山東省濱州市無棣縣埕口中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué) 聚焦數(shù)學(xué)思想例析.doc

山東省濱州市無棣縣埕口中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué) 聚焦數(shù)學(xué)思想例析數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問題的解決，具體體現(xiàn)在解決問題的不同方法中，因此掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法遠(yuǎn)比掌握一般的數(shù)學(xué)知識(shí)重要，為了使同學(xué)們更深入的理解九年級(jí)上下冊中的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)思維和解題的作用，本文以2010年中考題為例,舉例說明，供大家復(fù)習(xí)時(shí)參考. 一、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在聯(lián)系，把數(shù)量與圖形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思想方法.數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題與幾何圖形相互轉(zhuǎn)化，使抽象問題和形象思維有機(jī)結(jié)合，尋找解題思路，使問題得到解決.例1如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點(diǎn)為a（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是 . 析解:因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x=1，且與x軸一交點(diǎn)為a（3，0），所以點(diǎn)a與對(duì)稱軸間的距離為2,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知,它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為2,所以與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),由圖象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是1x3 .評(píng)注:本題要求不等式ax2+bx+c0的解集,如果直接求解超出了我們所學(xué)知識(shí)范圍,無法求解,但是,如果我們利用函數(shù)圖象(圖形)就輕而易舉的解決了問題,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中起著重要作用.例2abcdegf矩形紙片abcd的邊長ab=4，ad=2將矩形紙片沿ef折疊，使點(diǎn)a與點(diǎn)c重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為_.析解：由折疊的性質(zhì)知: 因?yàn)樘菪蝍efd的面積=梯形ecgf的面積,所以陰影部分的面積為,而即可.設(shè)ae=x,則be=4-x,根據(jù)折疊性質(zhì)可知ec=ae=x,在rtebc中,解得x=2.5,因?yàn)閐cab,所以cfe=aef,而aef=fec,所以cfe=fec,因此fc=ec=x=2.5,所以陰影部分的面積為.評(píng)注：折疊問題仍是中考的熱點(diǎn),它考查學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱等有關(guān)知識(shí)的掌握及空間觀念的發(fā)展情況、考查了畫圖分析能力、運(yùn)用能力,同時(shí)也著重考查了同學(xué)們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的運(yùn)用.二、 整體思想整體思想就是在數(shù)學(xué)問題中，對(duì)于有的問題，可以從整體的角度思考問題，即將局部放在整體中去觀察分析探究問題的解決方法，從而使問題得以簡捷巧妙解決例3已知是方程的兩根，且，則的值等于 （ ）a5 b.5 c.-9 d.9析解:因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以根?jù)方程根的定義可得:,即,因?yàn)樗?7+a)(3-7)=8,解得a=-9,故選c評(píng)注:本題解題的關(guān)鍵是利用根的定義,得到然后將分別看成一個(gè)整體,從而使問題的解決更加簡捷.例4如圖,直線與雙曲線交于兩點(diǎn),則的值為( )a.-5 b.-10 c.5 d.10析解: 因?yàn)橹本€與雙曲線交于,所以有,且a,b兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則有,所以=故選b.評(píng)注:本題將看成一個(gè)整體,從而使問題得以簡捷巧妙解決例5某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖所示，為了美化環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃在 五邊形各頂點(diǎn)為圓心，2 m長為半徑的扇形區(qū)域（陰影部分）種 上花草，那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是（a）m2 （b）m2 （c）m2 （d）m2析解:本題要求五個(gè)陰影面積的和,如果一個(gè)個(gè)求解是不可能的,因此我們可以把這五個(gè)面積的和作為一個(gè)整體求出.