高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末分層突破學(xué)案 新人教B版選修1-1.doc

第二章 圓錐曲線與方程自我校對(duì)1(ab0)(0,1)0，b0)(1，)1圓錐曲線的定義與性質(zhì)對(duì)于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重要的解題策略，如：(1)在求軌跡時(shí)，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；(2)涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí)，常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來解決；(3)在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí)，常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決總之，圓錐曲線的定義、性質(zhì)在解題中有重要作用，要注意靈活運(yùn)用(1)f1，f2是橢圓1(ab0)的兩焦點(diǎn)，p是橢圓上任一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)引f1pf2的外角平分線的垂線，垂足為q，則點(diǎn)q的軌跡為()a圓b橢圓c雙曲線 d拋物線(2)橢圓1(a為定值，且a)的左焦點(diǎn)為f，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)a、b，fab的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是_【規(guī)范解答】 (1)延長(zhǎng)垂線f1q交f2p的延長(zhǎng)線于點(diǎn)a，如圖所示，則apf1是等腰三角形，|pf1|ap|，從而|af2|ap|pf2|pf1|pf2|2a.由題意知o是f1f2的中點(diǎn)，q是af1的中點(diǎn)，連接oq，則|oq|af2|a.q點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)o為圓心，半徑為a的圓故選a.(2)設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為f，則fab的周長(zhǎng)|fa|ab|fb|fa|fa|fb|fb|4a，所以4a12，a3，e.【答案】(1)a(2)1圓錐曲線的定義是推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是解題的重要工具，靈活運(yùn)用定義，可避免很多復(fù)雜的計(jì)算，提高解題效率，因此在解決圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重要的解題策略2應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，要注意與數(shù)形結(jié)合、方程等思想結(jié)合運(yùn)用再練一題1(1)已知雙曲線1，直線l過其左焦點(diǎn)f1，交雙曲線左支于a，b兩點(diǎn)，且|ab|4，f2為雙曲線的右焦點(diǎn)，abf2的周長(zhǎng)為20，則m的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650089】a8b9c16 d20 (2)如圖21所示，動(dòng)圓p與定圓c：(x1)2y21外切且與y軸相切，則圓心p的軌跡為_圖21【解析】(1)由雙曲線的定義可知，|af2|af1|2，|bf2|bf1|2，所以(|af2|bf2|)(|af1|bf1|)4，|af2|bf2|ab|4，|af2|bf2|44.又|af2|bf2|ab|20，即44420，所以m9.故選b.(2)設(shè)p(x，y)，動(dòng)圓p的半徑為r.兩圓外切，pcr1.又圓p與y軸相切，r|x|(x0)，即|x|1，整理得y22(|x|x)當(dāng)x0時(shí)，得y24x；當(dāng)x0時(shí)，得y0.點(diǎn)p的軌跡方程是y24x(x0)或y0(x0)，表示一條拋物線(除去頂點(diǎn))或x軸的負(fù)半軸【答案】(1)b(2)一條拋物線(除去頂點(diǎn))或x軸的負(fù)半軸直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線一般有三種位置關(guān)系：相交、相切和相離把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立成方程組，消去一個(gè)變量后，轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2bxc0.當(dāng)a0時(shí)，若0，直線與圓錐曲線相交，有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若0，直線與圓錐曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；若b0)的離心率e，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)a，b，已知點(diǎn)a的坐標(biāo)為(a,0)若|ab|，求直線l的傾斜角；若點(diǎn)q(0，y0)在線段ab的垂直平分線上，且4，求y0的值【精彩點(diǎn)撥】(1)建立關(guān)于a，b的方程組求出a，b；(2)構(gòu)造新方程，綜合運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式、平面向量等知識(shí)求解【規(guī)范解答】(1)由e，得3a24c2.由c2a2b2，得a2b.由題意，知2a2b4，即ab2.解方程組得a2，b1.所以橢圓的方程為y21.(2)由(1)知，點(diǎn)a的坐標(biāo)是(2,0)，設(shè)點(diǎn)b的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk(x2)于是a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，從而y1.所以|ab|.由|ab|，得.整理，得32k49k2230，即(k21)(32k223)0，解得k1.所以直線l的傾斜角為或.設(shè)線段ab的中點(diǎn)為m，則點(diǎn)m的坐標(biāo)為.以下分兩種情況：a當(dāng)k0時(shí)，點(diǎn)b的坐標(biāo)是(2,0)，線段ab的垂直平分線為y軸，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.b當(dāng)k0時(shí)，線段ab的垂直平分線方程為y.令x0，解得y0.(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)4，整理，得7k22，故k.所以y0.綜上，y02或y0.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是高考的熱點(diǎn)，解題時(shí)要注意掌握一些基本的解題規(guī)律和技巧，如在研究直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，不要僅由判別式來進(jìn)行判斷，還要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為0；涉及弦長(zhǎng)問題時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系求解，而對(duì)于焦點(diǎn)弦問題，則結(jié)合圓錐曲線的定義求解；解決有關(guān)中點(diǎn)弦問題時(shí)常常運(yùn)用“點(diǎn)差法”使運(yùn)算過程得以簡(jiǎn)化再練一題2已知橢圓g：1(ab0)的離心率為，右焦點(diǎn)為(2，0)斜率為1的直線l與橢圓g交于a，b兩點(diǎn)，以ab為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為p(3,2)(1)求橢圓g的方程；(2)求pab的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650090】【解】(1)由已知得，c2，.