信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)四.doc

實(shí)驗(yàn)四、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1) 深刻理解和掌握拉普拉斯變換的運(yùn)算方法及其性質(zhì)；(2) 熟練掌握利用部分分式展開(kāi)的方法求解拉普拉斯逆變換，并能利用MATLAB實(shí)現(xiàn)；(3) 理解復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)的意義，并能熟練畫出其頻譜；(4) 利用復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析原理和方法。二、實(shí)驗(yàn)原理(1) 拉普拉斯變換拉普拉斯變換是分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的有效手段。信號(hào)的拉普拉斯變換定義為：其中，若以為橫坐標(biāo)（實(shí)軸），為縱坐標(biāo)（虛軸），復(fù)變量就構(gòu)成了一個(gè)復(fù)平面，稱為平面。(2) 部分分式展開(kāi)法求拉普拉斯逆變換如果是的實(shí)系數(shù)有理真分式，則可寫為：式中分母多項(xiàng)式稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，方程稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為系統(tǒng)的固有頻率（或自然頻率）。為將展開(kāi)為部分分式，要先求出特征方程的個(gè)特征根，這些特征根稱為極點(diǎn)。根據(jù)的極點(diǎn)或特征根的分布情況，可以將展開(kāi)成不同的部分分式。利用Matlab中的residue函數(shù)可得復(fù)雜的域表示式的部分分式展開(kāi)式，其調(diào)用形式為：r,p,k=residue(num,den)其中，num(numerator)、den(denominator)分別為分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量,r為所得部分分式展開(kāi)式的系數(shù)向量，p為極點(diǎn)，k為分式的直流分量。(2) 連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域分析拉普拉斯變換可以將連續(xù)系統(tǒng)從時(shí)域轉(zhuǎn)化到復(fù)頻域進(jìn)行分析，將描述系統(tǒng)的時(shí)域微積分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程，便于運(yùn)算和求解。在復(fù)頻域中描述系統(tǒng)的代數(shù)方程一般可表示為：即系統(tǒng)響應(yīng)在復(fù)頻域中也可以分解成零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。(3) 系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)與激勵(lì)的象函數(shù)之比稱為系統(tǒng)函數(shù)，即：系統(tǒng)函數(shù)只與描述系統(tǒng)的微分方程系數(shù)有關(guān)，即只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與外界因素（激勵(lì)、初始狀態(tài)等）無(wú)關(guān)。系統(tǒng)函數(shù)為復(fù)頻域中的函數(shù)，因此也存在著相頻特性和幅頻特性。而在系統(tǒng)分析時(shí)，經(jīng)常采用的是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)之間存在一定的關(guān)系。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，如果其系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)均在左半開(kāi)平面，那么它在虛軸上也收斂，從而得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：如果已經(jīng)知道系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布，則可以采用幾何矢量法求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，畫出系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線（參考第七章第一節(jié)系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)部分）。如果利用Matlab來(lái)求解系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性曲線，也可以用impulse函數(shù)求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，然后再利用freqs函數(shù)直接計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。它們的調(diào)用形式分別為：sys=tf(b,a)，y=impulse(sys,t)。其中tf函數(shù)中的b和a參數(shù)分別為L(zhǎng)TI系統(tǒng)微分方程右端和左端各項(xiàng)系數(shù)向量，分別對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)；implulse函數(shù)直接求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)。freqs函數(shù)直接計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，其調(diào)用形式為H=freqs(b,a,w)。其中b為頻率響應(yīng)函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)向量，a為分母多項(xiàng)式系數(shù)向量，它們也分別對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)函數(shù)相應(yīng)的系數(shù)向量；w為需要計(jì)算的頻率抽樣點(diǎn)向量。值得注意的是，這種方法的前提條件是系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)全部在復(fù)平面的左半開(kāi)平面，因此必須先對(duì)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)進(jìn)行分析和判斷，只有滿足了條件才可以如此求解。(5) 系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)函數(shù)通常是一個(gè)有理分式，其分子和分母均為多項(xiàng)式。如上所述，分母多項(xiàng)式的根對(duì)應(yīng)著其極點(diǎn)，而分子多項(xiàng)式的根則對(duì)應(yīng)著其零點(diǎn)。若連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)已知，系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來(lái)。即系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的特性。根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布來(lái)分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是零極點(diǎn)分析的重要應(yīng)用之一。在復(fù)頻域中，連續(xù)系統(tǒng)的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于復(fù)平面的左半平面內(nèi)。