步步高大一輪復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)2.5二次函數(shù).doc

2.5二次函數(shù)1二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義形如：f(x)ax2bxc (a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)_.頂點式：f(x)_.零點式：f(x)_.2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)圖像函數(shù)性質(zhì)a0定義域xR(個別題目有限制的，由解析式確定)值域a0a0y，)y(，奇偶性b0時為偶函數(shù)，b0時既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)a0a0時，圖像與x軸有兩個交點M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|.難點正本疑點清源1求二次函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法根據(jù)所給條件的特征，可選擇一般式、頂點式或零點式中的一種來求已知三個點的坐標時，宜用一般式已知二次函數(shù)的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時，常使用頂點式已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便2二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程的區(qū)間根的分布討論二次函數(shù)相應(yīng)的二次方程的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：判別式；區(qū)間端點的函數(shù)值的符號；對稱軸與區(qū)間的相對位置在討論過程中，注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想1若二次函數(shù)f(x)ax2bx2滿足f(x1)f(x2)，則f(x1x2)_.2(課本改編題)已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_3若函數(shù)yx2(a2)x3，xa，b的圖像關(guān)于直線x1對稱，則b_.4已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_5若方程x22mx40的兩根滿足一根大于1，一根小于1，則m的取值范圍是() A. B.C(，2)(2，) D.題型一求二次函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)探究提高二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc (a0)；(2)頂點式：f(x)a(xh)2k (a0)；(3)兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)已知函數(shù)的類型(模型)，求其解析式，用待定系數(shù)法，根據(jù)題設(shè)恰當(dāng)選用二次函數(shù)解析式的形式，可使解法簡捷 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)0x2時，yx，當(dāng)x2時，yf(x)的圖像是頂點為P(3,4)，且過點A(2,2)的拋物線的一部分(1)求函數(shù)f(x)在(，2)上的解析式；(2)在下面的直角坐標系中直接畫出函數(shù)f(x)的草圖；(3)寫出函數(shù)f(x)的值域題型二二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)例2已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6(1)當(dāng)a2時，求f(x)的最值；(2)求實數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a1時，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間探究提高(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱軸進行分析討論求解 已知函數(shù)f(x)4x24ax4aa2在區(qū)間0,1內(nèi)有一個最大值5，求a的值題型三二次函數(shù)的綜合應(yīng)用例3若二次函數(shù)f(x)ax2bxc (a0)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區(qū)間1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，求實數(shù)m的取值范圍探究提高二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常有機結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖像貫穿為一體因此，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖像是探求解題思路的有效方法用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點 已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖像過點(1,3)，且f(1x)f(1x)對任意實數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖像關(guān)于原點對稱(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍2.分類討論在二次函數(shù)中的應(yīng)用試題：(13分)(2011濟南模擬)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)，x(a，)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)1的解集審題視角(1)求a的取值范圍，是尋求關(guān)于a的不等式，解不等式即可(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值分段求，然后綜合在一起(3)對a討論時，要找到恰當(dāng)?shù)姆诸悩藴室?guī)范解答解(1)因為f(0)a|a|1，所以a0，即a0，由a21知a1，因此，a的取值范圍為(，13分(2)記f(x)的最小值為g(a)，則有f(x)2x2(xa)|xa|5分()當(dāng)a0時，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此時g(a)2a2.7分()當(dāng)aa，則由知f(x)a2.若xa，由知f(x)2a2a2.此時g(a)a2，綜上，得g(a).10分(3)()當(dāng)a時，解集為(a，)；()當(dāng)a時，解集為；()當(dāng)a時，解集為.13分批閱筆記分類討論的思想是高考重點考查的數(shù)學(xué)思想方法之一本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法在解答本題時有兩點容易造成失分：一是求實數(shù)a的值時，討論的過程中沒注意a自身的取值范圍，易出錯；二是求函數(shù)最值時，分類討論的結(jié)果不能寫在一起，不能得出最后的結(jié)論除此外，解決函數(shù)問題時，以下幾點容易造成失分：1含絕對值問題，去絕對值符號，易出現(xiàn)計算錯誤；2分段函數(shù)求最值時要分段求，最后寫在一起時，沒有比較大小或不會比較出大小關(guān)系；3解一元二次不等式時，不能與一元二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起，思路受阻.