DVD在線租賃1.doc

DVD在線租賃一 摘要隨著信息時(shí)代的到來，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。在線DVD租賃成為一種可行的服務(wù)。本文就DVD在線租賃問題建立了數(shù)學(xué)模型，我們針對(duì)會(huì)員在不同情況下對(duì)不同種類的DVD的需求量以及對(duì)會(huì)員該如何分配DVD的問題進(jìn)行了分析討論。在問題一中我們通過問卷調(diào)查以及問題給出的歷史數(shù)據(jù)建立了一個(gè)優(yōu)化模型，再利用LINDO軟件解得了表（1）中五種不同類型DVD應(yīng)至少準(zhǔn)備的張數(shù)分別為：=6250, =3125, =1563, =782, =313,才能保證希望看到每種DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD。同樣的辦法得到了這五種不同種類DVD各應(yīng)至少準(zhǔn)備的張數(shù)為：=3959, =1980, =990, =495, =198,才能保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員能夠看到每種DVD。在處理問題二時(shí)，我們根據(jù)表（2）的有關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)DVD進(jìn)行分配，要使會(huì)員獲得的滿意度最大，建立了一個(gè)01規(guī)劃模型，運(yùn)用LINGO軟件編程求解出了20種DVD分配給100名會(huì)員的具體情況。并用表格列出了前30名會(huì)員分別獲得了哪種DVD（見附錄二）。在處理問題三時(shí)，我們根據(jù)表2中每種DVD下不為0的數(shù)字對(duì)應(yīng)的會(huì)員可統(tǒng)計(jì)出愿意觀看這DVD的人數(shù)，同樣用解決問題一的方法便可得出每100名會(huì)員對(duì)每種DVD的購(gòu)買量：便可用解決問題二的01規(guī)劃模型來對(duì)DVD進(jìn)行分配，分配結(jié)果（見附錄三），使一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得到他想看的DVD。二 關(guān)鍵詞線性規(guī)劃、DVD合理分配、最大滿意度三 問題重述考慮如下DVD在線租賃問題，會(huì)員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會(huì)根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個(gè)會(huì)員每個(gè)月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會(huì)員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。1通過問卷調(diào)查1000個(gè)會(huì)員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)（表（1）給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會(huì)員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個(gè)會(huì)員，對(duì)表（1）中的每種DVD來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少?gòu)垼拍鼙ＷC希望看到該DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD？如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員能夠看到該DVD呢？2根據(jù)表（2）如何對(duì)這些DVD進(jìn)行分配，才能使會(huì)員獲得最大滿意度？并具體列出前30位會(huì)員（即C0001C0030）分別獲得哪些DVD。假設(shè)表（2）中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0，又如何決定每種DVD的購(gòu)買量，以及如何對(duì)這20種DVD進(jìn)行分配，才能使一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？四 問題分析 對(duì)于問題一主要是解決在已知會(huì)員的人數(shù)的情況下，要使網(wǎng)站以準(zhǔn)備最少的5種類型DVD的張數(shù)，來保證希望看到各種DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD，用線性規(guī)劃建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型可解決此類問題，其目標(biāo)函數(shù)為準(zhǔn)備DVD的張數(shù)最少，約束條件為由各不同種類DVD準(zhǔn)備的數(shù)量可滿足的總?cè)藬?shù)應(yīng)該不小于希望看到該DVD的人數(shù)的50%。