高考數(shù)學 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性課件.ppt

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 函數(shù)的奇偶性 f x f x y軸 f x f x 原點 2 周期性 周期函數(shù) 對于函數(shù)y f x 如果存在一個非零常數(shù)t 使得當x取定義域內(nèi)的任何值時 都有 那么就稱函數(shù)y f x 為周期函數(shù) 稱t為這個函數(shù)的周期 最小正周期 如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個 的正數(shù) 那么這個最小正數(shù)就叫做f x 的最小正周期 f x t f x 最小 2 必備結論教材提煉記一記 1 函數(shù)奇偶性常用結論 如果函數(shù)f x 是偶函數(shù) 那么f x f x 奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性 偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性 在公共定義內(nèi)有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 2 函數(shù)周期性常用結論 對f x 定義域內(nèi)任一自變量的值x 若f x a f x 則t 2a a 0 若f x a 則t 2a a 0 若f x a 則t 2a a 0 3 必用技法核心總結看一看 1 常用方法 判斷函數(shù)奇偶性的方法 應用函數(shù)奇偶性 周期性的方法 2 數(shù)學思想 數(shù)形結合思想 分類討論思想 轉化與化歸思想 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 函數(shù)具備奇偶性的必要條件是函數(shù)的定義域在x軸上是關于坐標原點對稱的 2 若函數(shù)f x 為奇函數(shù) 則一定有f 0 0 3 若函數(shù)y f x a 是偶函數(shù) 則函數(shù)y f x 關于直線x a對稱 4 若函數(shù)y f x b 是奇函數(shù) 則函數(shù)y f x 關于點 b 0 中心對稱 解析 1 正確 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義 f x f x 必須同時有意義 故具備奇偶性的函數(shù)首先其定義域關于坐標原點對稱 但定義域關于坐標原點對稱的函數(shù)未必具有奇偶性 2 錯誤 若函數(shù)f x 在點x 0處沒有定義 如f x 則f 0 不存在 3 正確 函數(shù)y f x a 關于直線x 0對稱 則函數(shù)y f x 關于直線x a對稱 4 正確 函數(shù)y f x b 關于點 0 0 中心對稱 則函數(shù)y f x 關于點 b 0 中心對稱 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修1p39b組t3改編 若f x 是偶函數(shù)且在 0 上為增函數(shù) 則函數(shù)f x 在 0 上為 解析 因為f x 是偶函數(shù) 所以f x 關于y軸對稱 又因為f x 在 0 上為增函數(shù) 結合圖象可知 函數(shù)f x 在 0 上為減函數(shù) 答案 減函數(shù) 2 必修1p39a組t6改編 設函數(shù)f x 是定義在r上的奇函數(shù) 若當x 0 時 f x lgx 則滿足f x 0的x的取值范圍是 解析 如圖所示 由f x 為奇函數(shù)知 f x 0的x的取值范圍為 1 0 1 答案 1 0 1 3 必修1p39a組t6改編 設f x 是周期為2的奇函數(shù) 當0 x 1時 f x 2x 1 x 則 解析 依題意 得答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 湖南高考 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增的是 a f x b f x x2 1c f x x3d f x 2 x 解析 選a 2 2015 石家莊模擬 已知f x 是定義在r上的偶函數(shù) 且對任意x r都有f x 4 f x f 2 則f 2014 等于 a 0b 3c 4d 6 解析 選a 因為f x 是定義在r上的偶函數(shù) 所以f 2 f 2 所以f 2 4 f 2 f 2 f 2 2f 2 所以f 2 0 f 2014 f 4 503 2 f 2 0 3 2014 新課標全國卷 