高考數學一輪復習 第九章 導數及其應用 9.1 導數的概念及運算課件.ppt

9 1導數的概念及運算 第九章導數及其應用 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 易錯警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 f x0 或y 知識梳理 1 答案 2 如果函數y f x 在開區(qū)間 a b 內的每一點處都有導數 其導數值在 a b 內構成一個新函數 這個函數稱為函數y f x 在開區(qū)間內的導函數 記作f x 或y 2 導數的幾何意義函數y f x 在點x0處的導數的幾何意義 就是曲線y f x 在點p x0 f x0 處的切線的斜率k 即k f x0 答案 3 基本初等函數的導數公式 0 x 1 cosx sinx ex axlna 答案 4 導數的運算法則若f x g x 存在 則有 1 f x g x 2 f x g x f x g x f x g x f x g x 5 復合函數的導數復合函數y f g x 的導數和函數y f u u g x 的導數間的關系為yx 即y對x的導數等于的導數與的導數的乘積 yu ux y對u u對x 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 f x0 與 f x0 表示的意義相同 2 求f x0 時 可先求f x0 再求f x0 3 曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點 4 與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線 5 函數f x sin x 的導數是f x cosx 思考辨析 答案 f 1 3 b 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 如圖所示為函數y f x y g x 的導函數的圖象 那么y f x y g x 的圖象可能是 解析答案 1 2 3 4 5 解析由y f x 的圖象知y f x 在 0 上單調遞減 說明函數y f x 的切線的斜率在 0 上也單調遞減 故可排除a c 又由圖象知y f x 與y g x 的圖象在x x0處相交 說明y f x 與y g x 的圖象在x x0處的切線的斜率相同 故可排除b 故選d 答案d 1 2 3 4 5 f x cosx sinx 解析答案 1 2 3 4 5 即x 0時 成立 tan 1 0 y 1 0 又 0 解析答案 1 2 3 4 5 5 2015 陜西 設曲線y ex在點 0 1 處的切線與曲線y x 0 上點p處的切線垂直 則p的坐標為 解析y ex 曲線y ex在點 0 1 處的切線的斜率k1 e0 1 因為兩切線垂直 所以k1k2 1 所以m 1 n 1 則點p的坐標為 1 1 1 1 解析答案 返回 1 2 3 4 5 題型分類深度剖析 例1求下列函數的導數 1 y 3x2 4x 2x 1 解 y 3x2 4x 2x 1 6x3 3x2 8x2 4x 6x3 5x2 4x y 18x2 10 x 4 2 y x2sinx 解y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 導數的運算 題型一 解析答案 3 y 3xex 2x e 解y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xexln3 3xex 2xln2 ln3 1 3e x 2xln2 解析答案 5 y ln 2x 5 解令u 2x 5 y lnu 解析答案 思維升華 1 求導之前 應利用代數 三角恒等式等變形對函數進行化簡 然后求導 這樣可以減少運算量 提高運算速度 減少差錯 遇到函數的商的形式時 如能化簡則化簡 這樣可避免使用商的求導法則 減少運算量 2 復合函數求導時 先確定復合關系 由外向內逐層求導 必要時可換元 思維升華 1 f x x 2016 lnx 若f x0 2017 則x0等于 a e2b 1c ln2d e 故由f x0 2017得2017 lnx0 2017 則lnx0 0 解得x0 1 b 跟蹤訓練1 解析答案 2 若函數f x ax4 bx2 c滿足f 1 2 則f 1 等于 a 1b 2c 2d 0解析f x 4ax3 2bx f x 為奇函數 且f 1 2 f 1 2 b 解析答案 命題點1已知切點的切線方程問題 故該切線方程為y 2 x 1 即x y 3 0 c 導數的幾何意義 題型二 解析答案 2 曲線y e 2x 1在點 0 2 處的切線與直線y 0和y x圍成的三角形的面積為 解析 y 2e 2x 曲線在點 0 2 處的切線斜率k 2 切線方程為y 2x 2 該直線與直線y 0和y x圍成的三角形如圖所示 解析答案 命題點2未知切點的切線方程問題例3 1 與直線2x y 4 0平行的拋物線y x2的切線方程是 a 2x y 3 0b 2x y 3 0c 2x y 1 0d 2x y 1 0解析對y x2求導得y 2x 則切線斜率為k 2x0 由2x0 2得x0 1 故切線方程為y 1 2 x 1 即2x