統(tǒng)計(jì)與可能性.doc

六、統(tǒng)計(jì)與可能性 (一)教學(xué)目標(biāo)1體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平性，會(huì)求簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性。2能按照指定的要求設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的游戲方案。3理解中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義，學(xué)會(huì)求中位數(shù)的方法。 4根據(jù)數(shù)據(jù)的具體情況，體會(huì)“平均數(shù)”“中位數(shù)”各自的特點(diǎn)。（二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議教材說(shuō)明 本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要有兩個(gè)方面：一是事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平性，會(huì)求簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率；二是理解中位數(shù)的意義，會(huì)求數(shù)據(jù)的中位數(shù)，在統(tǒng)計(jì)分析中能根據(jù)實(shí)際情況合理選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量來(lái)描述數(shù)據(jù)的特征。 1事件發(fā)生的可能性以及游戲規(guī)則的公平性。 關(guān)于“可能性”這一內(nèi)容，本套教材分兩次進(jìn)行了集中編排。第一次是在三年級(jí)上冊(cè)，主要是讓學(xué)生初步體驗(yàn)有些事件的發(fā)生是確定的，有些則是不確定的。第二次就在本單元，本單元內(nèi)容是在三年級(jí)上冊(cè)的基礎(chǔ)上的深化，使學(xué)生對(duì)“可能性”的認(rèn)識(shí)和理解逐漸從定性向定量過(guò)渡，不但能用恰當(dāng)?shù)脑~語(yǔ)（如“一定”“不可能”“可能”“經(jīng)?！薄芭紶枴钡龋﹣?lái)表述事件發(fā)生的可能性大小，還要學(xué)會(huì)通過(guò)量化的方式，用分?jǐn)?shù)描述事件發(fā)生的概率。 根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，本單元安排的是簡(jiǎn)單的等可能性事件，等可能性事件是概率論中研究得最早，在社會(huì)生活中又廣泛存在的一種隨機(jī)現(xiàn)象，它滿足以下兩個(gè)條件：(1)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果只有有限個(gè)，比如說(shuō)為n個(gè)。(2)每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的，都是1/n。等可能性事件在概率論發(fā)展初期即被人們所關(guān)注和研究，故這類隨機(jī)現(xiàn)象通常又被稱為古典概型，本單元的例1、例2和例3及相關(guān)練習(xí)都屬于古典概型問(wèn)題。 等可能性事件與游戲規(guī)則的公平性是緊密相聯(lián)的，因?yàn)橐粋€(gè)公平的游戲規(guī)則本質(zhì)上就是參與游戲的各方獲勝的機(jī)會(huì)均等，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述即是他們獲勝的可能性相等。因此，教科書在編排上就圍繞等可能性這個(gè)知識(shí)的主軸，以學(xué)生熟悉的游戲活動(dòng)展開(kāi)教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在積極的參與中直觀感受到游戲規(guī)則的公平性，并逐步豐富對(duì)等可能性的體驗(yàn)，學(xué)會(huì)用概率的思維去觀察和分析社會(huì)生活中的事物。此外，通過(guò)探究游戲的公平性，還可在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的公平、公正意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生正直人格的形成。 2中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義及計(jì)算方法。 學(xué)生在三年級(jí)已經(jīng)學(xué)過(guò)平均數(shù)（主要是指算術(shù)平均數(shù)），知道平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，用它來(lái)表示一組數(shù)據(jù)的情況，具有直觀、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)。所以教科書在引入中位數(shù)時(shí)，就以平均數(shù)為參照物，說(shuō)明當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來(lái)代表該組數(shù)據(jù)的一般水平就比平均數(shù)更合適。