已知偶函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞減 f 2 0 若f x 1 0 則x的取值范圍是 解析 由題可知 當 20 f x 1 的圖象是由f x 的圖象向右平移一個單位得到的 若f x 1 0 則 1 x 3 答案 1 3 考點1函數(shù)奇偶性的判斷 典例1 1 2014 廣東高考 下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 本題源于教材必修1p35例5 a 2x b x3sinxc 2cosx 1d x2 2x 2 判斷下列函數(shù)的奇偶性 f x x 1 x 1 f x f x f x x 1 x 1 1 解題提示 1 奇函數(shù)滿足函數(shù)關系式f x f x 當在原點處有定義時 f 0 0 2 先求出定義域 看定義域是否關于原點對稱 在定義域內(nèi) 解析式帶絕對值號的先化簡 計算f x 再判斷f x 與f x 之間的關系 規(guī)范解答 1 選a 幾個函數(shù)的定義域都關于原點對稱 在原點處有定義 故應滿足f 0 0 此時2cosx 1和x2 2x不符合題意 又2x 滿足f x f x 但x3sinx滿足f x f x 所以只有f x 2x 是奇函數(shù) 2 函數(shù)的定義域x 關于原點對稱 因為f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x 所以f x x 1 x 1 是奇函數(shù) 由得x 3 所以f x 的定義域為 3 3 關于原點對稱 又f 3 f 3 0 f 3 f 3 0 即f x f x 所以f x 既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù) 去掉絕對值符號 根據(jù)定義判斷 由得故f x 的定義域為 1 0 0 1 關于原點對稱 且有x 2 0 從而有f x 這時有f x f x 故f x 是奇函數(shù) 已知f x 的定義域為 1 1 其定義域關于原點對稱 因為f x 所以f x f x 即f x f x 所以f x 是偶函數(shù) 易錯警示 解答本題 2 有三點容易出錯 1 忽視函數(shù)的定義域 2 對函數(shù)奇偶性概念把握不準 3 存在既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù)的情形 對 不知如何判斷 互動探究 本例 2 題中若將條件 x 1 1 去掉 函數(shù)的奇偶性如何 解析 要使f x 有意義 則 0 解得 1 x 1 顯然f x 的定義域不關于原點對稱 所以f x 既不是奇函數(shù) 也不是偶函數(shù) 規(guī)律方法 判斷函數(shù)的奇偶性的兩種重要方法 1 定義法 2 圖象法 函數(shù)是奇 偶 函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點 y軸 對稱 變式訓練 下列函數(shù) f x x3 x f x ln x f x a 0且a 1 f x f x 其中有個奇函數(shù) 解析 f x x3 x的定義域為r 又f x x 3 x x3 x f x 所以f x x3 x是奇函數(shù) 由x x x 0知f x ln x 的定義域為r 又f x ln x f x 所以f x 為奇函數(shù) f x 定義域為r 且f x f x 所以f x 為奇函數(shù) 由 0得 1 x 1 f x lg的定義域為 1 1 又f x 所以f x 為奇函數(shù) 函數(shù)f x 的定義域為 0 0 其關于原點對稱 并且有當x 0時 x0 f x x 1 x x 1 x f x 所以函數(shù)f x 為偶函數(shù) 所以 中共有4個奇函數(shù) 答案 4 加固訓練 1 設q為有理數(shù)集 函數(shù)f x g x 則函數(shù)h x f x g x a 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)b 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)c 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)d 既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù) 解析 選a 因為當x q時 x q 所以f x f x 1 當x rq時 x rq 所以f x f x 1 綜上 對任意x r 都有f x f x 故函數(shù)f x 為偶函數(shù) 因為g x 所以函數(shù)g x 為奇函數(shù) 所以h x