解得a2.又b2a2c24，所以橢圓g的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，由得4x26mx3m2120.設(shè)a，b的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，ab中點(diǎn)為e(x0，y0)，則x0，y0x0m，因?yàn)閍b是等腰pab的底邊，所以peab.所以pe的斜率k1，解得m2，此時(shí)方程為4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|ab|3.此時(shí)，點(diǎn)p(3,2)到直線ab：xy20的距離d，所以pab的面積s|ab|d.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、最值問題圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題往往與圓錐曲線中的“常數(shù)”有關(guān)，如橢圓的長(zhǎng)軸、短軸，雙曲線的虛軸、實(shí)軸，拋物線的焦點(diǎn)等，解決此類問題的主要方法是通過研究直線與曲線的位置關(guān)系，把所給問題進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過計(jì)算獲得答案；或是從特殊位置出發(fā)，確定定值，然后給出一般情況的證明圓錐曲線中的最值問題，通常有兩類：一類是有關(guān)長(zhǎng)度、面積等最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)幾何元素的最值問題，這兩類問題的解決往往通過回歸定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、代換等途徑來解決如圖22所示，橢圓c：1(ab0)，a1、a2為橢圓c的左、右頂點(diǎn)圖22(1)設(shè)f1為橢圓c的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓c上的點(diǎn)p在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，|pf1|取得最小值與最大值；(2)若橢圓c上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)若直線l：ykxm與(2)中所述橢圓c相交于a、b兩點(diǎn)(a、b不是左、右頂點(diǎn))，且滿足aa2ba2，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：25650091】【精彩點(diǎn)撥】(1)利用函數(shù)法，設(shè)p(x，y)，將|pf1|表示為x的函數(shù)(3)利用aa2ba2得k，m的等量關(guān)系，從而將直線l化為只含參數(shù)k(或m)的形式【規(guī)范解答】(1)證明：設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x，y)，令f(x)|pf1|2(xc)2y2.又點(diǎn)p在橢圓c上，故滿足1，則y2b2x2.代入f(x)得，f(x)(xc)2b2x2x22cxa2，則其對(duì)稱軸方程為x，由題意，知a恒成立，f(x)在區(qū)間a，a上單調(diào)遞增當(dāng)且僅當(dāng)橢圓c上的點(diǎn)p在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)|pf1|取得最小值與最大值(2)由已知與(1)得：ac3，ac1，a2，c1.b2a2c23.橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)證明：如圖所示，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，聯(lián)立得(34k2)x28mkx4(m23)0，則64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20，x1x2，x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.橢圓的右頂點(diǎn)為a2(2,0)，aa2ba2，(x12)(x22)y1y20.y1y2x1x22(x1x2)40.40.7m216km4k20，解得m12k，m2，且均滿足34k2m20.當(dāng)m12k時(shí)，l的方程為yk(x2)，直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾當(dāng)m2時(shí)，l的方程為yk，直線過定點(diǎn)，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法：(1)函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解(2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系式，通過解不等式求參數(shù)范圍再練一題3求拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80的最小距離【解】法一設(shè)p(t，t2)為拋物線上的點(diǎn)，它到直線4x3y80的距離d2.當(dāng)t時(shí)，d有最小值，最小值為.法二如圖所示，設(shè)與直線4x3y80平行的拋物線的切線方程為4x3ym0，則有方程組消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距離為.1已知橢圓1(m0)的左焦點(diǎn)為f1(4,0)，則m()a2b3c4 d9【解析】由左焦點(diǎn)為f1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.【答案】b2已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()a(1,0) b(1,0)c(0，1) d(0,1)【解析】拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線為x且過點(diǎn)(1,1)，故1，解得p2.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)【答案】b3已知雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為f(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為()a.1 b.1c.y21 dx21【解析】由雙曲線的漸近線yx與圓(x2)2y23相切可知解得故所求雙曲線的方程為x21.【答案】d4已知橢圓e的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，e的右焦點(diǎn)與拋物線c：y28x的焦點(diǎn)重合，a，b是c的準(zhǔn)線與e的兩個(gè)交點(diǎn)，則|ab|()a3b6 c9d12【解析】拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，橢圓中c2，又，a4，b2a2c212，從而橢圓方程為1.拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2，xaxb2，將xa2代入橢圓方程可得|ya|3，由圖象可知|ab|2|ya|6.故選b.【答案】b5已知f是雙曲線c：x21的右焦點(diǎn)，p是c的左支上一點(diǎn)，a(0,6)當(dāng)apf周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_【解析】由雙曲線方程x21可知，a1，c3，故