模態(tài)分析經(jīng)典課件.ppt

第四章模態(tài)分析 第四章模態(tài)分析 4 1引言4 2實模態(tài)分析4 3復(fù)模態(tài)分析4 4試驗?zāi)B(tài)分析 緒論 機(jī)械振動的研究對象 意義數(shù)學(xué)準(zhǔn)備和運動學(xué) 緒論 機(jī)械振動的研究對象 意義 振動 是指物理量在它的平均值附近不斷地經(jīng)過極大值和極小值而往復(fù)變化的過程 機(jī)械振動指機(jī)械或結(jié)構(gòu)在它的靜平衡位置附近的往復(fù)彈性運動 機(jī)械振動研究的對象是機(jī)械或結(jié)構(gòu) 即具備質(zhì)量和彈性的物體 在理論分析時 需要把機(jī)械或結(jié)構(gòu)按照力學(xué)原理 通過數(shù)學(xué)建模 抽象為力學(xué)系統(tǒng) 又稱為數(shù)學(xué)模型 可以產(chǎn)生機(jī)械振動的力學(xué)系統(tǒng)稱為振動系統(tǒng) 振動系統(tǒng)三要素及其關(guān)系 振動系統(tǒng)的三要素 激勵 系統(tǒng)和響應(yīng)外界對振動系統(tǒng)的激勵或作用 稱為振動系統(tǒng)的激勵或輸入 系統(tǒng)對外界影響的反映 稱為振動系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出 二者由系統(tǒng)的振動特性相聯(lián)系 三種基本振動問題 響應(yīng)分析 在擾動條件和系統(tǒng)特性已知的情形下 求系統(tǒng)的響應(yīng) 系統(tǒng)識別 分析已知的激勵與響應(yīng) 確定振動系統(tǒng)的性質(zhì) 環(huán)境預(yù)測 已知振動系統(tǒng)和在未知激勵下的響應(yīng) 研究該未知激勵的性質(zhì) 響應(yīng)分析 車輛在給定的路面上行走 求車身的加速度響應(yīng) 工程提法 系統(tǒng)設(shè)計 在一定的激勵條件下 如何來設(shè)計系統(tǒng)的特性 使得系統(tǒng)的響應(yīng)滿足指定的條件 系統(tǒng)識別 方法 以某種已知的激振力作用在被測振動系統(tǒng)上 使其產(chǎn)生響應(yīng) 根據(jù)已知的激勵和測量得到的響應(yīng)量值 進(jìn)而根據(jù)一定的分析方法 模態(tài)分析 確定系統(tǒng)的振動參數(shù) 如 質(zhì)量矩陣 剛度和阻尼矩陣以及系統(tǒng)的振型和固有頻率向量 模態(tài)試驗 環(huán)境預(yù)測 例 振源判斷 載荷識別 基于振動信號的工況監(jiān)視與故障診斷 例 用五輪儀來測量路面的不平度對于五輪儀 其系統(tǒng)特性已知 通過測量五輪儀的輸出 可以反推出路面的不平度特性 機(jī)械振動的作用 消極方面 影響儀器設(shè)備功能 降低機(jī)械設(shè)備的工作精度 加劇構(gòu)件磨損 甚至引起結(jié)構(gòu)疲勞破壞 積極方面 利用振動性能的設(shè)備 機(jī)械振動的破壞作用 顫振 大氣紊流和其他振源都會使飛機(jī)等飛行器產(chǎn)生振動 舒適性 機(jī)載儀表 自激振動 輸電線的舞動1940年美國塔可馬 TacomaNarrows 吊橋在中速風(fēng)載作用下 因橋身發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動和上下振動造成坍塌事故1972年日本海南的一臺66 104kW汽輪發(fā)電機(jī)組 在試車過程中發(fā)生異常振動而全機(jī)毀壞 步兵在操練時 不能正步通過橋梁 以防發(fā)生共振現(xiàn)象造成橋梁坍塌 機(jī)械振動的積極作用 共振放大利用顆粒的振動進(jìn)行清洗 拋光 零件去毛刺 利用振動減小零部件之間的摩擦阻力和間隙 學(xué)習(xí)機(jī)械振動的意義 進(jìn)行結(jié)構(gòu)動強(qiáng)度設(shè)計的需要消除有害的振動利用振動有利的一面是學(xué)好相關(guān)知識的基礎(chǔ) 離散系統(tǒng)的基本元件 機(jī)械振動系統(tǒng) 慣性元件 彈性元件 阻尼元件 外界激勵 通常用物理量 質(zhì)量M 剛度K 阻尼C 和外界激勵F表示 振動分類 按系統(tǒng)分 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng) 按激勵分 自由振動受迫振動自激振動參數(shù)共振 振動分類 