高中數(shù)學(xué)專題1.5定積分的概念1.6微積分基本定理1.7定積分的簡單應(yīng)用試題新人教A版.docx

1.5 定積分的概念1.6 微積分基本定理1.7 定積分的簡單應(yīng)用1定積分的概念一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式（其中為小區(qū)間長度），當(dāng)時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作_，即這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式2定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線，和曲線所圍成的_這就是定積分的幾何意義3定積分的性質(zhì)由定積分的定義，可以得到定積分的如下性質(zhì)：為常數(shù)）；（其中）4微積分基本定理一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么_這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式為了方便，我們常常把記成，即微積分基本定理表明，計算定積分的關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù)通常，我們可以運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則從反方向上求出5定積分在幾何中的應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用主要是計算由兩條曲線所圍圖形的面積由曲邊梯形面積的求法，我們可以將求由兩條曲線所圍圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求兩個曲邊梯形的面積問題，進(jìn)而用定積分求出面積6定積分在物理中的應(yīng)用變速直線運動的路程：我們知道，做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間上的定積分，即變力做功：一物體在恒力(單位：)的作用下做直線運動，如果物體沿著與相同的方向移動了（單位：），則力所做的功為已知某物體在變力的作用下做直線運動，并且該物體沿著與相同的方向從移動到，求變力所做的功，與求曲邊梯形的面積及求變速直線運動的路程一樣，可用“四步曲”解決，得到K知識參考答案：1 2曲邊梯形的面積 346 K重點定積分的幾何意義，定積分的基本性質(zhì)，運用微積分基本定理計算定積分，定積分的應(yīng)用K難點運用微積分基本定理計算定積分，用定積分求幾何圖形的面積K易錯運用微積分基本定理計算定積分時，弄錯積分的上、下限利用定積分的幾何意義計算定積分利用定積分所表示的意義求的值的關(guān)鍵是確定由曲線，直線，直線及軸所圍成的平面圖形的形狀利用定積分的幾何意義求，其中【答案】【解析】為奇函數(shù)，利用定積分的幾何意義，如下圖：，故【名師點睛】（1）利用定積分的幾何意義求解時，常見的平面圖形的形狀是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形（2）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則若是偶函數(shù)，則；若是奇函數(shù)，則利用微積分基本定理計算定積分求函數(shù)在某個區(qū)間上的定積分時，要注意：（1）掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運算法則，正確求解導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的函數(shù)當(dāng)這個函數(shù)不易求時，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解具體方法是能化簡的化簡，不能化簡的變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差（2）精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限計算下列定積分：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）（2）（3）（4）【名師點睛】微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的關(guān)系，即求定積分與求導(dǎo)互為逆運算，求定積分時只需找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)定積分在幾何中的應(yīng)用對于簡單圖形的面積求解，我們可以直接運用定積分的幾何意義，此時，（1）確定積分上、下限，一般為兩交點的橫坐標(biāo)（2）確定被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對應(yīng)函數(shù)的差這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運用微積分基本定理計算定積分了求由曲線與，所圍成的平面圖形的面積（畫出圖形）【答案】圖形見解析，平面圖形的面積為【解析】畫出曲線與，則下圖中的陰影部分即為所要求的平面圖形解方程組