利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型與技巧.doc

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型與技巧例題：已知函數(shù)，設(shè)，證明：.本題在設(shè)輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點設(shè)為自變量，范例中選用右端點，讀者不妨設(shè)為左端點試一試，就能體會到其中的奧妙了。技巧：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。1、利用題目所給函數(shù)證明【例1】 已知函數(shù)，求證：當(dāng)時，恒有【警示啟迪】如果是函數(shù)在區(qū)間上的最大（小）值，則有（或），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過就可得證2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù) 求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方；【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)做一做，深刻體會其中的思想方法。3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式 都成立.【警示啟迪】我們知道，當(dāng)在上單調(diào)遞增，則時，有如果，要證明當(dāng)時，那么，只要令，就可以利用的單調(diào)增性來推導(dǎo)也就是說，在可導(dǎo)的前提下，只要證明即可4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=在R上可導(dǎo)且滿足不等式x恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，求證：ab【警示啟迪】由條件移項后，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為，則移項后，要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)?！舅季S挑戰(zhàn)】1、設(shè)，求證：當(dāng)時，恒有，2、已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)其中a0，且， 求證：3、已知函數(shù)，求證：對任意的正數(shù)、， 恒有4、是定義在（0，+）上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足0，對任意正數(shù)a、b，若a 0 構(gòu)造函數(shù) ， 則 x+0， 從而在R上為增函數(shù)。 即 ab1、提示：，當(dāng)，時，不難證明 ，即在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時， ，當(dāng)時，恒有2、提示：設(shè)則 = ， 當(dāng)時， 故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，于是函數(shù) 在上的最小值是，故當(dāng)時，有，即3、提示：函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，即在上為減函數(shù) 當(dāng)時，即在上為增函數(shù)因此在取得極小值，而且是最小值于是，即令 于是因