高考數(shù)學總復習 （教材回扣夯實雙基+考點探究+把脈高考）第九章第9課時 離散型隨機變量的均值與方課件.ppt

第9課時離散型隨機變量的均值與方差 正態(tài)分布 基礎梳理1 離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量x的分布列為 1 均值稱ex 為隨機變量x的均值或 它反映了離散型隨機變量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 數(shù)學期望 平均水平 平均偏離程度 2 均值與方差的性質(zhì) 1 e ax b 2 d ax b a b為常數(shù) 3 兩點分布與二項分布的均值 方差 aex b a2dx p p 1 p np np 1 p 4 正態(tài)曲線的特點 1 曲線位于x軸 與x軸 2 曲線是單峰的 它關于直線 對稱 3 曲線在x 處達到峰值 4 曲線與x軸之間的面積為 上方 不相交 x 1 5 當 一定時 曲線隨著 的變化而沿x軸平移 6 當 一定時 曲線的形狀由 確定 曲線越 瘦高 表示總體的分布越 曲線越 矮胖 表示總體的分布越 越小 集中 越大 分散 思考探究參數(shù) 在正態(tài)分布中的實際意義是什么 提示 是正態(tài)分布的期望 是正態(tài)分布的標準差 課前熱身 2 設隨機變量x服從正態(tài)分布n 2 9 若p x c 1 p x c 1 則c等于 a 1b 2c 3d 4 3 有一批產(chǎn)品 其中有12件正品和4件次品 有放回地任取3件 若x表示取到次品的件數(shù) 則dx 4 在籃球比賽中 罰球命中1次得1分 不中得0分 如果某運動員罰球命中的概率為0 7 那么他罰球1次的得分x的均值是 解析 ex 1 0 7 0 0 3 0 7 答案 0 7 2011 高考天津卷 學校游園活動有這樣一個游戲項目 甲箱子里裝有3個白球 2個黑球 乙箱子里裝有1個白球 2個黑球 這些球除顏色外完全相同 每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球 若摸出的白球不少于2個 則獲獎 每次游戲結(jié)束后將球放回原箱 1 求在1次游戲中 摸出3個白球的概率 獲獎的概率 2 求在2次游戲中獲獎次數(shù)x的分布列及數(shù)學期望ex 所以x的分布列是 題后感悟 1 求離散型隨機變量的均值與方差時 關鍵是先求出隨機變量的分布列 然后根據(jù)均值與方差的定義求解 2 若隨機變量x服從二項分布 即x b n p 則可直接使用公式ex np dx np 1 p 求解 備選例題 變式訓練1 袋中有20個大小相同的球 其中記上0號的有10個 記上n號的有n個 n 1 2 3 4 現(xiàn)從袋中任取一球 表示所取球的標號 1 求 的分布列 期望和方差 2 若 a b e 1 d 11 試求a b的值 解 1 的分布列為 隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件 經(jīng)質(zhì)檢 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生產(chǎn)1件一 二 三等品獲得的利潤分別為6萬元 2萬元 1萬元 而1件次品虧損2萬元 設1件產(chǎn)品的利潤 單位 萬元 為x 1 求x的分布列 2 求1件產(chǎn)品的平均利潤 即x的數(shù)學期望 3 經(jīng)技術(shù)革新后 仍有四個等級的產(chǎn)品 但次品率降為1 一等品率提高為70 如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4 73萬元 則三等品率最多是多少 2 ex 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 萬元 3 設技術(shù)革新后的三等品率為x 則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為ex 6 0 7 2 1 0 7 0 01 x x 2 0 01 4 76 x 0 x 0 29 依題意 知e x 4 73 即4 76 x 4 73 解得x 0 03 所以三等品率最多為3 題后感悟 1 解決此類題目的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件 求得該事件發(fā)生的概率 2 均值與方差從整體和全局上刻畫了隨機變量 是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù) 一般是先分析比較均值 若均值相同 再用方差來決定 變式訓練2 在某一有獎銷售中 每10萬份獎券中有1個一等獎 獎金10000元 2個二等獎 每個獎金5000元 500個三等獎 每個獎金100元 10000個四等獎 每個獎金5元 試求每張獎券獎金的期望值 如果每張獎券3元 銷售一張平均獲利多少 假設所有獎券全部售完 解 設一張獎券的獎金額為x 根據(jù)題意 x的分布列為 2011 高考湖北卷 已知隨機變量 