按響應(yīng)分 簡諧振動周期振動非周期振動隨機(jī)振動 按自由度分 單自由度振動多自由度振動連續(xù)體振動 運動學(xué) 一 簡諧運動 按時間的正弦函數(shù) 或余弦函數(shù) 所作的振動 振幅 相位 初相位 圓頻率 運動學(xué) 簡諧振動的速度和加速度 位移 速度 加速度 大小和位移成正比 方向和位移相反 始終指向平衡位置 運動學(xué) 拍 不同頻率振動的疊加 頻率接近于相等時 拍的頻率 每秒中振幅從最小值經(jīng)過最大值到最小值的次數(shù)拍的圓頻率 w1 w2 運動學(xué) 簡諧振動的復(fù)數(shù)表示 復(fù)平面上的一點z代表一個矢量使該矢量以等角速度w在復(fù)平面內(nèi)旋轉(zhuǎn) 復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量 運動學(xué) 速度 加速度的復(fù)數(shù)表示 位移 速度 加速度 對復(fù)數(shù)Aeiwt每求導(dǎo)一次 相當(dāng)于在它的前面乘上一個iw 而每乘上一個i 相當(dāng)于把這個復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量逆時針旋轉(zhuǎn)p 2 運動學(xué) 諧波分析 把一個周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù) 亦即展開成一系列簡諧函數(shù)之和 一般的周期振動可以通過諧波分析分解成簡諧振動 運動學(xué) 諧波分析 傅立葉級數(shù) w1 基頻 諧波分析 兩個頻率相同的簡諧振動可以合成一個簡諧振動 把諧波分析的結(jié)果形象化 An jn和w之間的關(guān)系用圖形來表示 稱為頻譜 單自由度系統(tǒng) 自由振動簡諧振動非周期強(qiáng)迫振動 自由振動 振動系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后的運動狀態(tài) 自由振動時系統(tǒng)不受外界激勵的影響 其運動時的能量來自于初始時刻彈性元件和慣性元件中存儲的能量 振動規(guī)律完全取決于初始時刻存儲的能量和系統(tǒng)本身的性質(zhì) 運動微分方程 振動系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后的運動狀態(tài) 自由振動時系統(tǒng)不受外界激勵的影響 其運動時的能量來自于初始時刻彈性元件和慣性元件中存儲的能量 振動規(guī)律完全取決于初始時刻存儲的能量和系統(tǒng)本身的性質(zhì) 運動微分方程 運動微分方程 運動微分方程 解 運動微分方程 單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動 能量關(guān)系 意義 慣性力的功率Fm與彈性力的功率Fs之和為零 能量關(guān)系 能量關(guān)系 Rayleigh商 動能系數(shù) 阻尼自由振動 方程 阻尼自由振動 解 特征方程 臨界阻尼 阻尼自由振動 特征方程解 阻尼自由振動 方程的通解 三種情況 1 相異實根 阻尼大于臨界阻尼 強(qiáng)阻尼 1 重根 阻尼等于臨界阻尼 1 共軛復(fù)根 阻尼小于臨界阻尼 弱阻尼 阻尼自由振動 1 1 阻尼自由振動 1 阻尼固有頻率 阻尼自由振動 對數(shù)衰減率 簡諧強(qiáng)迫振動 方程 解 簡諧強(qiáng)迫振動 系數(shù) 簡諧強(qiáng)迫振動 放大系數(shù) 0 1 2 3 4 X A 0 5 1 n 1 0 7 0 4 0 3 0 2 0 1 2 3 1 0 7 0 5 0 2 0 1 簡諧強(qiáng)迫振動 相頻特性 簡諧強(qiáng)迫振動 全解 簡諧強(qiáng)迫振動 全解 振動計 0 1 2 3 4 6 7 5 0 1 2 A B C y0 a0 w wn 位移測量計 擾動頻率大于儀器的固有頻率 B點 記錄的振幅逐漸接近于擾動頻率的振幅儀器的固有頻率應(yīng)該比要記錄測量的頻率低2倍當(dāng)振動包含高階頻率時 不影響位移振動計的測量 簡諧強(qiáng)迫振動 振動加速度計 0 1 2 3 4 6 7 5 0 1 2 A B C y0 a0 w wn 振動加速度計的固有頻率應(yīng)該是所記錄測量的最高頻率的2倍以上 簡諧強(qiáng)迫振動 振動加速度計 振幅 r0 a w wn 0 0 25 0 50 0 75 1 00 1 25 1 50 1 75 2 00 0 0 5 1 0 1 