2020年文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之函數(shù)的單調(diào)性與最值.ppt

第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值 最新考綱1 理解函數(shù)的單調(diào)性 最大 小 值及其幾何意義 2 會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì) 知識梳理 1 函數(shù)的單調(diào)性 1 單調(diào)函數(shù)的定義 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 2 單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y f x 在區(qū)間D上是 或 那么就說函數(shù)y f x 在這一區(qū)間具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性 叫做函數(shù)y f x 的單調(diào)區(qū)間 增函數(shù) 減函數(shù) 區(qū)間D 2 函數(shù)的最值 f x M f x M f x0 M 微點(diǎn)提醒 基礎(chǔ)自測 1 判斷下列結(jié)論正誤 在括號內(nèi)打 或 1 對于函數(shù)f x x D 若對任意x1 x2 D 且x1 x2有 x1 x2 f x1 f x2 0 則函數(shù)f x 在區(qū)間D上是增函數(shù) 3 對于函數(shù)y f x 若f 1 f 3 則f x 為增函數(shù) 4 函數(shù)y f x 在 1 上是增函數(shù) 則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 解析 2 此單調(diào)區(qū)間不能用并集符號連接 取x1 1 x2 1 則f 1 f 1 故應(yīng)說成單調(diào)遞減區(qū)間為 0 和 0 3 應(yīng)對任意的x1 x2 f x1 f x2 成立才可以 4 若f x x f x 在 1 上為增函數(shù) 但y f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是R 答案 1 2 3 4 2 必修1P39B3改編 下列函數(shù)中 在區(qū)間 0 內(nèi)單調(diào)遞減的是 答案A 答案2 4 2018 廣東省際名校聯(lián)考 設(shè)函數(shù)f x 在R上為增函數(shù) 則下列結(jié)論一定正確的是 答案D 5 2019 石家莊調(diào)研 若函數(shù)f x m 1 x b在R上是增函數(shù) 則f m 與f 1 的大小關(guān)系是 A f m f 1 B f m 0 所以m 1 所以f m f 1 答案A 6 2017 全國 卷 函數(shù)f x ln x2 2x 8 的單調(diào)遞增區(qū)間是 A 2 B 1 C 1 D 4 解析由x2 2x 8 0 得x 4或x 2 設(shè)t x2 2x 8 則y lnt為增函數(shù) 要求函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 即求函數(shù)t x2 2x 8的單調(diào)遞增區(qū)間 函數(shù)t x2 2x 8的單調(diào)遞增區(qū)間為 4 函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 4 答案D 考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性 區(qū)間 A 4 2 B 4 4 C 4 4 D 4 4 t x2 ax 3a在 2 上是增函數(shù) 且在 2 上t 0 答案D 解f x 在 1 2 上單調(diào)遞增 證明如下 從而f x2 f x1 0 即f x2 f x1 故當(dāng)a 1 3 時(shí) f x 在 1 2 上單調(diào)遞增 規(guī)律方法1 1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 應(yīng)先求定義域 在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間 如例1 1 2 單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表達(dá) 且圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要用 和 連接 2 1 函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有 定義法 圖象法 利用已知函數(shù)的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)法 2 函數(shù)y f g x 的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y f t 和內(nèi)層函數(shù)t g x 的單調(diào)性判斷 遵循 同增異減 的原則 由于 10 x1 10時(shí) f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函數(shù)f x 在 1 1 上單調(diào)遞減 當(dāng)a 0時(shí) f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函數(shù)f x 在 1 1 上單調(diào)遞增 當(dāng)a 0時(shí) f x 0 函數(shù)f x 在 1 1 上單調(diào)遞增 考點(diǎn)二求函數(shù)的最值 例2 1 已知函數(shù)f x ax logax a 0 且a 1 在 1 2 上的最大值與最小值之和為loga2 6 則a的值為 解析 1 f x ax logax在 1 2 上是單調(diào)函數(shù) 所以f 1 f 2 loga2 6 則a loga1 a2 loga2 loga2 6 即 a 2 a 3 0 又a 0 所以a 2 2 f 3 lg 3 2 1 lg10 1 f f 3 f 1 0 當(dāng)x 1時(shí) f x lg x2 1 lg1 0 當(dāng)且僅當(dāng)x 0時(shí) 取等號 此時(shí)f x min 0 規(guī)律方法求函數(shù)最值的四種常用方法 1 單調(diào)性法 先確定函數(shù)的單調(diào)性 再由單調(diào)性求最值 2 圖象法 先作出函數(shù)的圖象 再觀察其最高點(diǎn) 最低點(diǎn) 求出最值 3 基本不等式法 先對解析式變形 使之具備 一正二定三相等 的條件后用基本不等式求出最值 4 導(dǎo)數(shù)法 先求導(dǎo) 然后求出在給定區(qū)間上的極值 最后結(jié)合端點(diǎn)值 求出最值 2 2018 邵陽質(zhì)檢 定義max a b c 為a b c中的最大值 設(shè)M max 2x 2x 3 6 x 則M的最小值是 A 2B 3C 4D 6 2 畫出函數(shù)M 2x 2x 3 6 x 的圖象 如圖 由圖可知 函數(shù)M在A 2 4 處取得最小值22 6 2 4 故M的最小值為4 答案 1 A 2 C 考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用多維探究角度1利用單調(diào)性比較大小 A c a bB c b aC a c bD b a c 答案D 角度2求解函數(shù)不等式 A 1 B 0 C 1 0 D 0 解析當(dāng)x 0時(shí) 函數(shù)f x 2 x是減函數(shù) 則f x f 0 1 作出f x 的大致圖象如圖所示 結(jié)合圖象知 要使f x 1 f 2x 解得x 1或 1 x 0 即x 0 答案D 角度3求參數(shù)的值或取值范圍 規(guī)律方法1 利用單調(diào)性求參數(shù)的取值 范圍 的思路是 根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程 組 不等式 組 或先得到其圖象的升降 再結(jié)合圖象求解 對于分段函數(shù) 要注意銜接點(diǎn)的取值 2 1 比較函數(shù)值的大小 應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi) 然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決 2 求解函數(shù)不等式 其實(shí)質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用 由條件脫去 f A a b cB b a cC c b aD c a b A 1 0 0 1 B 1 0 0 1 C 0 1 D 0 1 又log25 log24 1 2 20 8 且y f x 在R上是增函數(shù) 所以a b c 2 因?yàn)閒 x x2 2ax x a 2 a2在 1 2 上為減函數(shù) 要使g x 在 1 2 上為減函數(shù) 需g x 0 綜上可知0 a 1 答案 1 C 2 D 思維升華 1 利用定義證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟 1 取值 2 作差 3 定號 4 判斷 2 確定函數(shù)單調(diào)性有四種常用方法 定義法 導(dǎo)數(shù)法 復(fù)合函數(shù)法 圖象法 也可利用單調(diào)函數(shù)的和差確定單調(diào)性 3 求函數(shù)最值的常用求法 單調(diào)性法 圖象法 換元法 利用基本不等式