這樣編排，不但新舊知識(shí)過(guò)渡自然，便于學(xué)生理解和掌握，而且清晰地闡明了中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，即中位數(shù)在數(shù)值大小上處于一組數(shù)據(jù)的最中間，主要反映了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中等水平，并且不受偏大或偏小等極端數(shù)據(jù)的影響，對(duì)人們了解事物發(fā)展的中等水平很有幫助。 在介紹中位數(shù)的計(jì)算方法時(shí)，教科書在編排上采取了由易至難，逐步深入的方式。如例4和例5，列出的一組數(shù)據(jù)都是7個(gè)，即奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，從而最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)就為中位數(shù)，可直接在數(shù)據(jù)組中找出；然后把7個(gè)數(shù)據(jù)變?yōu)?個(gè)，最中間就有兩個(gè)數(shù)據(jù)，引出當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)計(jì)算中位數(shù)的方法。 教科書在選材上特別注意聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，如擲沙包、跳遠(yuǎn)、跳繩等活動(dòng)，都是學(xué)生幾乎天天參與的游戲，可使學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中完成數(shù)據(jù)的收集和整理，也便于教師組織教學(xué)。教學(xué)建議 1注重學(xué)生對(duì)等可能性思想的理解，淡化純概率數(shù)值的計(jì)算。 在自然界和人類社會(huì)中存在兩類不同的現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象（即必然事件和不可能事件）和隨機(jī)現(xiàn)象（即不確定事件）。概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支。在小學(xué)階段設(shè)置簡(jiǎn)單的“概率”內(nèi)容，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維，讓其學(xué)會(huì)用概率的眼光去觀察大千世界，而不僅僅是以確定的、一成不變的思維方式去理解事物。因此，在可能性知識(shí)的教學(xué)中，應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)學(xué)生概率素養(yǎng)的培養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)隨機(jī)思想的理解，而不要把豐富多彩的可能性內(nèi)容變成了機(jī)械的計(jì)算和練習(xí)。 在教學(xué)中，教師還應(yīng)注意結(jié)合學(xué)生熟悉的游戲、活動(dòng)（如擲硬幣、玩轉(zhuǎn)盤、摸卡片等），讓學(xué)生親自動(dòng)手試驗(yàn)，在試驗(yàn)中直觀體驗(yàn)事件發(fā)生的可能性，探究游戲規(guī)則的公平性與等可能性事件的關(guān)系等，使其經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程。 2加強(qiáng)學(xué)生對(duì)中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的理解。 中位數(shù)和平均數(shù)一樣，也是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。教學(xué)時(shí)應(yīng)注意結(jié)合學(xué)生已經(jīng)很熟悉的平均數(shù)，對(duì)比教學(xué)，以幫助學(xué)生弄清兩者的聯(lián)系和區(qū)別，使他們明白：平均數(shù)主要反映一組數(shù)據(jù)的總體水平，中位數(shù)則更好地反映了一組數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）。在教學(xué)中，教師應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)組，以反映中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義和價(jià)值，在與平均數(shù)的對(duì)比中體現(xiàn)中位數(shù)的特點(diǎn)。如例4、例5的數(shù)據(jù)組中，因個(gè)別數(shù)據(jù)嚴(yán)重偏大，影響到平均數(shù)也偏大，導(dǎo)致平均數(shù)不能很好地代表該組數(shù)據(jù)的總體水平，而中位數(shù)的優(yōu)勢(shì)正好能夠避免一些偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響，因而在這樣的場(chǎng)合中，中位數(shù)就能很好地反映一組數(shù)據(jù)的一般水平。 