5 2 0 c cc 0 拋物線 c cc 0 5 c cc 0 7 為了避免高階諧振共振影響振動加速度計工作 必須在振動加速度計中加入阻尼 0 5和0 7臨界阻尼比無阻尼曲線更接近理想加速度計曲線 簡諧強(qiáng)迫振動 振動加速度計 相位 當(dāng)阻尼在0 5 0 7臨界阻尼之間時 相位差特性曲線很接近低于共振區(qū)域的對角線 相位差近似正比于頻率 記錄的波的合成與實際波相同 簡諧強(qiáng)迫振動 振動的隔離原理 k 通過彈簧傳給下層結(jié)構(gòu)的力 可傳性 簡諧強(qiáng)迫振動 振動的隔離原理 阻尼 w wn 隔振系數(shù) 1 0 2 0 1 2 3 0 25 0 5 0 5 c cc 0 w wn 1 41區(qū)域中 阻尼使隔振系數(shù)減小 但仍然比1大 阻尼的存在使隔振系數(shù)更壞 阻尼的存在可以有效防止共振阻尼的不利效應(yīng)可以很容易通過使彈簧變得更軟來彌補 非周期強(qiáng)迫振動 脈沖力 t 時的單位脈沖力 重要性質(zhì) F t 在t 連續(xù) 則有 非周期強(qiáng)迫振動 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 條件 t 0以前系統(tǒng)靜止 t 0時刻受到一個單位脈沖力作用 解為單位脈沖響應(yīng) h t 0t 0 非周期強(qiáng)迫振動 卷積極分 把任意激勵F t 看成一系列脈沖函數(shù)的疊加 定解問題 解 多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)振動方程固有振動動力響應(yīng)分析 多自由度系統(tǒng)振動方程 例 多自由度系統(tǒng)振動方程 x x1 x2 T f t f1 t f2 t T 多自由度系統(tǒng)振動方程 質(zhì)量矩陣 阻尼矩陣 剛度矩陣的性質(zhì) 對稱性 正定性 耦合 慣性耦合 阻尼耦合 彈性耦合 耦合的消除 固有振動 2反向運動 例 對稱系統(tǒng) 特殊初始條件下的振動 1同向運動 x1 0 x2 0 x0 x1 0 x2 0 x0 固有振動 固有振動 3任意初始條件 分解為兩個初始條件 固有振動 數(shù)學(xué)提法 方程 特征值問題 頻率方程 K 2Mu kij 2mij 0 解為 固有頻率 1 2 n 振型 1 2 n 固有頻率矩陣 diag 1 2 n 振型矩陣 1 2 n K K 1 K 2 K n 12 1 22 2 n2 n 固有振動 振型的正交性 當(dāng)r s時 如果 r s 則有 可證 振型之間線性無關(guān) 可定義以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為權(quán)的內(nèi)積 即 振型之間彼此以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為權(quán)正交 K xTKy M xTMy 當(dāng)y x時 K xTKx M xTMx 固有振動 振型正交性的物理意義 如果x ar r as s則 xTKx ar2 rTK r as2 sTK s 固有振動 振型歸一化 1令 2令 r的某一分量為1 比如取 r的分量中絕對值最大的分量為1 固有振動 振型坐標(biāo)的解耦性 阻尼矩陣的處理 Rayleigh阻尼 C M K Fawzy證明C可對角化應(yīng)滿足下述條件之一 固有振動 方程 特征方程 令q e t n對共軛復(fù)根 動力響應(yīng)分析 物理坐標(biāo)下的方程 x y 且兩邊左乘 T 得到振型坐標(biāo)下的方程 寫出分量形式 動力響應(yīng)分析 初始條件的處理 兩邊左乘 TM 同樣 動力響應(yīng)分析 展開定理 彈性力 位移 復(fù)模態(tài)分析 方程 引入輔助方程 令 狀態(tài)空間方程 復(fù)模態(tài)分析 令q e t 特征方程 n對共軛復(fù)根 復(fù)模態(tài)分析 由 得到n對2n維共軛向量 特征向量 并有 稱 r為第r階模態(tài)向量 復(fù)模態(tài)分析 令 則 這里 稱 為復(fù)模態(tài)矩陣 為特征向量矩陣 為頻率矩陣 復(fù)模態(tài)分析 復(fù)特征向量的正交性 r s 1 2 n 復(fù)模態(tài)分析 上面公式展開得 r s 1 2 n 復(fù)模態(tài)分析 分塊有 復(fù)模態(tài)分析 分塊有 復(fù)模態(tài)分析 復(fù)模態(tài)質(zhì)量 