問題二是對(duì)DVD進(jìn)行分配，使會(huì)員獲得最大的滿意度，可利用01規(guī)劃建立模型來進(jìn)行處理，其中各名會(huì)員是否獲得了各DVD類型為01變量，又因?yàn)闀?huì)員的滿意度跟會(huì)員的偏愛程度有關(guān)，表(2)中會(huì)員的在線訂單數(shù)表示會(huì)員的偏愛程度，數(shù)字越小表示會(huì)員的偏愛程度超高，只需將會(huì)員所分配到不同種類的DVD所對(duì)應(yīng)的訂單數(shù)字求和取最小值，即滿意度越大，所建立的目標(biāo)函數(shù)的值越小。在這里又存在一個(gè)問題，由于數(shù)字0表示對(duì)應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會(huì)員的在線訂單中，由目標(biāo)函數(shù)是求最小值問題，很明顯調(diào)用表(2)中的數(shù)據(jù)用LINGO軟件求得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為0，這是不符合實(shí)際的，這樣我們可以把“對(duì)應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會(huì)員的在線訂單”理解成“會(huì)員的偏愛程度最低”，就可避免這一問題，約束條件由問題的總條件即每個(gè)會(huì)員每次獲得3張DVD和DVD的現(xiàn)有數(shù)量可確定。在問題三中繼續(xù)對(duì)表（2）中會(huì)員的在線訂單，如何決定每種DVD的購(gòu)買量，以及如何對(duì)這些DVD進(jìn)行分配，才能使一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得到他想看的DVD，并且滿意度最大，根據(jù)問題知表（2）中每種DVD當(dāng)前的會(huì)員的在線訂單不為0的數(shù)字對(duì)應(yīng)的會(huì)員人數(shù)即為愿意觀看該種DVD的人數(shù)，要使一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得到他想看的DVD，這樣就和第一問的問題相類似，這樣可算出DVD的購(gòu)買量，在這里DVD的購(gòu)買量即為第二問中所提到的DVD現(xiàn)有量，那么與解決問題二相類似的方法即可解決DVD的分配問題。五 模型假設(shè)1.不愿意觀看某種類型DVD的會(huì)員不會(huì)租看這種類型的DVD；2.每月租賃DVD兩次的會(huì)員每半個(gè)月歸還一次,可以提供本月下一次再出租,每月租賃DVD一次的會(huì)員看完一個(gè)月后才歸還；3.會(huì)員將看完的3張DVD放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回的途中不出現(xiàn)任何障礙；4.問卷調(diào)查的會(huì)員的情況與現(xiàn)實(shí)情況基本相符；5每個(gè)會(huì)員每次所租的3張DVD的種類不同；6只要DVD當(dāng)前在會(huì)員的在線訂單中，就是會(huì)員想看的DVD； 六 符號(hào)說明-在一個(gè)月內(nèi)不同種類DVD所準(zhǔn)備的張數(shù)；（i=1、2、3、4、5）-在三個(gè)月內(nèi)不同種類DVD所準(zhǔn)備的張數(shù)；（i=1、2、3、4、5）-第i名會(huì)員獲得第j種DVD所對(duì)應(yīng)的訂單數(shù)字；（i=1、2、100;j=1、2、20）-每種DVD的購(gòu)買量；（i=1、2、20）-愿意觀看DVD的人數(shù)；（i=1、2、20）七 模型的建立與求解問題 一：對(duì)表（1）中的每種DVD來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少?gòu)垼和ㄟ^問卷調(diào)查1000個(gè)會(huì)員得到愿意觀看這些DVD的人數(shù)可估算出現(xiàn)有10萬個(gè)會(huì)員愿意觀看五種不同DVD的人數(shù)如下表：DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)2000010000500025001000對(duì)五種DVD應(yīng)該準(zhǔn)備的張數(shù)，要考慮到一個(gè)周期的問題，每月租賃一次的成員在一個(gè)月內(nèi)看完DVD后歸還，而租賃兩次的成員他第一次租的DVD返還后接著租，他租的DVD的張數(shù)是租賃一次DVD的兩倍，還要保證50%的人能夠看到他們希望看到的DVD。根據(jù)問題的分析和假設(shè)建立模型：目標(biāo)函數(shù)：MIN (1)約束條件： 用LINDO軟件解得：(程序見附錄一),.即為五種不同種類的DVD應(yīng)該準(zhǔn)備的張數(shù)。在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員能夠看到該DVD的情況和在一個(gè)月內(nèi)至少50%的會(huì)員能夠看到該DVD的情況類似：目標(biāo)函數(shù)為： MIN (2) 約束條件 用LINDO軟件解得:(程序見附錄一), , , , .即五種不同種類DVD應(yīng)該準(zhǔn)備的張數(shù),使得至少有95%的成員能夠看到該DVD的所要準(zhǔn)備的張數(shù)。