全國(guó)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段檢測(cè)試題(四)理.docx

階段檢測(cè)試題(四)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1幾何體的三視圖和直觀圖2幾何體的表面積和體積4,9,14,19點(diǎn)線面的位置關(guān)系3,7,8平行或垂直的判定與證明6,13,18空間角和距離10,11,15,16,20綜合問(wèn)題5,12,17,21,22一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.下列說(shuō)法正確的是(D)(A)有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱(B)有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱(C)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐(D)棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)解析:棱臺(tái)也有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形,所以排除A;有兩個(gè)面平行,其余各面中相鄰兩面的公共邊不一定都平行,如圖(1)幾何體就不是棱柱.排除B.又據(jù)圖(2)排除C;只有D符合棱臺(tái)的定義.2.(2016全國(guó)卷) 如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為(B)(A)18+36(B)54+18(C)90(D)81解析:由三視圖知此多面體是一個(gè)斜四棱柱,其表面積S=2(33+36+33)=54+18.故選B.3.(2016嘉興月考)對(duì)于空間的兩條直線m,n和一個(gè)平面,下列命題中的真命題是(D)(A)若m,n,則mn(B)若m,n,則mn(C)若m,n,則mn(D)若m,n,則mn解析:對(duì)A,直線m,n可能平行、異面或相交,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)B,直線m與n可能平行,也可能異面,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)C,m與n垂直而非平行,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)D,垂直于同一平面的兩直線平行,故選項(xiàng)D正確.4.(2015山東卷)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(B)(A) (B)(C)2(D)4解析:由題意,該幾何體可以看作是兩個(gè)底面半徑為,高為的圓錐的組合體,其體積為2()2=.5.水以勻速注入某容器中,容器的三視圖如圖所示,其中與題中容器對(duì)應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象是(C)解析:由三視圖知其直觀圖為兩個(gè)圓臺(tái)的組合體,水是勻速注入的,所以水面高度隨時(shí)間變化的變化率先逐漸減小后逐漸增大,又因?yàn)槿萜鞯膶?duì)稱(chēng)性,所以函數(shù)圖象關(guān)于一點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).故選C.6. (2016銅川質(zhì)檢)如圖,直線PA垂直于圓O所在的平面,ABC內(nèi)接于圓O,且AB為圓O的直徑,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).現(xiàn)有以下命題:BCPC;OM平面APC;點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng).其中真命題的個(gè)數(shù)為(D)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:易證BC平面PAC,所以BCPC;OMPA,易證OM平面APC;因?yàn)锽C平面PAC,所以點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng);故都正確.7.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三個(gè)向量共面,則實(shí)數(shù)等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:由于a,b,c三個(gè)向量共面,所以存在實(shí)數(shù)m,n使得c=ma+nb,即有解得m=,n=,=.8.(2014遼寧卷)已知m,n表示兩條不同直線,表示平面.下列說(shuō)法正確的是(B)(A)若m,n,則mn(B)若m,n,則mn(C)若m,mn,則n(D)若m,mn,則n解析:對(duì)于選項(xiàng)A,若m,n,則m與n可能相交、平行或異面,A錯(cuò)誤;顯然選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,若m,mn,則n或n,C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,若m,mn,則n或n或n與相交,D錯(cuò)誤.故選B.9.(2016銀川一模)一平面截一球得到直徑為2 cm的圓面,球心到這個(gè)平面的距離是2 cm,則該球的體積是(B)(A)12 cm3 (B)36 cm3(C)64 cm3(D)108 cm3解析:由題意可知,球的半徑R=3(cm),所以球的體積V=R3=33=36(cm3).10. 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702413已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB=2,CC1=2,E為CC1的中點(diǎn),則直線AC1與平面BDE的距離為(D)(A)2(B)(C)(D)1解析: 如圖,連接AC,交BD于O,連接OE,在CC1A中,易證OEAC1.