設(shè)這五個(gè)扇形的圓心角分別為a,b,c,d,e,由扇形面積公式得陰影面積和為:而五邊形內(nèi)角和為(5-2)180=540度，將a+b+c+d+e=540整體代入上式得陰影面積為，故選a。評(píng)注:本題的解題關(guān)鍵在于將(a+b+c+d+e)看成一個(gè)整體.雖然本題中的這五個(gè)角的大小都無法求出,但我們沒有必要分別求出它們的大小,而只要求出這五個(gè)角之和即可使問題得到解決,這里也充分體現(xiàn)了整體思想在解題中的妙用,請同學(xué)們認(rèn)真體會(huì).三、方程思想所謂方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，從而使問題得以解決的思想方法在一元二次方程這一章中應(yīng)用方程解決實(shí)際問題的例子很多，還有直角三角形的邊角關(guān)系一章依據(jù)三角函數(shù)解決有關(guān)問題及在圓一章中借助方程（組）求線段的長度等都很好的體現(xiàn)了這一思想例6已知一只紙箱中裝有除顏色外完全相同的紅色、黃色、藍(lán)色乒乓球共100個(gè)從紙箱中任意摸出一球，摸到紅色球、黃色球的概率分別是0.2、0.3（1）試求出紙箱中藍(lán)色球的個(gè)數(shù)； （2）假設(shè)向紙箱中再放進(jìn)紅色球個(gè)，這時(shí)從紙箱中任意取出一個(gè)球是紅色球的概率為0.5，試求的值 析解：(1)由已知得紙箱中藍(lán)色球的個(gè)數(shù)為：（個(gè)） (2) 方法一：根據(jù)題意得：，解得：（個(gè)）方法二：由已知得紅色球20個(gè)、黃色球30個(gè)，藍(lán)色球50個(gè)，為使任意取出一個(gè)球是紅色球的概率為0.5，所以紙箱中紅色球的個(gè)數(shù)等于黃色球與藍(lán)色球個(gè)數(shù)之和，得：x+20=30+50，解得：（個(gè)） 評(píng)注:本題的第(2)無論是方法一還是方法(二)都是用方程的思想來解決有關(guān)概率問題.例7（今年年初西南五省的持續(xù)干旱，讓許多網(wǎng)友感同身受、焦灼不安，更有不少網(wǎng)友自發(fā)組成水源行動(dòng)小組到旱區(qū)找水功夫不負(fù)有心人，終于有人在山洞c里發(fā)現(xiàn)了暗河（如圖）經(jīng)勘察，在山洞的西面有一條南北走向的公路連接著a、b兩村莊，山洞c位于a村莊南偏東30方向，且位于b村莊南偏東60方向?yàn)榉奖鉧、b兩村莊的村民取水，社會(huì)愛心人士準(zhǔn)備盡快從山洞c處向公路ab緊急修建一條最近的簡易公路cd現(xiàn)已知a、b兩村莊相距6千米.(1) 求這條最近的簡易公路cd的長（保留3個(gè)有效數(shù)字）；(2) 每修建1千米的簡易公路需費(fèi)用16 000元，請求出修建該簡易公路的最低費(fèi)用（精確到個(gè)位）(本題參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732)析解：(1)如圖：過c作cdab于d. 設(shè)cd=x，依題得： 在rtadc中，adc=90, a=30 同理： ad-bd=14 解得：5.196（千米） (2) 5.19616000=83136（元）答：這條最近的簡易公路長為5.196千米，修建簡易公路的最低費(fèi)用為83136元. 評(píng)注:本題作了輔助線后雖然有兩個(gè)直角三角形,但沒有一個(gè)可直接求解的,因此要構(gòu)造方程求解.例8在一塊長16m，寬12m的矩形荒地上，要建造一個(gè)花園，要求花園面積是荒地面積的一半，下面分別是小華與小芳的設(shè)計(jì)方案.(1)同學(xué)們都認(rèn)為小華的方案是正確的，但對(duì)小芳方案是否符合條件有不同意見，你認(rèn)為小芳的方案符合條件嗎？若不符合，請用方程的方法說明理由.(2)你還有其他的設(shè)計(jì)方案嗎？請?jiān)趫D9-3中畫出你所設(shè)計(jì)的草圖，將花園部分涂上陰影，并加以說明.析解：（1）不符合. 設(shè)小路寬度均為 m，根據(jù)題意得：,解這個(gè)方程得：但不符合題意，應(yīng)舍去,.小芳的方案不符合條件，小路的寬度均為2m. （2）答案不唯一.例如：例9如圖ab是o的直徑，d是圓上一點(diǎn)，連結(jié)ac，過點(diǎn)d作弦ac的平行線mn。（1）求證：mn是o的切線；（2）已知ab10，ad6，求弦bc的長。abcodmn（1）證明：連結(jié)od，交ac于e，如圖所示，因，所以odac 又acmn，所以odmn所以mn是是o的切線abeodmnc（2）解：設(shè)oe，因ab10，所以oa=5 ed5x又因ad =6 在直角三角形oae和直角三角形dae中，因oaoeaeed，所以5x6（5x） 解得x因ab是o的直徑，所以acb90 所以odbc所以oe是abc的中位線，所以bc2oe2四、 轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化的思想方法同樣也是解數(shù)學(xué)問題的一種重要的方法，用這種方法解題時(shí)常常采取把“新知識(shí)” 轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”、化“未知”為“已知”、化“復(fù)雜”為“簡單”等策略，使問題得以快捷求解如在一元二次方程一章中將一元二次方程化為一元一次方程；在第三章證明（三）一章中添加輔助線將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理，梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問題來解決這些都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想例10如圖，點(diǎn)p（3a，a）是反比例函y（k0）與o的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為10，則反比例函數(shù)的解析式為 （ ） xoypay by cy dy析解：欲求反比例函y（k0）的解析式，將其轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)p（3a，a）即可。