第2章 優(yōu)化設計的數(shù)學模型及基本要素.pdf

1 第 2 章 優(yōu)化設計的數(shù)學模型及基本要素 第 2 章 優(yōu)化設計的數(shù)學模型及基本要素 Chapter 2 Mathematical Modeling for Optimization 2 1 數(shù)學模型的建立數(shù)學模型的建立 mathematical modeling 建立數(shù)學模型 就是把實際問題按照一定的格式轉(zhuǎn)換成數(shù)學表達式的過程 數(shù)學模型 建立的合適 正確與否 直接影響到優(yōu)化設計的最終結(jié)果 建立數(shù)學模型 通常是根據(jù)設計要求 應用相關基礎和專業(yè)知識 建立若干個相應的 數(shù)學表達式 如機械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計 主要是根據(jù)力學 機械設計基礎等專業(yè)基礎知識及機 械設備等專業(yè)知識來建立數(shù)學模型的 當然 要建立能夠反映客觀實際的 比較準確的數(shù)學模型并非容易之事 數(shù)學模型建 的過于復雜 涉及的因素太多 數(shù)學求解時可能會遇到困難 而建的太簡單 又不接近實際 情況 解出來也無多大意義 因此 建立數(shù)學模型的原則 建立數(shù)學模型的原則 抓主要矛盾 盡量使問題合理簡 化 Principle The problem is simplified as much as possible 由于設計對象千變?nèi)f化 即使對同一個問題 由于看問題的角度不同 數(shù)學模型建的 可能也不一樣 建立數(shù)學模型不可能遵循一個不變的規(guī)則 本課也不準備把大量的時間花在 數(shù)學模型的建立上 僅想以幾個例子來演示一下數(shù)學模型的建立過程 使學生從中得到一些 啟發(fā) Exp 2 1 例例 2 1 用寬度為cm24 長度cm100的薄 鐵皮做成cm100長的梯形槽 確定折邊的尺寸 x和折角 如圖 2 1 所示 使槽的容積最大 解解 由于槽的長度就是板的長度 槽的梯形 截面積最大就意味著其容積最大 因此 該問題 就由 求體積最大變成求截面積最大 槽的梯形 截面積為 圖 2 1 2 1 S 高 上底邊 下底邊 其中 上底邊 x224 下底邊 cos2224xx 高 sinx 定義 定義 該優(yōu)化設計問題的目標函數(shù)是槽的梯形截面積S 設計變量為 x 問題可以簡單地 歸結(jié)為 選擇適當?shù)脑O計變量 x 在一定的限制條件下 使目標函數(shù)S達到最大 限制條 件為 120 2 0 n 設計空間就無法用圖來表示 稱為超越空間 transcend space 3 設計變量的選取 設計空間的維數(shù)表示設計的自由度數(shù) 設計變量越多 設計自由度就越大 可供選擇 的方案就越多 容易得到比較理性的結(jié)果 但隨著設計變量數(shù)目的增多 必然會使問題復雜 化 給尋優(yōu)帶來更大的困難 因此 在滿足基本設計要求的前提下 應盡量減少設計變量的 個數(shù) 把對目標函數(shù)影響較大的那些參數(shù)選作設計變量 但也應注意實用性 如為了選擇一 種最合適的材料 將材料的某些性能取為設計變量 但這樣求得的最優(yōu)值 從材料供應方面 往往難以實現(xiàn) The variables are chosen as a few as possible 2 2 2 目標函數(shù) Objective Function 1 目標函數(shù)的表示 在優(yōu)化設計中用于評價設計方案好壞的衡量標準 Criterion 稱為目標函數(shù)或評價函 數(shù) 它是設計變量的函數(shù) 記作 21n xxxfXfK 在工程實際中 優(yōu)化設計問題的目標函數(shù)有二種形式 目標函數(shù)的極小化或極大化 即 Maximization Minimization min Xf或 max Xf 其實 目標函數(shù) Xf的極大化就等價于的極大化就等價于 Xf 的極小化的極小化 為了統(tǒng)一優(yōu)化算法和程序 以 后最優(yōu)化均指目標函數(shù)的極小化最優(yōu)化均指目標函數(shù)的極小化 建立目標函數(shù)是整個優(yōu)化設計中的重要環(huán)節(jié) 在機械設計中 目標函數(shù)主要根據(jù)設計 準則來建立的 對于機構(gòu)的優(yōu)化設計 這個準則可以是運動學或動力學的特性 如運動誤差 振動特性等 對于另部件的設計 這個準則可以是重量 體積 效率等 對于產(chǎn)品設計 也 可以將成本 價格 壽命等作為設計追求的目標 2 單目標和多目標優(yōu)化問題 Single or Multi Objective Function 在優(yōu)化設計中 數(shù)學模型中僅包含一項設計準則 即目標函數(shù)的稱為單目標優(yōu)化問題 同時包含若干個設計準則的就是多目標優(yōu)化問題 一般來說 目標函數(shù)越多 