從而AC1平面BDE,所以直線AC1到平面BDE的距離即為點(diǎn)A到平面BDE的距離,設(shè)為h.由等體積法,得=SBDEh=SABDEC=22=.又因?yàn)樵贐DE中,BD=2,BE=DE=,所以O(shè)E=2,所以SBDE=22=2.所以h=1.故選D.11.已知平面截一球面得圓M,過(guò)圓心M且與成60二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4,圓M的面積為4,則圓N的面積為(D)(A)7(B)9(C)11(D)13解析: 如圖,由題意可知AMN=60,設(shè)球心為O,連接ON,OM,OB,OC,則ONCD,OMAB,且OB=4,OC=4.在圓M中,因?yàn)镸B2=4,所以MB=2.在OMB中,OB=4,所以O(shè)M=2.在MNO中,OM=2,NMO=90-60=30,所以O(shè)N=.在CNO中,ON=,OC=4,所以CN=,所以S=CN2=13.故選D.12. 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702415如圖,已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球,則平面ACD1截球O的截面面積為(A)(A) (B)(C)(D)解析: 根據(jù)正方體的幾何特征知,平面ACD1是邊長(zhǎng)為的正三角形,且球與以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為三角形ACD1三邊的中點(diǎn),故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積,由圖得ACD1內(nèi)切圓的半徑是tan 30=,故所求的截面圓的面積是()2=.故選A.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.假設(shè)平面平面=EF,AB,CD,垂足分別為B,D,如果增加一個(gè)條件,就能推出BDEF,現(xiàn)有下面四個(gè)條件:AC;AC與,所成的角相等;AC與BD在內(nèi)的射影在同一條直線上;ACEF.其中能成為增加條件的是 .(把你認(rèn)為正確的條件序號(hào)都填上)解析:如果AB與CD在一個(gè)平面內(nèi),可以推出EF垂直于該平面,又BD在該平面內(nèi),所以BDEF.故要證BDEF,只需AB,CD在一個(gè)平面內(nèi)即可,只有能保證這一條件.答案:14.已知正四棱錐O-ABCD的體積為,底面邊長(zhǎng)為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為.解析:正四棱錐O-ABCD中,頂點(diǎn)O在底面的射影為底面中心E,則()2OE=,所以O(shè)E=,故球半徑OA=,從而球的表面積為24.答案:2415.(2016鄭州質(zhì)檢)正四棱錐SABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角的大小為.解析:以O(shè)為原點(diǎn),向 量,向量為x,y,z軸正方向,SO為一個(gè)單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系,則有A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),S(0,0,1),D(0,-1,0),P(0,-,),向量=(-1,-1,0),向量=(-1,-),=(-2,0,0),設(shè)n=(x,y,z)是平面PAC的法向量,所以令z=1,x=0,y=1,所以n=(0,1,1),cos=-.所以BC與平面PAC所成角為30.答案:3016. 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702416如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E是A1B1上的點(diǎn),則點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離是.解析:以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)E(1,a,1)(0a1),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),=(1,a,0),=(0,1,0),=(-1,1,1),設(shè)n=(x,y,z)是平面ABC1D1的法向量,則n=0,n=0.所以解得x=1,z=1.所以n=(1,0,1),所以E點(diǎn)到平面ABC1D1的距離d=.答案:三、解答題(本大題共6小題,共70分)17. (本小題滿分10分) (2015安徽卷)如圖,三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)證明:在線段PC上存在點(diǎn)M,使得ACBM,并求的值.(1)解:由題設(shè)AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=ABACsin 60=.由PA平面ABC,可知PA是三棱錐PABC的高,又PA=1,所以三棱錐P-ABC的體積V=SABCPA=.(2)證明: 如圖,在平面ABC內(nèi),過(guò)點(diǎn)B作BNAC,垂足為N.在平面PAC內(nèi),過(guò)點(diǎn)N作MNPA交PC于點(diǎn)M,連接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN,又BM平面MBN,所以ACBM.在RtBAN中,AN=ABcos BAC=,從而NC=AC-AN=,由MNPA,得=.18.(本小題滿分12分)設(shè)向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),計(jì)算2a+3b,3a-2b,ab以及a與b所成角的余弦值,并確定,的關(guān)系,使a+b與z軸垂直.