麥克斯韋速率分布律的一種推導(dǎo)方法.doc

麥克斯韋速率分布律的一種推導(dǎo)方法安海東（天水師范學(xué)院，物理與信息科學(xué)學(xué)院,物理系，甘肅，天水，741000）摘要：運(yùn)用基本的初等方法推導(dǎo)出了麥克斯韋速率分布律，同時(shí)，對(duì)分布函數(shù)的歸一化表達(dá)式中和求力學(xué)量平均值積分運(yùn)算中對(duì)積分限可以取分子速率無(wú)限大作了定量的解釋和說明。關(guān)鍵詞：麥克斯韋速率分布律；分布函數(shù)；推導(dǎo)方法；分子數(shù)比率分類號(hào)：O552.3+1 One of the Derivation Methods of Maxwell Velocity Distribution LawAn Haidong(School of physics and information science，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu，741000)Abstract: Maxwell velocity distribution law is derived by the basic methods, meanwhile, why molecular speed can take the infinite quantity in the normalized of distribution function and the infinitesimal calculus of the average value of the mechanical quantity. In this thesis, the reasonable explanation is put forward by quantitative analysis.Key wards: Maxwell velocity distribution law，distribution function，derivation methods，number ratio of molecule物理與信息科學(xué)學(xué)院2009屆畢業(yè)論文1引言麥克斯韋速率分布律是熱學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)，但大學(xué)熱學(xué)教材沒有作詳細(xì)的推導(dǎo)，而是直接給出了麥克斯韋速率分布律，對(duì)在分布函數(shù)的歸一化表達(dá)式中和求力學(xué)量平均值的積分運(yùn)算中，為什么能對(duì)積分限取分子速率為無(wú)限大（根據(jù)狹義相對(duì)論，分子速率不能達(dá)到光速，更不能達(dá)到無(wú)限大）作了定量的分析，并得出結(jié)論，這種取法是合理的，可行的。2麥克斯韋速率分布函數(shù)的推導(dǎo)O圖 1設(shè)容器內(nèi)有一定量的氣體處于平衡態(tài)，氣體總分子數(shù)為N，以分子速度v在x，y，z三個(gè)方向的分量，為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示，處于平衡態(tài)的氣體分子速度分布應(yīng)該是各向同性的，分子速度分量限制在+，+，+內(nèi)，即它們的速度矢量的端點(diǎn)都在體積元=內(nèi)的分子數(shù)顯然與總分子數(shù)N和速度間隔體積元成正比，即 （1） （其中） （1）式中的比例系數(shù)為 （2）（2）式即為速度分布函數(shù)。其物理意義是在單位速度間隔=內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。速度分布函數(shù)的自變量取是為了不突出該函數(shù)只與速度的大小有關(guān)，與速度的方向無(wú)關(guān)這一特點(diǎn)。由于速度分布各向同性，速度的任一分量的分布與其他分量無(wú)關(guān)，故可令 （3）對(duì)上式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得 （4）上式分別對(duì)，求偏導(dǎo)，并注意到整理后有： (5.1) (5.2) (5.3)上面三個(gè)式子左邊是完全相同的，因而右邊也應(yīng)該是相等的，但(5.1)式中右邊僅與有關(guān)而與，無(wú)關(guān)，但（5.2）式中右邊僅與有關(guān)而與，無(wú)關(guān)，但（5.3）式中右邊僅與有關(guān)而與，無(wú)關(guān)，要使它們對(duì)任意的，都成立，則必須同時(shí)等于一個(gè)與，均無(wú)關(guān)的系數(shù)，即 （6）對(duì)上式積分得 （7.1） （7.2） （7.3）（其中，均為常數(shù)）將（7.1），（7.2），（7.3）式代入（3）式得 (其中=) （8）聯(lián)系實(shí)際，考慮到具有無(wú)限大速率的分子出現(xiàn)的幾率極小，故應(yīng)為負(fù)值。