另外，因中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處于最中間的位置，故其在統(tǒng)計(jì)學(xué)分析中也常常扮演著“分水嶺”的角色。人們由中位數(shù)可對(duì)事物的大體趨勢(shì)進(jìn)行判斷和掌控。如某城市一個(gè)月的空氣污染指數(shù)的中位數(shù)值是70（空氣質(zhì)量為良），則說(shuō)明該城市這個(gè)月超過(guò)一半的時(shí)間空氣質(zhì)量都為良。所以在教學(xué)中，教師可組織學(xué)生開(kāi)展調(diào)查活動(dòng)，然后再利用中位數(shù)的這一特點(diǎn)進(jìn)行初步的統(tǒng)計(jì)分析。如調(diào)查全班同學(xué)的睡眠時(shí)間，如果中位數(shù)顯示睡眠不足，則表明全班至少有一半的同學(xué)睡眠不足，據(jù)此就可建議大家少看電視和按時(shí)作息等。 3本單元內(nèi)容可用4課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。（三）具體內(nèi)容的說(shuō)明和教學(xué)建議（第98 108頁(yè)） 本單元共安排了5個(gè)例題。 1體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平性，會(huì)求簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性。 教科書通過(guò)主題圖、例1、例2和例3的教學(xué)，使學(xué)生初步體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性和游戲規(guī)則的公平性，在編排方式上主要從三個(gè)方面展開(kāi)：一是體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性與游戲規(guī)則的公平性之間的關(guān)系，如例1的拋硬幣試驗(yàn)和例2 的擊鼓傳花游戲等，都是從事件發(fā)生的等可能性這個(gè)角度說(shuō)明了游戲規(guī)則的公平性，提出判斷游戲公平性的方法就是看事件發(fā)生的可能性是否相等；二是從事件發(fā)生的可能性出發(fā)，根據(jù)指定的要求，設(shè)計(jì)游戲方案，這主要體現(xiàn)在“做一做”和練習(xí)題中，教學(xué)時(shí)應(yīng)注意結(jié)合相應(yīng)的例題引導(dǎo)學(xué)生從可能性角度進(jìn)行思考；三是能對(duì)簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性作出預(yù)測(cè)，如例2后的“做一做”，根據(jù)設(shè)計(jì)好的轉(zhuǎn)盤，預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)80次后，指針可能會(huì)有多少次停在紅色區(qū)域，等等。 （1）主題圖。 主題圖通過(guò)呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的校園活動(dòng)場(chǎng)景，引入本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容。目的是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，使學(xué)生體會(huì)到在我們的身邊就存在大量的等可能性事件，平時(shí)的游戲活動(dòng)中也隱含著許多公平性的問(wèn)題。 教學(xué)時(shí)，教師可先用實(shí)物投影儀展示這幅情景圖，也可制成電腦課件進(jìn)行播放，讓學(xué)生身臨其境，然后引導(dǎo)學(xué)生探究擊鼓傳花、足球比賽等活動(dòng)中蘊(yùn)涵的概率思想，特別要引導(dǎo)學(xué)生從事件發(fā)生的可能性這個(gè)角度去觀察問(wèn)題，如學(xué)生會(huì)直觀感到擊鼓傳花時(shí)花落到每個(gè)人手里的可能性是相等的，拋一枚硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性也是相等的在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)這些游戲活動(dòng)對(duì)參與的各方是否公平。教學(xué)時(shí)可先讓小組合作學(xué)習(xí)、討論，然后再匯報(bào)討論結(jié)果，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生用推理的方法找出等可能性與游戲公平性之間的因果關(guān)系，以促進(jìn)學(xué)生形成較好的邏輯思維。 主題圖里全是情境，沒(méi)有相應(yīng)的文字說(shuō)明，故教學(xué)時(shí)應(yīng)注意說(shuō)明每個(gè)活動(dòng)的游戲規(guī)則，提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題讓學(xué)生討論。教學(xué)時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從事件發(fā)生的可能性以及游戲規(guī)則是否公平這個(gè)角度來(lái)思考問(wèn)題，不要過(guò)分關(guān)注游戲、活動(dòng)內(nèi)容本身。 （2）例1及“做一做”。 例1。 本例教學(xué)最簡(jiǎn)單的等可能性事件，即兩個(gè)事件發(fā)生的可能性都為1/2，同時(shí)讓學(xué)生初步感知游戲規(guī)則公平性的數(shù)學(xué)含義。教科書呈現(xiàn)了足球比賽前用拋硬幣來(lái)決定誰(shuí)開(kāi)球的場(chǎng)景，由小精靈提出問(wèn)題“你認(rèn)為拋硬幣決定誰(shuí)開(kāi)球公平嗎？”引出教學(xué)內(nèi)容。設(shè)計(jì)目的是使學(xué)生理解隨機(jī)拋擲一枚硬幣時(shí)“出現(xiàn)正面和出現(xiàn)反面的可能性是相同的”，從而說(shuō)明在比賽前用拋硬幣的方法來(lái)決定誰(shuí)開(kāi)球?qū)Ρ荣愲p方都是公平的。 擲一枚硬幣時(shí)，既可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，預(yù)先作出確定的判斷是不可能的，但如果硬幣均勻，直觀上會(huì)感到出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的機(jī)會(huì)應(yīng)該相等，即在大量重復(fù)試驗(yàn)中正面朝上的頻率，應(yīng)接近于50%。為了驗(yàn)證這點(diǎn)，在概率論的發(fā)展歷史上，曾有許多著名的數(shù)學(xué)家也做過(guò)這個(gè)試驗(yàn)，其結(jié)果如下：因此，盡管在拋一次硬幣時(shí)，我們事先無(wú)法確定它是正面朝上，還是反面朝上，但當(dāng)我們大量重復(fù)拋擲一枚硬幣時(shí)，二者出現(xiàn)的頻率在0.5附近擺動(dòng)，我們就認(rèn)為正面朝上和反面朝上的概率是1/2，從而驗(yàn)證了在足球比賽前采用拋硬幣來(lái)決定誰(shuí)開(kāi)球的規(guī)則是公平的。 教學(xué)時(shí)，為使學(xué)生更直觀感受，可先讓學(xué)生小組合作做拋硬幣試驗(yàn)，并做好結(jié)果記錄（如：每個(gè)小組拋100次，分別算出正面朝上和反面朝上的頻率）。在試驗(yàn)完成后，教師可讓學(xué)生匯報(bào)本組得到的結(jié)果。針對(duì)有的小組得到的結(jié)果可能與理論上的概率值相差較大，教師可以把各個(gè)小組試驗(yàn)的情況匯總，再進(jìn)行分析，就可使結(jié)果更加逼近理論值。同時(shí)，教師還可說(shuō)明：當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)增大時(shí)，正面朝上的頻率和反面朝上的頻率都越來(lái)越逼近12。這實(shí)際上就是概率的統(tǒng)計(jì)定義思想。 做一做。 這是一個(gè)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)盤游戲，學(xué)生在三年級(jí)時(shí)就已經(jīng)接觸過(guò)了，知道指針停在紅色區(qū)域的可能性比停在藍(lán)色區(qū)域和黃色區(qū)域的可能性都要大，所以判斷“這樣公平嗎”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在小精靈提出的問(wèn)題“怎樣設(shè)計(jì)這個(gè)轉(zhuǎn)盤才公平”上。 教學(xué)時(shí)，教師可從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，在學(xué)生得到“這樣做不公平，因?yàn)橹羔樛Ｔ诩t色區(qū)域的可能性要大些”的結(jié)論的情況下，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：指針停在紅色區(qū)域的可能性是多大呢？從而實(shí)現(xiàn)對(duì)可能性的認(rèn)識(shí)由定性感受到定量刻畫的自然過(guò)渡。 為便于學(xué)生理解，教材把轉(zhuǎn)盤平均分成了四份，其中紅色區(qū)域占兩份，藍(lán)色區(qū)域和黃色區(qū)域各占一份，所以指針停在紅色區(qū)域的可能性是2/4，即1/2，而停在藍(lán)色區(qū)域和停在黃色區(qū)域的可能性都是1/4，從而說(shuō)明這個(gè)轉(zhuǎn)盤設(shè)計(jì)得不公平。在此基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生從等可能性的角度來(lái)重新設(shè)計(jì)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，即將轉(zhuǎn)盤平均分成三部分，紅、黃、藍(lán)各占1/3，就可保證游戲的公平性了。 （3）關(guān)于練習(xí)二十中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 第1題，因?yàn)檎襟w各部分都很均勻和規(guī)則，所以投擲后6個(gè)面朝上的可能性相等，都是1/6。教學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生先說(shuō)說(shuō)自己的看法，再讓他們動(dòng)手試驗(yàn)，最好多投幾次，并作好記錄，以發(fā)現(xiàn)其中的概率規(guī)律。 