高中數(shù)學(xué) 第一章《集合的基本關(guān)系》教學(xué)課件 北師大版必修1.ppt

2集合的基本關(guān)系 1 集合的表示方法有 2 元素與集合間的關(guān)系用符號(hào)或 表示 3 1 若a 2 2 3 4 b x x t2 t a 用列舉法表示集合b 2 用描述法表示集合a 1 4 7 10 13 列舉法 描述法 4 9 16 x x 3n 2 n n n 5 1 子集 真子集 集合相等的概念 任意一個(gè) 包含 x b x a a b且b a 2 空集 1 定義 的集合 叫做空集 2 用符號(hào)表示為 3 規(guī)定 空集是任何集合的 3 子集的有關(guān)性質(zhì) 1 任何一個(gè)集合是它本身的 即 2 對(duì)于集合a b c 如果a b b c 那么 不含任何元素 子集 a c a a 子集 1 任何一個(gè)集合都是它本身的子集 對(duì)嗎 提示 正確 對(duì)于任何一個(gè)集合a 它的任何一個(gè)元素都屬于集合a本身 即a a 2 包含關(guān)系 a a與從屬關(guān)系a a有什么區(qū)別 提示 兩者的區(qū)別是 1 從符號(hào)上看 表示的是兩個(gè)集合間的關(guān)系 而 表示的是元素與集合間的關(guān)系 2 a 是含一個(gè)元素a的集合 而a通常表示一個(gè)元素 3 a a表示 a 是a的一個(gè)子集 而a a表示a是a的一個(gè)元素 兩集合相等的應(yīng)用 若 0 a2 a b 則a2009 b2010的值為 思路點(diǎn)撥 先從特殊元素0著手 結(jié)合集合元素的特性求解 解析 0 a2 a b 0 b 0 此時(shí)有 1 a 0 0 a2 a a2 1 a 1 當(dāng)a 1時(shí) 不滿足互異性 a 1 a2009 b2010 1 答案 1 1 兩個(gè)集合相等 則所含元素完全相同 與順序無(wú)關(guān) 但要注意檢驗(yàn) 排除與集合元素互異性或與已知相矛盾的情形 2 若兩個(gè)集合中元素均無(wú)限多個(gè) 要看兩集合的代表元素是否一致 且看代表元素滿足的條件是否一致 若均一致 則兩集合相等 3 證明兩個(gè)集合相等的思路是證 a b且b a 1 m x x 1 a2 a r p x x a2 4a 5 a r 試問(wèn)m與p的關(guān)系怎樣 解析 a r x 1 a2 1 x a2 4a 5 a 2 2 1 1 m x x 1 p x x 1 m p 子集 真子集的概念問(wèn)題 寫出滿足 a b a a b c d 的所有集合a 思路點(diǎn)撥 解答本題可根據(jù)子集 真子集的概念求解 解析 由題設(shè)可知 一方面a是集合 a b c d 的子集 另一方面a又真包含集合 a b 故集合a中至少含有兩個(gè)元素a b 且含有c d兩個(gè)元素中的一個(gè)或兩個(gè) 故滿足條件的集合有 a b c a b d a b c d 1 正確區(qū)分子集與真子集概念是解題的關(guān)鍵 2 寫一個(gè)集合的子集時(shí) 按子集中元素個(gè)數(shù)多少 以一定順序來(lái)寫避免發(fā)生重復(fù)和遺漏現(xiàn)象 3 集合中含有n個(gè)元素 則此集合有2n個(gè)子集 記住這個(gè)結(jié)論可以提高解答速度 其中要注意空集 和集合本身易漏掉 2 已知集合a x n 1 x 4 且a中至少有一個(gè)元素為奇數(shù) 問(wèn) 這樣的集合a有多少個(gè) 并用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@些集合 解析 這樣的集合a共有11個(gè) x n 1 x 4 0 1 2 3 又a 0 1 2 3 且a中至少含有一個(gè)奇數(shù) 故a中只含有一個(gè)元素時(shí) a可以為 1 3 a中含有兩個(gè)元素時(shí) a可以為 1 0 1 2 1 3 3 0 3 2 a中含有三個(gè)元素時(shí) a可以為 1 0 2 3 0 2 1 3 0 1 3 2 真 子集的綜合應(yīng)用 已知集合a x 2 x 4 b x x a 若a b 