y 1 0 d 解析答案 2 已知函數f x xlnx 若直線l過點 0 1 并且與曲線y f x 相切 則直線l的方程為 a x y 1 0b x y 1 0c x y 1 0d x y 1 0解析 點 0 1 不在曲線f x xlnx上 設切點為 x0 y0 解得x0 1 y0 0 解析答案 又 f x 1 lnx 切點為 1 0 f 1 1 ln1 1 直線l的方程為y x 1 即x y 1 0 故選b b 命題點3和切線有關的參數問題 又f 1 0 切線l的方程為y x 1 g x x m 直線l的斜率為k f 1 1 設直線l與g x 的圖象的切點為 x0 y0 于是解得m 2 故選d d 解析答案 命題點4導數與函數圖象的關系例5如圖 點a 2 1 b 3 0 e x 0 x 0 過點e作ob的垂線l 記 aob在直線l左側部分的面積為s 則函數s f x 的圖象為下圖中的 解析答案 思維升華 解析函數的定義域為 0 當x 0 2 時 在單位長度變化量 x內面積變化量 s大于0且越來越大 即斜率f x 在 0 2 內大于0且越來越大 因此 函數s f x 的圖象是上升的 且圖象是下凸的 當x 2 3 時 在單位長度變化量 x內面積變化量 s大于0且越來越小 即斜率f x 在 2 3 內大于0且越來越小 因此 函數s f x 的圖象是上升的 且圖象是上凸的 當x 3 時 在單位長度變化量 x內面積變化量 s為0 即斜率f x 在 3 內為常數0 此時 函數圖象為平行于x軸的射線 答案d 思維升華 導數的幾何意義是切點處切線的斜率 應用時主要體現在以下幾個方面 1 已知切點a x0 f x0 求斜率k 即求該點處的導數值 k f x0 2 已知斜率k 求切點a x1 f x1 即解方程f x1 k 4 函數圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數圖象在相應點處的變化情況 由切線的傾斜程度可以判斷出函數圖象升降的快慢 思維升華 1 已知函數f x x3 3x 若過點a 0 16 且與曲線y f x 相切的直線方程為y ax 16 則實數a的值是 解析先設切點為m x0 y0 聯(lián)立 可解得x0 2 y0 2 9 跟蹤訓練2 解析答案 2 若直線y 2x m是曲線y xlnx的切線 則實數m的值為 解析設切點為 x0 x0lnx0 得切線的斜率k lnx0 1 故切線方程為y x0lnx0 lnx0 1 x x0 解得x0 e 故m e e 解析答案 返回 易錯警示系列 典例 14分 若存在過點o 0 0 的直線l與曲線y x3 3x2 2x和y x2 a都相切 求a的值 易錯分析由于題目中沒有指明點o 0 0 的位置情況 容易忽略點o在曲線y x3 3x2 2x上這個隱含條件 進而不考慮o點為切點的情況 13 求曲線的切線方程條件審視不準致誤 易錯警示系列 解析答案 返回 易錯分析 溫馨提醒 解易知點o 0 0 在曲線y x3 3x2 2x上 1 當o 0 0 是切點時 由y 3x2 6x 2 得y 2 即直線l的斜率為2 故直線l的方程為y 2x 依題意 4 4a 0 得a 1 4分 規(guī)范解答 解析答案 溫馨提醒 2 當o 0 0 不是切點時 設直線l與曲線y x3 3x2 2x相切于點p x0 y0 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 對于求曲線的切線方程沒有明確切點的情況 要先判斷切線所過點是否在曲線上 若所過點在曲線上 要對該點是否為切點進行討論 溫馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 f x0 代表函數f x 在x x0處的導數值 f x0 是函數值f x0 的導數 而函數值f x0 是一個常數 其導數一定為0 即 f x0 0 2 對于函數求導 一般要遵循先化簡再求導的基本原則 在實施化簡時 首先必須注意變換的等價性 避免不必要的運算失誤 3 未知切點的曲線切線問題 一定要先設切點 利用導數的幾何意義表示切線的斜率建立方程 方法與技巧 1 利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號 防止與乘法公式混淆 復合函數的導數要正確分解函數的結構 由外向內逐層求導 2 求曲線切線時 要分清在點p處的切線與過p點的切線的區(qū)別 前者只有一條 而后者包括了前者 3 曲線的切線與曲線的交點個數不一定只有一個 這和研究直線與二次曲線相切時有差別 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 已知函數f x 的導函數為f x 且滿足f x 2xf 1 lnx 則f 1 等于 a eb 1c 1d e f 1 2f 1 1 則f 1 1 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 已知曲線y lnx的切線過原點 則此切線的斜率為 因為切線過點 0 0 所以 lnx0 1 c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 已知函數f x 的導數為f x 且滿足關系式f x