第2題，轉(zhuǎn)盤被平均分成了四部分，故指針停在四種顏色區(qū)域的可能性相等，都是1/4。如果轉(zhuǎn)動(dòng)指針100次，因指針停在每種顏色區(qū)域的機(jī)會(huì)均等，所以停在紅色區(qū)域的次數(shù)大約就是1004=25（次）。 第3題，雖然橡皮各部分的材料是均勻的，但它的6個(gè)面大小不等，一個(gè)面的面積越大，投擲后朝上的可能性也越大，所以，小強(qiáng)設(shè)計(jì)的這個(gè)方案不公平。 （4）例2及 “做一做”。 例2。 通過(guò)擊鼓傳花游戲，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)等可能性事件的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)用幾分之幾來(lái)描述一個(gè)事件發(fā)生的概率，加深對(duì)游戲規(guī)則公平性的認(rèn)識(shí)和理解。 教學(xué)的難點(diǎn)在于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到基本事件與事件的關(guān)系，即花落到每個(gè)人手里的可能性與落到男生（或女生）手里的可能性的聯(lián)系。為了直觀展現(xiàn)可能性由1/18變?yōu)?/18這一過(guò)程，教學(xué)時(shí)可借助學(xué)生熟悉的轉(zhuǎn)盤游戲來(lái)模擬本活動(dòng)：把一個(gè)轉(zhuǎn)盤平均分成18個(gè)區(qū)域，灰色區(qū)域代表男生，白色區(qū)域代表女生，灰白間隔，則例2的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了指針停在灰色區(qū)域的可能性是多大，而這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就比較容易理解了。 做一做。 又是一個(gè)轉(zhuǎn)盤游戲，轉(zhuǎn)盤表面被平均分成了8個(gè)部分，并涂了紅、黃、藍(lán)3種顏色，分別占轉(zhuǎn)盤表面積的3/8、2/8、3/8。教學(xué)時(shí)可先讓學(xué)生觀察轉(zhuǎn)盤，認(rèn)識(shí)到指針停在每一個(gè)小扇形區(qū)域的可能性都是18，即基本事件的發(fā)生是等可能性的，然后再觀察紅、黃、藍(lán)3種顏色各占幾個(gè)小扇形，從而根據(jù)等可能性事件的“加法原理”就可得出指針停在紅、黃、藍(lán)三種顏色區(qū)域的可能性分別是38、28、38。轉(zhuǎn)動(dòng)指針80次，則指針停在每個(gè)小區(qū)域的次數(shù)大體上應(yīng)相等，即均為808=10（次），又因?yàn)榧t色占了3個(gè)小區(qū)域，所以指針停在紅色區(qū)域的次數(shù)大約就是103=30（次）。教學(xué)時(shí)應(yīng)指出這是理論上的結(jié)果，因?yàn)殡S機(jī)事件的概率值是建立在大量重復(fù)試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的，所以在實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)80次時(shí)，有可能會(huì)偏離這個(gè)結(jié)果，這也是正常的。 （5）關(guān)于練習(xí)二十一中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 第1題，把9張數(shù)字卡片打亂順序后擺在桌子上，隨機(jī)抽取一張，抽到每張數(shù)字卡片的可能性都是1/9，而單數(shù)有1，3，5，7，9，共5個(gè)，所以抽到單數(shù)的可能性是5/9，同理，抽到雙數(shù)的可能性是4/9?？梢?jiàn)，這個(gè)游戲?qū)π》级允遣还降?。雖然游戲規(guī)則對(duì)小芳不利，但在一次或有限次試驗(yàn)中，小芳卻不一定會(huì)輸。因?yàn)檫@里的可能性5/9和4/9都是一個(gè)理論值，是在大量重復(fù)試驗(yàn)下抽到單數(shù)和雙數(shù)的頻率的極限。因此，在獨(dú)立的一次游戲中，小芳還是有可能獲勝的。為了使游戲規(guī)則變得公平，可去掉一張單數(shù)卡片或再增加一張雙數(shù)卡片，從而使得摸到單數(shù)和摸到雙數(shù)的可能性都是1/2，就實(shí)現(xiàn)了游戲的公平。 第2題，這是一個(gè)開(kāi)放題，教學(xué)時(shí)可放手讓學(xué)生去設(shè)計(jì)，只要他們的方案滿足紅色區(qū)域占整個(gè)轉(zhuǎn)盤面積的一半，綠色和黃色區(qū)域各占整個(gè)轉(zhuǎn)盤面積的1/4就行。 第3題，轉(zhuǎn)盤被均勻地分成了10個(gè)區(qū)域，指針停在任一區(qū)域的可能性都相等，均為1/10。當(dāng)甲轉(zhuǎn)動(dòng)指針時(shí)，乙能猜對(duì)指針停在哪一區(qū)域（即乙獲勝）的可能性是1/10，而乙猜錯(cuò)（即甲獲勝）的可能性是9/10，所以這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)乙來(lái)說(shuō)是不公平的。 雖然乙獲勝的可能性很小，但根據(jù)隨機(jī)事件的特性，小概率事件也是會(huì)發(fā)生的，所以在一次試驗(yàn)中并不能斷定乙就一定會(huì)輸，只是說(shuō)明乙輸?shù)目赡苄院艽?