徐德同--平面幾何.doc

2012江蘇省數(shù)學(xué)會(huì)夏令營講義 江蘇省常州高級(jí)中學(xué)徐德同平面幾何講義一、幾個(gè)重要定理介紹1、梅涅勞斯定理2、梅涅勞斯逆定理3、塞瓦定理4、托勒密定理5、西姆松定理 6、張角定理：設(shè)A、C、B分別是平面內(nèi)點(diǎn)P所引三條射線PA、PC、PB上的點(diǎn)，線段AC、CB對(duì)點(diǎn)P的張角分別為且，則A、C、B三點(diǎn)共線的充要條件是：.推論：在定理的條件下，且，既PC平分APB，則A、C、B三點(diǎn)共線的充要條件是.二、競(jìng)賽中的平幾問題（一）等量關(guān)系1、在三角形ABC中，ABAC，過點(diǎn)A作三角形ABC外接圓的切線，交BC延長線于D，E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE交三角形ABC外接圓于F，求證：。2、已知由ABC的頂點(diǎn)A引出的兩條射線AX,AY分別于BC 交于點(diǎn)X,Y. 證明：成立的充要條件是.3、已知ABC滿足，D為AC上一點(diǎn)，且，ABC的內(nèi)切圓與AB,AC分別切于點(diǎn)K,L，BCD的內(nèi)心為J，AL與KL交于P. 證明：AP=JP .4、已知O、I分別表示ABC的外心與內(nèi)心，.求證：.5、在ABC中，的平分線與ABC的外接圓交于點(diǎn)R，與邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，與邊AC的垂直平分線交于點(diǎn)Q，設(shè)K,L分別是邊BC，AC的中點(diǎn).證明：與的面積相等.6、已知ABC中，ABAC，的一個(gè)外角平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)E，過E作EFAB于F，求證：2AF=ABAC .7、ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC中點(diǎn)，O是直線AM上一點(diǎn)，使得OBAB，Q是線段BC上不同于B和C的任意一點(diǎn)，E在直線AB上，F(xiàn)在直線AC上，使得E,Q,F是不同的和共線的. 求證：OQEF當(dāng)且僅當(dāng)QE=QF.8、如圖，銳角ABC中，AD是BC邊上的高，H是線段AD內(nèi)一點(diǎn)，BH和CH 的延長線分別交AC，AB于E,F. 求證：.9、四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分，在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F,延長DF交BC于G . 求證： .10、如圖，AD、BE、CF分別是銳角三角形ABC的三條高，垂足分別為D、E、F，以BC為直徑的圓O和AD交于G點(diǎn)，過G的直徑的另一端點(diǎn)為K，若EF、FK和BC分別交于M、N. 求證：OM=ON.（二）點(diǎn)共線、線共點(diǎn)11、如圖，圓內(nèi)接ABC為不等邊三角形，過點(diǎn)A、B、C分別作圓的切線依次交直線BC、CA、AB與P、Q、R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.12、如圖，以銳角ABC的一邊BC為直徑作圓O，過點(diǎn)A作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為M、N，點(diǎn)H是ABC的垂心，求證：M、H、N三點(diǎn)共線.13、如圖，凸四邊形ABCD的四邊與圓O相切，切點(diǎn)分別為P、M、Q、N，設(shè)PQ與MN交于S，證明：A、S、C三點(diǎn)共線.14、如圖，延長凸四邊形ABCD的邊AB、DC交于點(diǎn)E，延長AD、BC交于點(diǎn)F，又M、N、L分別是AC、BD、EF的中點(diǎn)，求證：M、N、L三點(diǎn)共線.15、如圖，凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AD、BC交于點(diǎn)P,作PE、PF切圓于E、F，又AC與BD交于K,證明：E、K、F三點(diǎn)共線.16、如圖，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)P, 圓的弦AB切圓于點(diǎn)C，延長PC交圓于點(diǎn)G，PA、PB分別交圓于點(diǎn)E、F，EF交PC于點(diǎn)D，延長AD交圓于點(diǎn)H.求證：（1）G為中點(diǎn)；（2）G、F、H三點(diǎn)共線.17、如圖，菱形ABCD中，圓O為的外接圓，M為其上一點(diǎn)，連MC交AB于E，延長AM交CB的延長線于F，求證：D、E、F三點(diǎn)共線.18、如圖，D、E、F分別是的邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且DE與AB交于點(diǎn)R，EF與BC交于點(diǎn)P，F(xiàn)D與CA交于點(diǎn)Q，證明：AD、BE、CF三線共點(diǎn)的充要條件P、Q、R三點(diǎn)共線.19、在中，P、Q為三角形內(nèi)兩點(diǎn)，使得,求證：A、P、Q三點(diǎn)共線.20、設(shè)A、B、C、D是一直線上依次排列的四個(gè)不同的點(diǎn)，分別以AC、BD為直徑的圓交于X、Y，直線XY交BC于Z，若P為XY上異于Z的一點(diǎn)，直線CP與以AC為直徑的圓交于C和M，直線BP和