，可得故平面圖形的面積為，所以所求圖形的面積為1【名師點睛】（1）定積分可正、可負(fù)或為零，而平面圖形的面積總是非負(fù)的（2）若圖形比較復(fù)雜，可以求出曲線的交點的橫坐標(biāo)，將積分區(qū)間細(xì)化，分別求出相應(yīng)區(qū)間上平面圖形的面積再求和，注意在每個區(qū)間上被積函數(shù)均是由上減下定積分在物理中的應(yīng)用（1）已知變速直線運動的方程，求在某段時間內(nèi)物體運動的位移或者經(jīng)過的路程，就是求速度方程的定積分（2）利用定積分求變力做功的問題，關(guān)鍵是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計算即可設(shè)有一長25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的伸長量成正比，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功【答案】將彈簧由25 cm伸長到40 cm時所做的功為【解析】設(shè)表示彈簧伸長的量(單位：m)，表示加在彈簧上的力(單位：N)由題意，得，且當(dāng)時，即，解得，則故將彈簧由25 cm伸長到40 cm時所做的功為【名師點睛】求解時注意單位的換算，把cm換算為m1定積分的大小A與和積分區(qū)間有關(guān)，與的取法無關(guān)B與有關(guān)，與區(qū)間以及的取法無關(guān)C與以及的取法有關(guān)，與區(qū)間無關(guān)D與、區(qū)間和的取法都有關(guān)2在求由拋物線與直線，所圍成的平面圖形的面積時，把區(qū)間等分成個小區(qū)間，則第個區(qū)間為ABCD3已知，則ABCD4計算：ABCD5定積分與的大小關(guān)系是ABCD無法確定6計算：ABCD7下列等式不成立的是ABCD8由直線，及曲線所圍成的封閉圖形的面積ABCD9定積分ABCD10已知函數(shù)，則ABCD11已知，則_12計算：_13計算_14若，則實數(shù)_15已知函數(shù)，若成立，則實數(shù)_16已知函數(shù)，求的值17已知是二次函數(shù)，方程有兩個相等的實根，且（1）求的解析式；（2）求曲線與曲線所圍成的圖形的面積18如圖，拋物線的方程為，則圖中陰影部分的面積可表示為AB|CD19設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是ABCD20下列命題不正確的是A若是連續(xù)的奇函數(shù)，則B若是連續(xù)的偶函數(shù)，則C若在上連續(xù)且恒正，則D若在上連續(xù)且，則在上恒正21如圖，陰影區(qū)域是由函數(shù)的一段圖象與x軸圍成的封閉圖形，那么這個陰影區(qū)域的面積是ABCD22若，其中，則A BCD23已知是一次函數(shù)，若，則函數(shù)的解析式為ABCD24已知分段函數(shù)，則ABCD25已知，則_26如圖，由曲線，與直線，圍成的陰影部分的面積為_27（2014陜西理）定積分的值為ABCD28（2014山東理）直線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為ABC2D429（2013湖北理）一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（的單位：，的單位：）行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離（單位：）是ABCD1【答案】A【解析】由定積分定義及求曲邊梯形面積的四個步驟，可知定積分的大小與和積分區(qū)間有關(guān)，與的取法無關(guān)，故選A2【答案】B【解析】在區(qū)間上等間隔地插入個點，將它等分成個小區(qū)間1，2，所以第個區(qū)間為故選B4【答案】C【解析】由題可得故選C5【答案】C【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下圖所示，由圖可知當(dāng)時，的圖象在的圖象上方，由定積分的幾何意義可知故選C6【答案】C【解析】因為，所以，故選C7【答案】C【解析】利用定積分的性質(zhì)進(jìn)行判斷，選項C不成立例如，但故選C8【答案】B【解析】由題可得，故選B9【答案】D【解析】，故選D11【答案】【解析】根據(jù)定積分的性質(zhì)可得12【答案】【解析】13【答案】【解析】14【答案】【解析】，解得15【答案】或【解析】取，則，所以，所以，所以，即，解得或16【答案】【解析】如圖，可得，所以17【答案】（1）；（2）（2）由或，所以18【答案】C【解析】由圖形可知陰影部分的面積為，而，故選C19【答案】B【解析】由題可得，因為，所以故選B20【答案】D【解析】對于A，因為是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱，所以軸上方的面積和軸下方的面積相等，故積分是0，A正確；對于B，因為是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對稱，故圖象都在x軸下方或上方且面積相等， B正確；C顯然正確；對于D，可以小于0，但必須有大于0的部分，且的曲線圍成的面積比的曲線圍成的面積大，D不正確故選D21【答案】B【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性可得，曲線從到與軸圍成的