問題二：?jiǎn)栴}二是如何對(duì)20種不同DVD進(jìn)行分配,才能使會(huì)員獲得最大滿意度,通過對(duì)問題二的具體分析：利用01規(guī)劃建立一個(gè)模型: 設(shè)為01變量，則：=1時(shí),表示第i個(gè)會(huì)員獲得了第j種DVD(i=1、2、100;j=1、 2、 、20) =0時(shí)，表示第i個(gè)會(huì)員未獲得了第j種DVD(i=1、2、100;j=1、 2、 、20)根據(jù)問題：會(huì)員的在線訂單用數(shù)字1、2、表示，數(shù)字越小表示會(huì)員的偏愛程度越高，那么將會(huì)員所分配到不同種類DVD所對(duì)應(yīng)的訂單數(shù)字乘積求和取最小值就可使會(huì)員獲得最大滿意度。我們可以把“數(shù)字為0表示對(duì)應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會(huì)員的在線訂單中”理解為“會(huì)員的偏愛程度最低”可設(shè)比當(dāng)前會(huì)員的在線訂單數(shù)字都大的數(shù)字為10，這就可避免前面所說的問題。 目標(biāo)函數(shù) MIN (3) 由DVD現(xiàn)有數(shù)量和問題的總條件可得約束條件為： 用LINGO軟件解得：100名會(huì)員DVD的分配見附錄二，最大的滿意度為Z=976 (程序見附錄二)具體前30位會(huì)員分別獲得的DVD如下表：會(huì)員C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15會(huì)員所獲得DVD種類D3D1D6D7D6D6D7D1D3D10D3D7D6D6D7D17D6D17D11D7D12D11D13D7D12D8D11D17D12D17D20D12D20D12D17D16D20D14D15D17D10D19D20D17D20會(huì)員C16C17C18C19C20C21C22C23C24C25C26C27C28C29C30會(huì)員所獲得DVD種類D7D4D7D6D6D6D3D12D7D15D3D6D5D12D3D9D7D1815D7D13D7D13D11D17D6D7D7D13D17D11D17D20D17D20D15D11D20D13D19D16D10D9D20D20問題三：由表（2）中數(shù)據(jù)可統(tǒng)計(jì)得到20種DVD下不為0的訂單數(shù)字分別對(duì)應(yīng)的會(huì)員人數(shù)，由假設(shè)得出即為愿意觀看這種DVD的人數(shù)：那么對(duì)于解決DVD購(gòu)買量的問題與問題一中的方法類似。再根據(jù)DVD購(gòu)買量，對(duì)這些DVD進(jìn)行分配，使一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得到他想看的DVD，并且滿意度最大。我們就可以建立下面一個(gè)模型：目標(biāo)函數(shù) ： (4)約束條件： 用LINGO軟件解得100名會(huì)員DVD的分配見附錄三，最大滿意度為Z=600 (程序見附錄三)八 模型的優(yōu)缺點(diǎn)及推廣模型的分析和求解的結(jié)果能夠比較準(zhǔn)確的解決這個(gè)實(shí)際問題，但是模型的假設(shè)比較簡(jiǎn)單化，在租賃過程中還有很多不確定的因素，例如:會(huì)員對(duì)DVD的價(jià)格,會(huì)員對(duì)網(wǎng)站提供的滿意度這些都影響到會(huì)員的在線訂單；會(huì)員在租賃過程中,還存在一個(gè)周期的問題,會(huì)員一個(gè)月租一次和租二次的歸還周期是不同的,而我們?cè)诳紤]本文問題時(shí)，忽略的一點(diǎn),這也是我們模型的局限性。我們還可以預(yù)測(cè)會(huì)員DVD的需求量，由于影響會(huì)員對(duì)DVD的需求預(yù)測(cè)有很多方面，而且各個(gè)方面的影響程度各不一樣，為了合理有效地將各個(gè)影響面總體對(duì)需求的影響表示出來，可以采用加權(quán)平均的方法計(jì)算。在現(xiàn)今的在線租賃市場(chǎng)，網(wǎng)站只有依靠合理有效的價(jià)格，以及滿足不同會(huì)員的要求，最終才能獲得利潤(rùn)最大化的目的，也使會(huì)員的滿意度提高。此模型的建立還可推廣到資源的分配、公司招聘等問題上。參考文獻(xiàn)：1 趙靜 但琦數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第二版） 北京 高等教育出版社 2003年6月2 葉其孝大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材（第一版）湖南 湖南教育出版社1997年6月附錄附錄一：LINDO軟件編程：min x1+x2+x3+x4+x5st 1.6x1=10000 1.6x2=5000 1.6x3=2500 1.6x4=1250 1.6x5=1000Endgin 5 運(yùn)行結(jié)果： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 12345.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6250.000000 1.000000 X2 3125.000000 1.000000 X3 1563.000000 1.000000 X4 782.000000 1.000000 X5 625.