解:因?yàn)?a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16),3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28),ab=(3,5,-4)(2,1,8)=32+51-48=-21,|a|=,|b|=,所以cos=-.因?yàn)?a+b)(0,0,1)=(3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=-4+8=0,所以只要,滿足=2即可使a+b與z軸垂直.19.(本小題滿分12分) 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702417如圖,正方形ADMN與矩形ABCD所在平面互相垂直,點(diǎn)E在線段AB上,AB=2AD=6.(1)若AE=EB,求證:BM平面NDE;(2)若BE=2EA,求三棱錐MDEN的體積.(1)證明:連接AM,AMND=F,四邊形ADMN為正方形,則F是AM的中點(diǎn).又因?yàn)镋A=EB,連接EF,則EF為ABM的中位線,所以EFBM.又因?yàn)锽M平面NDE,EF平面NDE,所以BM平面NDE.(2)解:當(dāng)BE=2EA時(shí),E為AB的三等分點(diǎn).所以AE=AB=2,MN=MD=3,可證得AE平面ADMN.所以=SMNDAE=MNMDAE=332=3.20.(本小題滿分12分) 如圖所示,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.ABCD,ABBC,AB=2CD=2BC,EAEB.(1)求證:ABDE;(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值.(1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接EO,DO.因?yàn)镋B=EA,所以EOAB.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形,AB=2CD=2BC,ABBC,所以四邊形OBCD為正方形,所以ABOD.又EOOD=O,所以AB平面EOD.因?yàn)镋D平面EOD,所以ABED.(2)解:法一因?yàn)槠矫鍭BE平面ABCD,且ABBC,所以BC平面ABE.則CEB即為直線EC與平面ABE所成的角.設(shè)BC=a,則AB=2a,BE=a,所以CE=a.則在直角三角形CBE中,sin CEB=,即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.法二因?yàn)槠矫鍭BE平面ABCD,且EOAB,所以EO平面ABCD,所以EOOD.由OB,OD,OE兩兩垂直可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镋AB為等腰直角三角形,所以O(shè)A=OB=OD=OE.設(shè)OB=1,則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).所以=(1,1,-1),平面ABE的一個(gè)法向量為=(0,1,0).設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為,所以sin =|cos|=.即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.21.(本小題滿分12分) 導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702418如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B平面ABC,ABAC.(1)求證:ACBB1;(2)若AB=AC=A1B=2,在棱B1C1上確定一點(diǎn)P,使二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為.(1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,因?yàn)锳1B平面ABC,A1B平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面ABC.因?yàn)槠矫鍭BB1A1平面ABC=AB,ABAC,所以AC平面ABB1A1,所以ACBB1.(2)解: 如圖所示,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),=(2,-2,0).設(shè)=(2,-2,0),0,1,則P(2,4-2,2).設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z),因?yàn)?(2,4-2,2),=(0,2,0),所以即所以令x=1,得n1=(1,0,-).而平面ABA1的一個(gè)法向量是n2=(1,0,0),所以|cos|=,解得=,即P為棱B1C1的中點(diǎn).22.(本小題滿分12分)導(dǎo)學(xué)號(hào) 18702419如圖(1),直角梯形ABCD中,ABCD,DAB=90,點(diǎn)M,N分別在AB,CD上,且MNAB,MCCB,BC=2,MB=4,現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖(2).(1)求證:AB平面DNC;(2)當(dāng)DN的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角D-BC-N的大小為30.(1)證明:因?yàn)镸BNC,MB平面DNC,NC平面DNC,所以MB平面DNC.同理MA平面DNC,又MAMB=M,且MA,MB平面MAB.所以平面MAB平面NCD,又AB平面MAB,所以AB平面DNC.(2)解:法一過(guò)N作NHBC交BC延長(zhǎng)線于H,連DH(圖略),因?yàn)槠矫鍭MND平面MNCB,交線為MN,DNMN,所以DN平面MNCB,BC平面MNCB,所以DNBC,所以BC平面DNH,從而DHBC,所以DHN為二面角D-BC-N的平面角.所以DHN=30,由MB=4,BC=2,