圖中陰影兩部分的面積和為10，根據(jù)雙曲線及圓都是中心對(duì)稱圖形，可將第三象根陰影部分面積轉(zhuǎn)化為第一象限圓中空白面積，這樣一來陰影面積的和即為整個(gè)圓的面積的，因此圓的面積為40，（a）0），p（6，2），因此所求反比例函數(shù)解析式為：y，故選d。例11（2010江蘇泰州）如圖，四邊形abcd是矩形，edc=cab，dec=90(1)求證：acde；(2)過點(diǎn)b作bfac于點(diǎn)f，連結(jié)ef，試判斷四邊形bcef的形狀，并說明理由證明：在矩形abcd中，acde，dca=cab，edc=cab，dca=edc，acde；四邊形bcef是平行四邊形理由：由dec=90，bfac，可得afb=dec=90，又edc=cab，ab=cd，decafb，de=af，由得acde，四邊形afed是平行四邊形，adef且ad=ef，在矩形abcd中，adbc且ad=bc，efbc且ef=bc，四邊形bcef是平行四邊形五、分類討論思想分類討論，又稱為分情況討論，當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時(shí)，我們就需要對(duì)這一問題進(jìn)行必要的分類.將一個(gè)數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合，這種研究問題的思想方法就是分類討論的思想方法.分類時(shí)要不重不漏、條理清晰，從而使問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答.例11如果方程的兩個(gè)根分別是rtabc的兩條邊，abc最小的角為a，那么tana的值為析解：因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根分別是rtabc的兩條邊，解方程得，x1=1，x2=3而x1x2,所以1不可能為斜邊而只能為直角邊，因此3有兩種可能，其一為斜邊，其二為直角邊，若rtabc的斜邊為3，則tana的值為；若rtabc的直角邊為3，則tana的值為綜上，tana的值為或評(píng)注：本題考查一元二次方程解法，在rtabc中求銳角三角函數(shù)值其間蘊(yùn)含了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解題易出現(xiàn)因考慮不周而漏解的現(xiàn)象例12已知在個(gè)不透明的口袋中有4個(gè)形狀、大小、材質(zhì)完全相同的球，其中1個(gè)紅色球，3個(gè)黃色球。 (1)從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球(不放回)，接著再取出一個(gè)球請用樹形圖或列表的方法求取出的兩個(gè)都是黃色球的概率； (2)小明往該口袋中又放入紅色球和黃色球若干個(gè)，一段時(shí)間后他記不清具體放入紅色球和黃色球的個(gè)數(shù)，只記得一種球的個(gè)數(shù)比另一種球的個(gè)數(shù)多l(xiāng)，且從口袋中取出一個(gè)黃色球的概率為，請問小明又放人該口袋中紅色球和黃色球各多少個(gè)? 析解：(1)畫圖略，p(兩個(gè)都是黃色球)= (2)小明往該口袋中又放入紅色球和黃色球若干個(gè)，一段時(shí)間后他記不清具體放入紅色球和黃色球的個(gè)數(shù)，只記得一種球的個(gè)數(shù)比另一種球的個(gè)數(shù)多l(xiāng)，且從口袋中取出一個(gè)黃色球的概率為，請問小明又放人該口袋中紅色球和黃色球各多少個(gè)?（2）一種球的個(gè)數(shù)比另一種球的個(gè)數(shù)多l(xiāng)。又放入袋中的紅球的個(gè)數(shù)只有兩種可能,因此要進(jìn)行分類討論。若小明又放入紅色球個(gè)，則放入黃色球?yàn)閭€(gè)，則。若又放入紅色球個(gè)，則放入黃色球?yàn)閭€(gè)。則，則（舍去）小明又放入紅色球個(gè)，則放入黃色球?yàn)?個(gè)例13已知：等邊三角形abc的邊長為4厘米，長為1厘米的線段mn在abc的邊ab上沿ab方向以1厘米/秒的速度向b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)n到達(dá)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過點(diǎn)m、n分別作邊的垂線，與abc的其它邊交于p、q兩點(diǎn)，線段mn運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（1）線段mn在運(yùn)動(dòng)的過程中，為何值時(shí)，四邊形mnqp恰為矩形？并求出該矩形的面積；（2）線段mn在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形mnqp的面積為s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t求四邊形mnpq的面積s隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍cpqbamn cpqbamncpqbamn析解(1)若要四邊形mnqp為矩形，則有mp=qn，此時(shí)由于pma=qnb=90，a=b=60，所以rtpmartqnb，因此am=bn.移動(dòng)了t秒之后有am=t，bn=3-t，由am=bn，t=3-t 即得 t=1.5. 此時(shí)rtamp中，am=1.5，a=60，所以mp=，又mn=1，所以矩