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000149 0.000000 3) 0.000075 0.000000 4) 0.800037 0.000000 5) 1.200019 0.000000 6) 0.000015 0.000000 NO. ITERATIONS= 11 BRANCHES= 2 DETERM.= 1.000E 0 LINDO軟件編程：min x1+x2+x3+x4+x5 st 4.8x1=19000 4.8x2=9500 4.8x3=4750 4.8x4=2375 4.8x5=950endgin 5運(yùn)行結(jié)果： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 7622.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 3959.000000 1.000000 X2 1980.000000 1.000000 X3 990.000000 1.000000 X4 495.000000 1.000000 X5 198.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3.200755 0.000000 3) 4.000378 0.000000 4) 2.000189 0.000000 5) 1.000094 0.000000 6) 0.400038 0.000000 NO. ITERATIONS= 8 BRANCHES= 3 DETERM.= 1.000E 0附錄二：LINGO軟件編程：MODEL: SETS: Row/1 . 100/:; Line/1 . 20/:CurVal; links(Row,Line):X,y; ENDSETS MIN=SUM(links:X*y); For(links(I,J):BIN(X); !0/1; For(Row(I): !每行相加之和等于3; SUM(Line(J):X(I,J) =3 ); For(Line(J): !每列相加之和小于現(xiàn)有數(shù)量; SUM(Row(I):X(I,J) = CurVal(J); !For(Row(I):For(line(J)|y(I,J)=0:X(I,J) #eq# 0); ! ; DATA: CurVal=8 1 22 10 8 40 40 1 8 15 19 20 10 2 5 8 30 10 8 38; !Dat=OLE(D2005.xls); y=FILE(Dat1.txt); ENDDATAEND運(yùn)行結(jié)果：Objective value: 976.0000前30位會(huì)員分別獲得的DVD： X( 1, 1) 0.000000 10.00000 X( 1, 2) 0.000000 10.00000 X( 1, 3) 1.000000 2.000000 X( 1, 4) 0.000000 10.00000 X( 1, 5) 0.000000 10.00000 X( 1, 6) 0.000000 10.00000 X( 1, 7) 0.000000 9.000000 X( 1, 8) 0.000000 1.000000 X( 1, 9) 0.000000 10.00000 X( 1, 10) 0.000000 5.000000 X( 1, 11) 0.000000 7.000000 X( 1, 12) 0.000000 10.00000 X( 1, 13) 0.000000 10.00000 X( 1, 14) 0.000000 8.000000 X( 1, 15) 0.000000 10.00000 X( 1, 16) 0.000000 3.000000 X( 1, 17) 1.000000 6.000000 X( 1, 18) 0.000000 10.00000 X( 1, 19) 0.000000 10.00000 X( 1, 20) 1.000000 4.000000 X( 2, 1) 1.000000 1.000000 X( 2, 2) 0.000000 10.00000 X( 2, 3) 0.000000 9.000000 X( 2, 4) 0.000000 10.00000 X( 2, 5) 0.000000 10.00000 X( 2, 6) 1.000000 7.000000 X( 2, 7) 0.000000 10.00000 X( 2, 8) 0.000000 10.00000 X( 2, 9) 0.000000 4.000000 X( 2, 10) 0.000000 10.00000 X( 2, 11) 0.000000 10.00000 X( 2, 12) 1.000000 2.000000 X( 2, 13) 0.000000 10.00000 X( 2, 14) 0.000000 6.000000 X( 2, 15) 0.000000 3.000000 X( 2, 16) 0.000000 10.00000 X( 2, 17) 0.000000 10.00000 X( 2, 18) 0.000000 8.000000 X( 2, 19) 0.000000 5.000000 X( 2, 20) 0.000000 10.00000 X( 3, 1) 0.000000 10.00000 X( 3, 2) 0.000000 6.000000 X( 3, 3) 0.000000 10.00000 X( 3, 4) 0.000000 10.00000 X( 3, 5) 0.000000 10.00000 X( 3, 6) 1.000000 7.000000 X( 3, 7) 0.000000 10.00000 