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 思路點(diǎn)撥 解答本題可采用數(shù)軸分析法 將集合a b表示在數(shù)軸上 利用數(shù)軸分析a的取值 解析 將數(shù)集a表示在數(shù)軸上 如圖所示 要滿足a b 表示數(shù)a的點(diǎn)必須在表示4的點(diǎn)處或在表示4的點(diǎn)的右邊 所以所求a的集合為 a a 4 解決此類問(wèn)題的常用方法是數(shù)形結(jié)合 首先將各個(gè)已知集合在數(shù)軸上畫出來(lái) 以形定數(shù) 然后利用數(shù)軸分析 再結(jié)合 真 子集的定義 列出參數(shù)滿足的不等式 進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍 值得注意的是要檢驗(yàn)端點(diǎn)值是否滿足題意 做到準(zhǔn)確無(wú)誤 3 1 本例中a b換成a b a x 2 x 4 則a的取值范圍又是什么 2 本例中 若集合b x 2a 9 x a 其他條件不變 則a的取值范圍又如何呢 解析 1 將集合a表示在數(shù)軸上 要使a b 需a 4 所以所求a的取值范圍為a 4 2 由于a b a 所以b 由數(shù)軸知 解得4 a 故所求a的取值范圍是4 a 1 子集 真子集的概念的理解 1 集合a是集合b的子集 不能簡(jiǎn)單地理解為集合a是由集合b的 部分元素 所組成的集合 如a 則集合a不含b中的任何元素 2 如果集合a中存在著不屬于集合b的元素 那么a不包含于b 或b不包含a 這有兩方面的含義 其一是a b互不包含 如a a b b b c d 其二是 a包含b 如a a b c b b c 2 集合相等 1 集合相等的定義有兩方面含義 若a b且b a 那么a b 若a b 那么a b且b a 2 證明兩個(gè)集合相等的方法 若a b兩個(gè)集合是元素較少的有限集 可用列舉法將元素列舉出來(lái) 說(shuō)明兩個(gè)集合的元素完全相同 從而a b 若a b是無(wú)限集 欲證a b 只需證a b與b a都成立即可 3 注意一些容易混淆的符號(hào) 1 與 的區(qū)別 表示元素與集合之間的關(guān)系 因此有0 n 但0 n 表示集合與集合之間的關(guān)系 因此有n r r 2 a與 a 的區(qū)別 一般地a表示一個(gè)元素 而 a 表示只有一個(gè)元素的集合 因此有1 1 2 3 0 0 1 1 2 3 等 不能寫成1 1 2 3 0 0 1 1 2 3 3 0 與 的區(qū)別 0 是僅含有一個(gè)元素的集合 是不含任何元素的集合 因此有 0 不能寫成 0 0 等 若集合a x x2 x 6 0 b x mx 1 0 且b a 求m的值 錯(cuò)解 a x x2 x 6 0 3 2 b a mx 1 0的解為 3或2 當(dāng)mx 1 0的解為 3時(shí) 由m 3 1 0 得m 當(dāng)mx 1 0的解為2時(shí) 由m 2 1 0得m 綜上所述 m 或m 錯(cuò)因 上述解法是初學(xué)者解此類問(wèn)題的典型錯(cuò)誤解法 原因是考慮不全面 由集合b的含義及b a 忽略了集合為 的可能 而漏掉解 因此題目若出現(xiàn)包含關(guān)系時(shí) 應(yīng)首先想到有沒有出現(xiàn) 的可能 正解 a x x2 x 6 0 3 2 b a 當(dāng)b 時(shí) m 0適合題意 當(dāng)b 時(shí) 方程mx 1 0的解為x 則 3或 2 m 或m 綜上可知 所求m的值為0或或 1 集合 0 1 的子集有 a 1個(gè)b 2個(gè) c 3個(gè) d 4個(gè) 答案 d 2 下列各式中 正確的是 a 2 x x 3 b 2 x x 3 c 2 x x 3 d 2 x x 3 解析 2表示一個(gè)元素 x x 3 表示一個(gè)集合 但2不在集合中 故2 x x 3 a c不正確 又集合 2 x x 3 故d不正確 答案 b3 集合a 1 與集合b x x2 4x 3 0 的關(guān)系為 答案 a b 4 已知集合a x r x2 3x 4 0 b x r x