復(fù)模態(tài)參數(shù) 復(fù)模態(tài)剛度 r 1 2 n 復(fù)模態(tài)阻尼 并有 r 1 2 n 復(fù)模態(tài)分析 復(fù)模態(tài)阻尼衰減系數(shù) 復(fù)模態(tài)固有頻率 r 1 2 n 復(fù)模態(tài)阻尼比 并有 復(fù)模態(tài)阻尼固有頻率 復(fù)模態(tài)分析 物理坐標(biāo)下的方程 q y 且兩邊左乘 T 得到復(fù)特征向量坐標(biāo)下的方程 初始條件 復(fù)模態(tài)分析 物理坐標(biāo)下的自由振動解 特征向量坐標(biāo)下的解為 由q y中取出前n項 得 復(fù)模態(tài)分析 如果系統(tǒng)以某階阻尼固有頻率振動時 有 其中第s個坐標(biāo)的運動為 設(shè) 則 復(fù)模態(tài)分析 一般粘性阻尼系統(tǒng)以r階主振動做自由振動時 每個物理坐標(biāo)的初相位 sr r 不僅與該階主振動有關(guān) 還與物理坐標(biāo)s有關(guān) 即各物理坐標(biāo)初相位不同 因而 每個物理坐標(biāo)振動時并不同時達(dá)到平衡位置和最大位置 即主振型節(jié)點 線 是變化的 即不具備模態(tài)保持性 主振型不再是駐波形式 而是行波形式 這是復(fù)模態(tài)系統(tǒng)的特點 復(fù)模態(tài)分析 簡支梁二階振型半個周期內(nèi)的變化 a 實模態(tài)系統(tǒng) b 復(fù)模態(tài)系統(tǒng) 連續(xù)體振動 桿的縱向振動軸的扭轉(zhuǎn)振動梁的彎曲振動 桿的縱向振動 假定 細(xì)長等截面桿 振動時橫截面仍保持為平面 橫截面上的質(zhì)點只作沿桿件縱向的振動 橫向變形忽略不計 則同一橫截面上各點在x方向作相等的位移 參數(shù) 桿長l 截面積S 材料密度 彈性模量E 桿的縱向振動 桿的縱向振動 微元分析 桿的縱向振動 桿的縱向振動 桿的縱向振動 解 設(shè) u x t X x T x 即 桿的縱向振動 解為 時間域 初值問題 空間域 邊值問題 固支邊條件 x 0時 u 0 t X 0 T x 0 即X 0 0 x l時 u l t X 0 T l 0 即X l 0 自由邊條件 x 0時 即 x l時 即 桿的縱向振動 例 如果兩端固支 有 兩端固支桿縱向振動特征方程 頻率方程 這就是兩端固支桿縱向振動的各階頻率 相應(yīng)的各階固有振型是 n 1 2 n 1 2 C2 0 顯然 C1 0 故有 軸的扭轉(zhuǎn)振動 方程 彈性軸軸向坐標(biāo)x 扭轉(zhuǎn)變形 x t 單位長度對x軸的轉(zhuǎn)動慣量I x 截面抗扭剛度為GJ x 當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量I x 截面抗扭剛度GJ x 與x無關(guān)時 梁的彎曲振動 方程 用分離變量法求解 令 令 則上式為 梁的彎曲振動 方程 邊界條件 簡支 梁的彎曲振動 固支 自由 梁的彎曲振動 固支 自由 隨機(jī)振動 隨機(jī)過程相關(guān)函數(shù)功率譜函數(shù)激勵響應(yīng)關(guān)系 隨機(jī)過程 樣本函數(shù) xr t t 隨機(jī)函數(shù) 狀態(tài) 數(shù)字特征 均值 x E X t 均方值 x E X2 t 方差E X t x 2 相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 平穩(wěn)隨機(jī)過程 統(tǒng)計性質(zhì) 趨勢與時間無關(guān) 互相關(guān)函數(shù) 均值 均方值和方差為常數(shù) 相關(guān)函數(shù)是時差的函數(shù) 各態(tài)遍歷過程 相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 1偶函數(shù) 2周期隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)仍是周期函數(shù) 3 4 5如果不是周期隨機(jī)過程 相關(guān)函數(shù) 互相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 1 2 3 4X t Y t 相互獨立 功率譜函數(shù) 自譜 性質(zhì) 1自譜是非負(fù)偶函數(shù) 2 3導(dǎo)數(shù)過程的自譜 單位 物理單位 2 頻率單位 功率譜函數(shù) 互譜