服從正態(tài)分布n 2 2 且p 4 0 8 則p 0 2 a 0 6b 0 4c 0 3d 0 2 解析 由p 4 0 8知p 4 p 0 0 2 故p 0 2 0 3 故選c 答案 c 題后感悟 關于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 1 熟記p x p 2 x 2 p 3 x 3 的值 2 充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1 備選例題在某次數(shù)學考試中 考生的成績 服從正態(tài)分布 即 n 100 100 已知滿分為150分 1 試求考試成績 位于區(qū)間 80 120 內(nèi)的概率 2 若這次考試共有2000名考生參加 試估計這次考試及格 不小于90分 的人數(shù) 解 1 由 n 100 100 知 100 10 p 80 120 p 100 20 100 20 0 9544 即考試成績位于區(qū)間 80 120 內(nèi)的概率為0 9544 2 p 90 110 p 100 10 100 10 0 6826 p 110 1 0 6826 0 1587 p 90 0 6826 0 1587 0 8413 及格人數(shù)為2000 0 8413 1683 變式訓練3 已知正態(tài)分布總體落在區(qū)間 0 2 的概率為0 5 那么相應的正態(tài)曲線 x 在x 時達到最高點 解析 p x 0 2 0 5 p x 0 2 0 5 即直線x 0 2是正態(tài)曲線的對稱軸 當x 0 2時 x 達到最高點 答案 0 2 方法技巧1 釋疑離散型隨機變量的均值 1 均值是算術(shù)平均值概念的推廣 是概率意義下的平均 2 ex是一個實數(shù) 由x的分布列唯一確定 它描述x取值的平均狀態(tài) 3 教材中給出的e ax b aex b 說明隨機變量x的線性函數(shù)y ax b的均值等于隨機變量x均值的線性函數(shù) 2 離散型隨機變量的方差 1 dx表示隨機變量x對ex的平均偏離程度 dx越大表明平均偏離程度越大 說明x的取 值越分散 反之 dx越小 x的取值越集中在ex附近 統(tǒng)計中常用來描述x的分散程度 2 dx與ex一樣 也是一個實數(shù) 由x的分布列唯一確定 失誤防范1 對于應用問題 必須對實際問題進行具體分析 一般要先將問題中的隨機變量設出來 再進行分析 求出隨機變量的概率分布 然后按定義計算出隨機變量的期望 方差或標準差 2 在實際問題中進行概率 百分比計算時 關鍵是把正態(tài)分布的兩個重要參數(shù) 求出 然后確定三個區(qū)間 范圍 2 2 3 3 與已知概率值進行聯(lián)系求解 命題預測從近幾年的高考試題來看 離散型隨機變量的均值與方差是高考的熱點 題型為填空題或解答題 屬中檔題 常與排列 組合 概率等知識綜合命題 既考查基本概念 又注重考查基本運算能力和邏輯推理 理解能力 而正態(tài)分布在近幾年高考中 有些省份進行了考查 其難度較低 預測2013年高考 離散型隨機變量的均值與方差仍然是高考的熱點 同時應特別注意均值與方差的實際應用 規(guī)范解答 本題滿分12分 2011 高考福建卷 某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級 等級系數(shù)x依次為1 2 8 其中x 5為標準a x 3為標準b 已知甲廠執(zhí)行標準a生產(chǎn)該產(chǎn)品 產(chǎn)品的零售價為6元 件 乙廠執(zhí)行標準b生產(chǎn)該產(chǎn)品 產(chǎn)品的零售價為4元 件 假定甲 乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準 1 已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)x1的概率分布列如下所示 且x1的數(shù)學期望ex1 6 求a b的值 2 為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)x2 從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件 相應的等級系數(shù)組成一個樣本 數(shù)據(jù)如下 用這個樣本的頻率分布估計總體分布 將頻率視為概率 求等級系數(shù)x2的數(shù)學期望 3 在 1 2 的條件下 若以 性價比 為判斷標準 則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性 說明理由 注 產(chǎn)品的 性價比 性價比 大的產(chǎn)品更具可購買性 解 1 因為ex1 6 所以5 0 4 6a 7b 8 0 1 6 即6a 7b 3 2 2分又由x1的概率分布列得0 4 a b 0 1 1 即a b 0 5 2 由已知得 樣本的頻率分布表如下 6分用這個樣本的頻率分布估計總體分布 將頻率視為概率 可得等級系數(shù)x2的概率分布列如下 所以ex2 3 0 3 4 0 2