X( 3, 8) 0.000000 10.00000 X( 3, 9) 0.000000 10.00000 X( 3, 10) 0.000000 10.00000 X( 3, 11) 0.000000 10.00000 X( 3, 12) 0.000000 4.000000 X( 3, 13) 0.000000 1.000000 X( 3, 14) 0.000000 3.000000 X( 3, 15) 0.000000 8.000000 X( 3, 16) 0.000000 10.00000 X( 3, 17) 1.000000 2.000000 X( 3, 18) 0.000000 10.00000 X( 3, 19) 0.000000 9.000000 X( 3, 20) 1.000000 5.000000 X( 4, 1) 0.000000 10.00000 X( 4, 2) 0.000000 10.00000 X( 4, 3) 0.000000 10.00000 X( 4, 4) 0.000000 10.00000 X( 4, 5) 0.000000 4.000000 X( 4, 6) 0.000000 10.00000 X( 4, 7) 1.000000 7.000000 X( 4, 8) 0.000000 6.000000 X( 4, 9) 0.000000 10.00000 X( 4, 10) 0.000000 10.00000 X( 4, 11) 1.000000 3.000000 X( 4, 12) 1.000000 1.000000 X( 4, 13) 0.000000 10.00000 X( 4, 14) 0.000000 5.000000 X( 4, 15) 0.000000 9.000000 X( 4, 16) 0.000000 10.00000 X( 4, 17) 0.000000 8.000000 X( 4, 18) 0.000000 10.00000 X( 4, 19) 0.000000 2.000000 X( 4, 20) 0.000000 10.00000 X( 5, 1) 0.000000 5.000000 X( 5, 2) 0.000000 10.00000 X( 5, 3) 0.000000 10.00000 X( 5, 4) 0.000000 10.00000 X( 5, 5) 0.000000 10.00000 X( 5, 6) 1.000000 4.000000 X( 5, 7) 1.000000 7.000000 X( 5, 8) 0.000000 10.00000 X( 5, 9) 0.000000 10.00000 X( 5, 10) 0.000000 9.000000 X( 5, 11) 0.000000 10.00000 X( 5, 12) 0.000000 10.00000 X( 5, 13) 0.000000 3.000000 X( 5, 14) 0.000000 10.00000 X( 5, 15) 0.000000 2.000000 X( 5, 16) 0.000000 8.000000 X( 5, 17) 1.000000 6.000000 X( 5, 18) 0.000000 10.00000 X( 5, 19) 0.000000 1.000000 X( 5, 20) 0.000000 10.00000 X( 6, 1) 0.000000 4.000000 X( 6, 2) 0.000000 10.00000 X( 6, 3) 0.000000 6.000000 X( 6, 4) 0.000000 10.00000 X( 6, 5) 0.000000 10.00000 X( 6, 6) 1.000000 8.000000 X( 6, 7) 0.000000 10.00000 X( 6, 8) 0.000000 5.000000 X( 6, 9) 0.000000 9.000000 X( 6, 10) 0.000000 10.00000 X( 6, 11) 0.000000 10.00000 X( 6, 12) 1.000000 3.000000 X( 6, 13) 0.000000 10.00000 X( 6, 14) 0.000000 10.00000 X( 6, 15) 0.000000 1.000000 X( 6, 16) 1.000000 2.000000 X( 6, 17) 0.000000 10.00000 X( 6, 18) 0.000000 10.00000 X( 6, 19) 0.000000 7.000000 X( 6, 20) 0.000000 10.00000 X( 7, 1) 0.000000 10.00000 X( 7, 2) 0.000000 10.00000 X( 7, 3) 0.000000 6.000000 X( 7, 4) 0.000000 3.000000 X( 7, 5) 0.000000 10.00000 X( 7, 6) 0.000000 10.00000 X( 7, 7) 1.000000 1.000000 X( 7, 8) 0.000000 2.000000 X( 7, 9) 0.000000 8.000000 X( 7, 10) 0.000000 10.00000 X( 7, 11) 1.000000 4.000000 X( 7, 12) 0.000000 10.00000 X( 7, 13) 0.000000 10.00000 X( 7, 14) 0.000000 10.00000 X( 7, 15) 0.000000 10.00000 X( 7, 16) 0.000000 5.000