方法與技巧1數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問題的基本方法特別是涉及二次方程、二次不等式的時候常常結(jié)合圖形尋找思路2含字母系數(shù)的二次函數(shù)問題經(jīng)常使用的方法是分類討論比如討論二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，又例如涉及二次不等式需討論根的大小等3關(guān)于二次函數(shù)yf(x)對稱軸的判斷方法(1)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)圖像的對稱軸方程為x.(2)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函數(shù)yf(x)圖像的對稱軸方程為xa(a為常數(shù))(3)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x2a)f(x)，那么函數(shù)yf(x)圖像的對稱軸方程為xa(a為常數(shù))注意：(2)(3)中，f(ax)f(ax)與f(x2a)f(x)是等價的(4)利用配方法求二次函數(shù)yax2bxc (a0)對稱軸方程為x；(5)利用方程根法求對稱軸方程若二次函數(shù)yf(x)對應(yīng)方程f(x)0的兩根為x1、x2，那么函數(shù)yf(x)圖像的對稱軸方程為x.失誤與防范1求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時要經(jīng)過配方法，要熟練準確利用配方法2對于函數(shù)yax2bxc要認為它是二次函數(shù)，就必須認定a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況3對于二次函數(shù)yax2bxc (a0)給定了定義域為一個區(qū)間k1，k2時，利用配方法求函數(shù)的最值是極其危險的，一般要討論函數(shù)圖像的對稱軸在區(qū)間外、內(nèi)的情況，有時要討論下列四種情況：k1；k1；0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖像可能是()2(2010四川)函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對稱的充要條件是() Am2 Bm2Cm1 Dm13已知函數(shù)f(x)ax2(bc)x1 (a0)是偶函數(shù)，其定義域為ac，b，則點(a，b)的軌跡是()A線段 B直線的一部分C點 D圓錐曲線二、填空題4二次函數(shù)的圖像過點(0,1)，對稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為_5若函數(shù)ymx2x5在2，)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_6若函數(shù)f(x)axb (a0)的一個零點是1，則函數(shù)g(x)bx2ax的零點是_三、解答題7是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)x22axa的定義域為1,1時，值域為2,2？若存在，求a的值；若不存在，說明理由8已知二次函數(shù)f(x)ax2bx (a，b為常數(shù)，且a0)，滿足條件f(1x)f(1x)，且方程f(x)x有等根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實數(shù)m、n (m B.a Da0，12，則實數(shù)m的取值范圍是_.5若方程x211x30a0的兩根均大于5，則實數(shù)a的取值范圍是_6已知f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域為a1,2a，則yf(x)的值域_7已知函數(shù)f(x)的自變量的取值區(qū)間為A，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為f(x)的保值區(qū)間函數(shù)f(x)x2形如n，) (n(0，)的保值區(qū)間是_三、解答題8已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)x2(2t1)x12t.(1)求證：對于任意tR，方程f(x)1必有實數(shù)根；(2)若t2時，f(x)2x212x14.當(dāng)x2.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)2(x)212x14，即f(x)2x212x14.函數(shù)f(x)在(，2)上的解析式為f(x)2x212x14.(2)函數(shù)f(x)的圖像如圖：(3)由圖像可知，函數(shù)f(x)的值域為(，4例2解(1)當(dāng)a2時，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖像開口向上，對稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4.(3)當(dāng)a1時，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此時定義域為x6,6，且f(x)，f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是6,0變式訓(xùn)練2解f(x)424a，對稱軸為x，頂點為.當(dāng)1，即a2時，f(x)在區(qū)間0,1上遞增ymaxf(1)4a2.令4a25，a12(舍去)當(dāng)01，即0a2xm等價于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此滿足條件的實數(shù)m的取值范圍是(，1)變式訓(xùn)練3解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的圖像過點(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)與yf(x)的圖像關(guān)于原點對稱，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，當(dāng)10時，F(xiàn)(x)的對稱軸為x，又F(x)在(1,1上是增函數(shù)或.1或10.當(dāng)10，即1時，F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述，的取值范圍為(，0課時規(guī)范訓(xùn)練A組1D2.A3.B4.y(x2)2150m6.0或17解f(x)(xa)2aa2.當(dāng)a1時，f(x)在1,1上為增函數(shù)，a1(舍去)；當(dāng)1a0時，a1；當(dāng)01時，f(x)在1,1上為減函數(shù)，a不存在綜上可得a1.8解(1)f(x)滿足f(1x)f(1x)，f(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱而二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x，1.又f(x)x有等根，即ax2(b1)x0有等根，(b1)20.由得b1，a.f