x2 3xf 2 lnx 則f 2 的值等于 解析因為f x x2 3xf 2 lnx c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 2014 課標全國 設曲線y ax ln x 1 在點 0 0 處的切線方程為y 2x 則a等于 a 0b 1c 2d 3 由導數的幾何意義可得在點 0 0 處的切線的斜率為f 0 a 1 又切線方程為y 2x 則有a 1 2 a 3 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知a為常數 若曲線y ax2 3x lnx存在與直線x y 1 0垂直的切線 則實數a的取值范圍是 解析由題意知曲線上存在某點的導數為1 即2ax2 2x 1 0有正根 解析答案 當a 0時 顯然滿足題意 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 設函數f x x x k x 2k x 3k 若f 0 6 則k 解析 f x x x k x 2k x 3k x4 7k2x2 6k3x f x 4x3 14k2x 6k3 f 0 6k3 6 解得k 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 已知函數f x x3 3x 若過點a 0 16 且與曲線y f x 相切的直線方程為y ax 16 則實數a的值是 解析先設切點為m x0 y0 聯(lián)立 可解得x0 2 y0 2 9 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 2015 課標全國 已知曲線y x lnx在點 1 1 處的切線與曲線y ax2 a 2 x 1相切 則a 得曲線在點 1 1 處的切線的斜率為k y x 1 2 所以切線方程為y 1 2 x 1 即y 2x 1 此切線與曲線y ax2 a 2 x 1相切 消去y得ax2 ax 2 0 得a 0且 a2 8a 0 解得a 8 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 已知曲線y x3 x 2在點p0處的切線l1平行于直線4x y 1 0 且點p0在第三象限 1 求p0的坐標 解由y x3 x 2 得y 3x2 1 由已知令3x2 1 4 解之得x 1 當x 1時 y 0 當x 1時 y 4 又 點p0在第三象限 切點p0的坐標為 1 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若直線l l1 且l也過切點p0 求直線l的方程 解 直線l l1 l1的斜率為4 l過切點p0 點p0的坐標為 1 4 即x 4y 17 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 設函數f x ax 曲線y f x 在點 2 f 2 處的切線方程為7x 4y 12 0 1 求f x 的解析式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 證明 曲線y f x 上任一點處的切線與直線x 0和直線y x所圍成的三角形的面積為定值 并求此定值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解設p x0 y0 為曲線上任一點 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令y x 得y x 2x0 從而得切線與直線y x的交點坐標為 2x0 2x0 所以點p x0 y0 處的切線與直線x 0 故曲線y f x 上任一點處的切線與直線x 0 y x所圍成的三角形的面積為定值 且此定值為6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 曲邊梯形由曲線y x2 1 y 0 x 1 x 2所圍成 過曲線y x2 1 x 1 2 上一點p作切線 使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形 則這一點的坐標為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 若函數f x x2 ax lnx存在垂直于y軸的切線 則實數a的取值范圍是 f x 存在垂直于y軸的切線 f x 存在零點 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知曲線f x xn 1 n n 與直線x 1交于點p 設曲線y f x 在點p處的切線與x軸交點的橫坐標為xn 則log2016x1 log2016x2 log2016x2015的值為 解析f x n 1 xn k f 1 n 1 點p 1 1 處的切線方程為y 1 n 1 x 1 x1 x2 x2015 則log2016x1 log2016x2 log2016x2015 log2016 x1x2 x2015 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知函數f x ax3