f x g x f x g x f x g x h x 所以函數(shù)h x f x g x 是奇函數(shù) 所以h 1 f 1 g 1 h 1 f 1 g 1 1 h 1 h 1 所以函數(shù)h x 不是偶函數(shù) 2 函數(shù)f x 的定義域為r 若f x 1 與f x 1 都是奇函數(shù) 則 a f x 是偶函數(shù)b f x 是奇函數(shù)c f x f x 2 d f x 3 是奇函數(shù) 解析 選d f x 1 是奇函數(shù) 則有f x 1 f x 1 f x 1 是奇函數(shù) 則有f x 1 f x 1 在 式中用x 1代替x 則有f x 1 1 f x 1 1 即f x f x 2 在 式中用x 1代替x 則有f x 1 1 f x 1 1 即f x f x 2 則f x 2 f x 2 可知周期為4 則f x 1 f x 3 f x 1 f x 3 由 式 f x 1 f x 1 可得f x 3 f x 3 所以f x 3 是奇函數(shù) 考點2函數(shù)周期性及其應用 典例2 1 2015 南陽模擬 函數(shù)f x 是周期為4的偶函數(shù) 當x 0 2 時 f x x 1 則不等式xf x 0在 1 3 上的解集為 a 1 3 b 1 1 c 1 0 1 3 d 1 0 0 1 2 2014 四川高考 設f x 是定義在r上的周期為2的函數(shù) 當x 1 1 時 f x 則 解題提示 1 根據(jù)函數(shù)的周期性 奇偶性及在x 0 2 上的解析式畫出函數(shù)的圖象 結合函數(shù)圖象求解 2 利用周期得再求值即得 規(guī)范解答 1 選c f x 的圖象如圖 當x 1 0 時 由xf x 0得x 1 0 當x 0 1 時 由xf x 0得x 當x 1 3 時 由xf x 0得x 1 3 故x 1 0 1 3 2 因為函數(shù)f x 是定義在r上的周期為2的函數(shù) 所以答案 1 規(guī)律方法 函數(shù)周期性的判定與應用 1 判定 判斷函數(shù)的周期性只需證明f x t f x t 0 便可證明函數(shù)是周期函數(shù) 且周期為t 2 應用 根據(jù)函數(shù)的周期性 可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì) 在解決具體問題時 要注意結論 若t是函數(shù)的周期 則kt k z且k 0 也是函數(shù)的周期 變式訓練 2015 南京模擬 已知f x 是定義在r上的偶函數(shù) 并且f x 2 當2 x 3時 f x x 則f 105 5 解析 由已知 可得f x 4 f x 2 2 故函數(shù)的周期為4 所以f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 因為2 5 2 3 由題意 得f 2 5 2 5 所以f 105 5 2 5 答案 2 5 加固訓練 1 若f x 是r上周期為5的奇函數(shù) 且滿足f 1 1 f 2 2 則f 3 f 4 等于 a 1b 1c 2d 2 解析 選a 由f x 是r上周期為5的奇函數(shù)知f 3 f 2 f 2 2 f 4 f 1 f 1 1 所以f 3 f 4 1 2 定義在r上的函數(shù)f x 滿足f x 6 f x 當 3 x 1時 f x x 2 2 當 1 x 3時 f x x 則f 1 f 2 f 3 f 2015 等于 a 335b 336c 1678d 2012 解析 選b 因為f x 6 f x 所以f x 是以6為周期的函數(shù) 因為當 3 x 1時 f x x 2 2 當 1 x 3時 f x x 所以f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 所以f 1 f 2 f 6 1 所以f 1 f 2 f 6 f 7 f 8 f 12 f 2005 f 2006 f 2010 1 所以f 1 f 2 f 2010 1 335 而f 2011 f 2012 f 2013 f 2014 f 2015 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 1 2 1 0 1 1 所以f 1 f 2 f 3 f 2015 335 1 336 3 定義在r上的偶函數(shù)f x 滿足f x 2 f x 1對于x r恒成立 且f x 0 則f 119 解析 因為f x 2 所以f x 4 f x 2 2 f x 所以f x 為周期函數(shù) 且周期為4 又因為f x 為偶函數(shù) 所以f x f x 所以f 119 f 29 4 3 f 3 f 3 4 f 1 f 1 又因為f 1 2 所以f 1 f 1 1即f2 