因此，只要考察系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布，就可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在Matlab中，求解系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)實(shí)際上是求解多項(xiàng)式的根，可調(diào)用roots函數(shù)來(lái)求出。求出零極點(diǎn)后，可以直接畫出零極點(diǎn)圖也可以調(diào)用pzmap(sys)函數(shù)來(lái)畫出由sys所描述的系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。三、程序示例示例1：求函數(shù)的拉普拉斯逆變換。源程序：num = 1 0;den = 1 6 8;r,p,k = residue(num, den);運(yùn)行結(jié)果為：r2 1p4 2k=0由運(yùn)行結(jié)果可知，有2個(gè)極點(diǎn)，分別是p4 2，所對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量分別是r2 1，因此可得的展開(kāi)式為：再由基本的拉普拉斯變換可知，的拉普拉斯逆變換為：示例2：求函數(shù)的拉氏逆變換。F(s)的分母不是多項(xiàng)式，可以利用conv函數(shù)將現(xiàn)在的因子相乘的形式轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式的形式，然后再調(diào)用residue函數(shù)。源程序如下：num = 1;a=conv(1 -1,1 -1);den = conv(1 0, a);r,p,k = residue(num, den);運(yùn)行結(jié)果為：r-1 1 1p1 1 0k=0由運(yùn)行結(jié)果可知，有1個(gè)單極點(diǎn)和一個(gè)重極點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量分別是r0，1，1，因此可得的展開(kāi)式為：再由基本的拉普拉斯變換可知，的拉普拉斯逆變換為：示例3：求函數(shù)的拉氏逆變換。同樣，的分母不是多項(xiàng)式，可以利用conv函數(shù)將現(xiàn)在的因子相乘的形式轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式的形式，然后再調(diào)用residue函數(shù)。源程序如下：num = 1 0 -4;den = conv(1 0 4, 1 0 4);r,p,k = residue(num, den);運(yùn)行結(jié)果為：r-0.0000-0.0000i 0.5000+0.0000i -0.0000+0.0000i 0.5000-0.0000ip-0.0000+2.0000i -0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -0.0000-2.0000ik=0由運(yùn)行結(jié)果可知，有2個(gè)重極點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量分別是r0，0.5，0，0.5，因此可得的展開(kāi)式為：再由基本的拉普拉斯變換可知，的拉氏逆變換為：示例4：已知系統(tǒng)函數(shù)為：，畫出該系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。源程序如下：num=1 -1;den=1 2 2;zs=roots(num);ps=roots(den);% The first method figure(1);plot(real(zs),imag(zs),o,real(ps),imag(ps), kx, markersize,12);axis(-2 2 -2 2);grid on;sys=tf(num,den);% The second methodfigure(2);pzmap(sys);運(yùn)行結(jié)果為：從運(yùn)行結(jié)果可以看出，兩種方法所畫出的零極點(diǎn)圖是一致的。示例5：已知系統(tǒng)函數(shù)為：，利用Matlab畫出該系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和幅頻響應(yīng)。源程序如下：num=1;den=1 2 2 1;sys=tf(num,den);poles=roots(den);figure(1);pzmap(sys);xlabel(t(s);ylabel(h(t);title(Impulse Response);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);H,w=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H);xlabel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title(Magenitude Response);運(yùn)行結(jié)果為：poles =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i即該系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)都位于s平面的左半平面，因此該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其極點(diǎn)分布圖、單位沖激響應(yīng)和幅頻響應(yīng)分別如下圖所示。四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟(1) 求函數(shù)的拉氏逆變換。程序代碼：n=5d=1 1 4 4r,p,k = residue(n, d)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：n =5d =1 1 4 4r =-0.5000 - 0.2500i -0.5000 + 0.2500i 1.0000 p = -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 k =(2) 已知連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，試用Matlab畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。num=1 0 -4;den=1 2 -3 2 1;zs=roots(num);ps=roots(den);% The first method figure(1);plot(real(zs),imag(zs),o,real(ps),imag(ps), kx, markersize,12);axis(-2 2 -2 2);grid on;sys=tf(num,den);% The second methodfigure(2);pzmap(sys);實(shí)驗(yàn)結(jié)果：四個(gè)極點(diǎn)：兩個(gè)零點(diǎn)：-2和2零極點(diǎn)圖如下圖所示：(3) 已知系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。程序代碼：num=1 4;den=1 3 2 0;sys=tf(num,den);poles=roots(den);figure(1);pzmap(sys);xlabel(t(s);ylabel(h(t);title();t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);H,w=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H);xlabel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title();axis(0 10 0 10)(4) 已知連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布圖如下所示，試用Matlab分析系統(tǒng)沖激響應(yīng)