令，由歸一化條件得 （9） 將代入上式。可得 于是 （10）再利用分子平均動(dòng)能等于，這一關(guān)系：有 即 （11）O圖 2可以確定，代入（10）式便得到麥克斯韋速度分函數(shù)： （12）或 （13） 通常所說的速率分布函數(shù)指的是不論速度方向如何，只考慮速度大小的分布，所以在這種情況下，應(yīng)該在以，為坐標(biāo)軸的球坐標(biāo)系中表示。分子速度大小限制在v與v+dv之間而分子速度的方向?yàn)槿我猓此鼈兊乃俣仁噶康亩它c(diǎn)都落在半徑為，厚度為的球殼內(nèi)，這個(gè)球殼的體積等于，如圖2所示。用體積元代替體積。則氣體分子速率在vv+dv區(qū)間的分布為 （14）將麥克斯韋速度分函數(shù)（13）式代入上式得 （15）即 （16）這就是麥克斯韋速率分函數(shù)，即麥克斯韋速率分布律。3為何能取積分限為無(wú)限大在討論平衡態(tài)下氣體分子的速率分布時(shí)，不論在歸一化表達(dá)式中，還是在求力學(xué)量（如； ）的平均值的積分運(yùn)算中總是取積分上限為無(wú)限大。然而，根據(jù)狹義相對(duì)論，分子速率不能達(dá)到光速，更不能達(dá)到無(wú)限大。那么，為什么可以取積分限為無(wú)限大呢！為了解釋這一問題，先計(jì)算氣體分子速率大于某一速率v的分子數(shù)比率.以表示速率在0v之間的分子數(shù)比率，則（1）表示速率大于v的分子數(shù)比率。 令 則其中 即為分子的最可幾速率，這樣，根據(jù)麥克斯韋速率分布律，得 （17）其中在概率論和數(shù)理論中稱為誤差函數(shù)，用表示，即 （18）（其中的數(shù)值可查誤差函數(shù)簡(jiǎn)表：附表一）以空氣分子為例，作進(jìn)一步定量分析，取T=300K，平均摩爾質(zhì)量，可算出最可幾速率為=當(dāng)x=2.8時(shí)，速率在0之間的分子數(shù)比率為 速度大于的分子數(shù)比率約為由此可見，在計(jì)算中把積分限取為無(wú)限大與取為相比較，誤差僅是，這對(duì)我們要解決的實(shí)際問題，影響甚小，而計(jì)算卻非常簡(jiǎn)便。因此，在歸一化條件中以及在用速率分布函數(shù)計(jì)算力學(xué)量平均值時(shí)，通常把積分限取為無(wú)限大是可行的。4結(jié)束語(yǔ)綜上所述，麥克斯韋速率分布律可以采用一種初等的，基本的方法導(dǎo)出，通過對(duì)分布函數(shù)的歸一化表達(dá)式中和求力學(xué)量平均值的積分運(yùn)算中積分限可取分子速率為無(wú)限大作進(jìn)一步分析，從而得出結(jié)論：分布函數(shù)的歸一化表達(dá)式中和求力學(xué)量平均值的積分運(yùn)算中積分限取分子速率為無(wú)限大對(duì)我們解決實(shí)際問題影響甚小，卻能使計(jì)算變地簡(jiǎn)便，因此，這樣作是合理的，可行的。1參考文獻(xiàn)：1 李椿，章立源，錢尚武. 熱學(xué)M. 北京：高等教育出版社，1979：721053 范中和. 大學(xué)物理M. 陜西：陜西師范大學(xué)出版社，2006：2372414 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編. 高等數(shù)學(xué)M. 第五版. 北京：高等教育出版社，20015 張國(guó)文. 麥克斯韋速率分布函數(shù)的教學(xué). 晉東南師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)J. 2004. 第21卷.第2期6 李汝烯. 推導(dǎo)麥克斯韋分布律的一種方法. 大理師專學(xué)報(bào)J. 1997. 第1期7 吳敢. 麥克斯韋速度分布律幾種證明方法的比較. 大學(xué)物理J. 1989. 第12期8 吳瑞賢. 推導(dǎo)麥克斯韋速度分布律、速率分布律的簡(jiǎn)單方法. 大學(xué)物理J. 1982. 09期9 言經(jīng)柳. 麥克斯韋速率分布律的推導(dǎo). 南寧師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)J.