1 1 因為f x 0 所以f 1 1 所以f 119 1 答案 1 考點3函數(shù)奇偶性的應用知 考情函數(shù)的奇偶性 周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì) 在高考中常常將它們綜合在一起命制試題 其中奇偶性多與單調(diào)性相結合 而周期性常與抽象函數(shù)相結合 并以結合奇偶性求函數(shù)值為主 多以選擇題 填空題形式出現(xiàn) 明 角度命題角度1 已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值 典例3 2014 湖南高考 已知f x g x 分別是定義在r上的偶函數(shù)和奇函數(shù) 且f x g x x3 x2 1 則f 1 g 1 a 3b 1c 1d 3 解題提示 由奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義 把x 1代入即可 規(guī)范解答 選c 把x 1代入已知 得f 1 g 1 1 所以f 1 g 1 1 命題角度2 奇函數(shù) 偶函數(shù)圖象對稱性的應用 典例4 2015 杭州模擬 已知定義在r上的奇函數(shù)f x 和偶函數(shù)g x 當x 0時 f x 當x 0時 g x 2x 則f x 和g x 圖象的公共點在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解題提示 根據(jù)奇函數(shù) 偶函數(shù)圖象的對稱性分別作出f x 與g x 的圖象 數(shù)形結合求解 規(guī)范解答 選b 根據(jù)奇函數(shù) 偶函數(shù)圖象的對稱性分別作出f x 與g x 的圖象如圖所示 由圖象知公共點在第二象限 命題角度3 已知函數(shù)的奇偶性 求參數(shù) 典例5 2014 湖南高考 若f x ln e3x 1 ax是偶函數(shù) 則a 解題提示 利用偶函數(shù)的定義求解 規(guī)范解答 方法一 由偶函數(shù)的定義得f x f x 即ln e 3x 1 ax ln e3x 1 ax 3x 2ax a 方法二 因為函數(shù)f x 為偶函數(shù) 所以f 1 f 1 即ln e3 1 a ln e 3 1 a 即2a lne 3 3 所以a 答案 悟 技法函數(shù)奇偶性的問題類型及解題思路 1 已知函數(shù)的奇偶性 求函數(shù)值 將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解 2 已知函數(shù)的奇偶性 求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 常常利用待定系數(shù)法 利用f x f x 0得到關于待求參數(shù)的恒等式 由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程求解 3 應用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性 利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一對稱區(qū)間上的單調(diào)性 通 一類1 2015 福州模擬 已知f x 是奇函數(shù) g x 是偶函數(shù) 且f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 則g 1 等于 a 4b 3c 2d 1 解析 選b 由已知條件變形得解得g 1 3 2 2015 西安模擬 設f x 是奇函數(shù)且在原點處有定義 則使f x 0的x的取值范圍是 a 1 0 b 0 1 c 0 d 0 1 解析 選a 因為函數(shù)f x 為奇函數(shù) 且在x 0處有定義 故f 0 0 即lg 2 a 0 所以a 1 故函數(shù)f x 令f x 0 得0 1 解得 1 x 0 即x 1 0 3 2015 煙臺模擬 已知函數(shù)f x 是定義在r上的偶函數(shù) 且對任意的x r 都有f x 2 f x 當0 x 1時 f x x2 若直線y x a與函數(shù)y f x 的圖象在 0 2 內(nèi)恰有兩個不同的公共點 則實數(shù)a的值是 a 0b 0或 c 或 d 0或 解析 選d 因為f x 2 f x 所以f x 的周期為2 又0 x 1時 f x x2 可畫出函數(shù)y f x 在一個周期內(nèi)的圖象如圖 顯然a 0時 y x與y f x 在 0 2 內(nèi)恰有兩個不同的公共點 另當直線y x a與y x2 0 x 1 相切時也恰有兩個不同公共點 由題意知y x2 2x 1 所以x