(jié)例4.變式訓(xùn)練在銳角ABC中，A、B、C是它的三個(gè)內(nèi)角，記S，求證：S90，90A90B0.tanAtan(90B)cotB0.tanAtanB1.S0，從而m23，可證思路五：構(gòu)造向量，利用向量的內(nèi)積定義及坐標(biāo)表示來(lái)證明令a(1，1)，b(cos15，sin15)，則cos15sin15(1，1)(cos15，sin15)1cos，其中為a與b的夾角，且數(shù)形結(jié)合可知154560，從而cos15sin15cos60，同理可求cos15sin15cos30，從而可證反思：本題是一題多解，開闊學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滲透數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想(思路二)和整體思想(思路四)和數(shù)形結(jié)合思想(思路五)小組討論，合作交流不同解法的小組派代表展示證明方法(前四種不同解法)(通過(guò)合作探究問(wèn)題的過(guò)程，體驗(yàn)團(tuán)隊(duì)合作的快樂(lè)，體會(huì)公式的靈活應(yīng)用、感悟化歸、數(shù)形結(jié)合、整體、方程的數(shù)學(xué)思想)(師啟發(fā)思路五并多媒體出示解答過(guò)程，留時(shí)間讓學(xué)生體會(huì)構(gòu)造方法)變式題2.利用和(差)公式證明tan20tan40tan20tan40.分析：利用和(差)角公式的變形公式1可得tan20tan40tan(2040)(1tan20tan40)(1tan20tan40)反思：本題是公式靈活應(yīng)用的典例，更一般地，猜想：tantantan()tantantan()成立嗎？討論交流，一優(yōu)等生分析口述(師板書)思考：能否用公式T()的變形2來(lái)證明呢？(課后完成猜想)例3(教材例3)如圖，三個(gè)相同的正方形相接，求證：.分析：由圖可知tan且0，tan且0，欲求的值，先求tan()的值為1且0，從而.反思：這是一道具有幾何背景的簡(jiǎn)單問(wèn)題，從這里可以看出已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求角的方法思考：你能從圖形中觀察出，均小于，那你能從代數(shù)的角度說(shuō)明，均小于嗎？(利用函數(shù)的單調(diào)性求角的范圍如0tan，則0)思考1：求角“”的哪個(gè)函數(shù)值較好？思考2：由tan()1能直接得到嗎？為什么？變式題：已知A，B為銳角，且AB45.(1)求證：(1tanA)(1tanB)2.(2)求值：(1tan1)(1tan2)(1tan44)自主探究(1)課外思考(2)回顧小結(jié)1知識(shí)點(diǎn)：兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)；應(yīng)用公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)及三角恒等式的證明(正用，逆用，變用)2數(shù)學(xué)思想：化歸思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想一中等生完成小結(jié)，學(xué)生筆記數(shù)學(xué)思想作業(yè)教材習(xí)題3.1(3)必做題2,5,9；選做題7.教后記本節(jié)課根據(jù)新課標(biāo)和新課程的教學(xué)理念，采用自主探究與合作交流的教學(xué)方法，讓學(xué)生積極主動(dòng)的參與學(xué)習(xí)，給予他們充分的時(shí)間和空間，進(jìn)行探索、猜想和發(fā)現(xiàn)兩角和與差的正切公式，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力和合作交流能力在公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)方面，讓學(xué)生觀察歸納，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納能力在例題的處理和變式題的訓(xùn)練方面，完全讓學(xué)生自主