對設計的評價 就越周全 設計的綜合效果就應該越好 但對問題的求解就會越復雜 本課主要解決單目標 優(yōu)化問題 在最后介紹一些多目標問題的求解方法 3 目標函數(shù)等值線 Level Curves Isoline 目標函數(shù) Xf是設計變量x的函數(shù) 一組設計變量 T n xxxK 21 就代表一個設計方 案 在設計空間就確定了一個設計點 k x 就有確定的目標函數(shù) k xf與之對應 但反過來 一定值的目標函數(shù)CXf 卻有無窮多個設計點與之對應 這無窮多個目標函數(shù)相同的 09 6 設計點的集合 就稱為目標函數(shù)的等值線 二維函數(shù)是等值線 三維函數(shù)是等值面 三維以 上是等值超曲面 2 2 3 約束條件 Constraint 如前所述 設計空間是所有設計方案的集合 但從工程實用角度上來說 不是所有的設 計方案都能接受 如負面積等 為了得到可以接受的 可行的 設計方案 feasible project 必須根據(jù)實際情況和要求 對設計變量的取值加以限制 這種限制就稱為約束條件 1 約束種類 等式約束和不等式 Equality Inequality 12 0 1 2 uun gXgx xxum KK 2 1 0 21 npvxxxhXh nvv KK 其中 pm 分別表示不等式和等式約束的數(shù)目 注意p必須小于n 即np 圖 2 5 09 7 應注意在本書中 不等式約束都寫成0 Xgu的形式 對于0 Xgu的約束 可 以寫成0 Xgu的形式 2 可行域與非可行域 Feasible Set 由于引入約束以后 設計點在n維設計空間內(nèi)被分成二部分 滿足約束條件的設計點 稱為可行設計點 可行設計點的集合稱為可行域 位于可行域邊界上的設計點亦是可行點 Feasible Point 過該點的約束為起作用約束 Active Constraint 否則 為不起作 用約束 Inactive Constraint 不滿足約束條件的設計點的集合為非可行域 下面以二維 問題為例說明之 四個不等式約束 一個等式約束 可行 非可行點 起作用 不起作用約束 如圖2 6 所示 圖 2 6 2 2 4 數(shù)學模型的一般形式 General Form 由設計變量 目標函數(shù)和約束條件組成的數(shù)學模型實際上就是優(yōu)化問題的數(shù)學抽象 用文字 可以表述為 在滿足一定的約束條件下 尋找一組設計變量 12 T n Xx xx K 使目標函數(shù) Xf達到最優(yōu)值 其數(shù)學表達式為 n n RXxxxfXf min 21 K ts 12 0 1 2 uun gXgx xxum KK 2 1 0 21 npvxxxhXh nvv KK 在數(shù)學模型中 如果目標函數(shù)和約束函數(shù) XhXgXf vu 都是設計變量X的線 性函數(shù) 則稱線性規(guī)劃問題 Linear Programming 否則為非線性規(guī)劃問題 Nonlinear Programming 當0 pm時 則 稱 為 無 約 束 優(yōu) 化 問 題 Unconstrained Optimization 當pm 中有一個不為零 即為約束優(yōu)化問題 Constrained Optimization 在工程實際中 不加任何限制的設計問題是很少遇到的 研究它僅有理論意義 而絕大多數(shù) 的工程優(yōu)化問題都屬于非線性約束優(yōu)化問題 The n dimensional vectors 12 T n Xxxx K whose values are restricted to 09 8 satisfy a number equations 0 v h X and a set of inequalities 0 u gX are searched to get the minimum of a function f X Review 2 Mathematical Modeling l General Form 12 12 12 min 0 1 0 1 n n uun vvn f Xf x xx xR stgxgx xx um h xh x xx vpn K K K K K The n dimensional vector 12 T n Xx xx K whose components are subjected to a set of constraints is searched to get the minimum of a function f X l Three factors Variable must be independent is continuous Expression 1 2 12 T n n x x Xx xx x K M vector Design space Choose The variables are chosen as a few as possible Objective function minimize fun minf X single objective