，尤其是在該游戲大量重?fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，這一點(diǎn)會(huì)表現(xiàn)得更明顯。 針對(duì)教材中列出的四種猜數(shù)方法，第一種：不是2的整數(shù)倍的數(shù)有1，3，5，7，9共5個(gè)，因而乙猜對(duì)的可能性是5/10；第二種：不是3的整數(shù)倍的數(shù)有1，2，4，5，7，8，10共7個(gè)，因而乙猜對(duì)的可能性是7/10；第三種：大于6的數(shù)有7，8，9，10共4個(gè)，因而乙猜對(duì)的可能性是4/10；第四種：不大于6的數(shù)有1，2，3，4，5，6共6個(gè)，因而乙猜對(duì)的可能性是6/10。比較四種方法后發(fā)現(xiàn)，乙選擇第二種方法獲勝的可能性最大，所以乙應(yīng)選擇第二種。特別要指出的一點(diǎn)是，第三種和第四種方法在概率論里稱為 “互補(bǔ)事件”，兩個(gè)互補(bǔ)事件發(fā)生的概率之和等于1。所以，如果我們已經(jīng)知道了第三種方法獲勝的可能性，第四種方法獲勝的可能性就可直接通過(guò)減法計(jì)算求得。 因?yàn)檫@個(gè)游戲只有甲、乙兩個(gè)人參與，所以公平的游戲規(guī)則應(yīng)是甲乙雙方獲勝的可能性都為1/2，設(shè)計(jì)規(guī)則時(shí)只要滿足這個(gè)條件即可。如可讓乙猜指針停在單數(shù)或雙數(shù)上，或猜指針停在15這5個(gè)數(shù)字上，等等。（6）例3及“做一做”。 例3通過(guò)判斷小麗和小強(qiáng)采用“石頭、剪子、布”來(lái)決定誰(shuí)跳是否公平這一活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)小麗獲勝和小強(qiáng)獲勝的可能性進(jìn)行思考和分析。但與例1、例2不同，例3并沒(méi)有給出小麗和小強(qiáng)玩“石頭、剪子、布”的所有可能的結(jié)果，所以不能直接計(jì)算出小強(qiáng)獲勝的可能性，而應(yīng)先羅列出他們兩人玩“剪子、石頭、布”的所有可能的結(jié)果。教學(xué)時(shí)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生找出小麗和小強(qiáng)玩“石頭、剪子、布”的所有可能的結(jié)果（如下表）。 從表中可見(jiàn)，一共有9種可能的結(jié)果，因?yàn)槊咳顺鍪^、剪子、布的可能性都相同，所以上述9種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，均為1/9。其中小強(qiáng)獲勝的結(jié)果有3種，小麗獲勝的結(jié)果有3種，平的結(jié)果也有3種，故小強(qiáng)獲勝的可能性就是3/9，同理，小麗獲勝的可能性也是3/9，二者相等，所以用“石頭、剪子、布”來(lái)決定誰(shuí)跳是公平的。 為了不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生結(jié)合以前學(xué)的排列組合知識(shí)進(jìn)行思考。在找出游戲的所有可能結(jié)果后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，在此基礎(chǔ)上，再解決“小強(qiáng)獲勝的可能性是多大”就比較容易了。 做一做。 為了求擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性，首先應(yīng)羅列出3，5，6這三張卡片能夠擺出的所有三位數(shù)，即3個(gè)數(shù)的全排列共有=6種：356，365，536，563，635，653。由此可見(jiàn)，6個(gè)三位數(shù)中單數(shù)有4個(gè)，雙數(shù)有兩個(gè)，所以擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性是4/6=2/3，是雙數(shù)的可能性是2/6=1/3。教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生利用以前學(xué)習(xí)的排列組合方法，以保證在羅列時(shí)做到不重復(fù)不遺漏。 除了列舉法，也可根據(jù)單數(shù)和雙數(shù)的特性來(lái)分析問(wèn)題。判斷一個(gè)數(shù)是單數(shù)還是雙數(shù)主要看這個(gè)數(shù)的個(gè)位，若個(gè)位上的數(shù)字是單數(shù)，則該數(shù)就是單數(shù)，反之，則說(shuō)明該數(shù)是雙數(shù)。現(xiàn)在來(lái)看3，5，6這3個(gè)數(shù)字，3，5都是單數(shù)，只有6是雙數(shù)，所以當(dāng)3或5都放在個(gè)位時(shí)，組成的三位數(shù)就是單數(shù)，只有當(dāng)6放在個(gè)位時(shí)，組成的三位數(shù)才是雙數(shù)，因而擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性是2/3，是雙數(shù)的可能性是1/3。由以上的分析可以看出，這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)猜“擺出的三位數(shù)是雙數(shù)”的一方不利，所以游戲不公平。 （7）關(guān)于練習(xí)二十二中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 第1題，從4張數(shù)字卡片中任意抽取兩張，這是一個(gè)組合問(wèn)題，共有種，分別是：2，3；2，7；2，8；3，7；3，8；7，8。其中第一種和第五種情況下兩數(shù)的乘積既是2的整數(shù)倍又是3的整數(shù)倍，所以可排除，即有效的組合有4種。在這4種組合中，乘積是2的整數(shù)倍的有3種（2，7；2，8；7，8），乘積是3的整數(shù)倍的有1種（3，7），所以這個(gè)玩法不公平。 根據(jù)已有的規(guī)則，為了使游戲公平，則必須換掉卡片或卡片，并且新加的數(shù)字卡片應(yīng)滿足如下條件：該數(shù)字是不能被3整除的單數(shù)，如5。教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意說(shuō)明當(dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積既不能被2整除又不能被3整除時(shí)，也要重來(lái)。 第2題，投擲一粒骰子，朝上的數(shù)字有6種可能的結(jié)果，根據(jù)乘法原理，同時(shí)擲兩粒骰子時(shí)，則可能出現(xiàn)的結(jié)果共有66=36種，并且這36種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，均為1/36。與此對(duì)應(yīng)，36種情況下兩個(gè)數(shù)字的和的分布情況如下表陰影部分所示： 從表中可見(jiàn)，和是單數(shù)的結(jié)果有18種，所以和是單數(shù)的可能性是18/36=1/2，同理，和是雙數(shù)的可能性也是1/2，故這個(gè)游戲?qū)﹄p方是公平的。 第3題，本題是開(kāi)放的，學(xué)生可根據(jù)自己的生活實(shí)際，從熟悉的游戲、活動(dòng)中尋找題材，先探究這些游戲、活動(dòng)的規(guī)則是否對(duì)比賽各方都公平，如果不公平，則根據(jù)等可能性思想，對(duì)游戲的規(guī)則進(jìn)行矯正，或重新制定，直到使其滿足公平性。 2理解中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，會(huì)求數(shù)據(jù)的中位數(shù)；了解中位數(shù)與平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)的具體情況合理選擇統(tǒng)計(jì)量。 中位數(shù)和平均數(shù)一樣，也是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，但它和平均數(shù)有以下兩點(diǎn)不同：一是平均數(shù)只是一個(gè)“虛擬”的數(shù)，即一組數(shù)據(jù)的和除以該組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商，而中位數(shù)并不完全是“虛擬”數(shù)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，它就是該組數(shù)據(jù)順序排列后最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)，是這組數(shù)據(jù)中真實(shí)存在的一個(gè)數(shù)據(jù)；二是平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)大小的改變，而 中位數(shù)則僅與一組數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響，所以當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來(lái)描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就比較合適。 在講中位數(shù)的概念時(shí)，還要注意一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只有一個(gè)，在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的情況下，中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)；在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況下，中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。 （1）例4。 本例通過(guò)解決“用什么數(shù)表示第3組同學(xué)的擲沙包水平比較合適”這一問(wèn)題，引出了中位數(shù)的概念。在第一學(xué)段，學(xué)生已知道用平均數(shù)來(lái)描述一組數(shù)據(jù)的總體情況比較方便和適用，但平均數(shù)與一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都有直接的關(guān)系，任意一個(gè)數(shù)據(jù)大小的變化都會(huì)對(duì)平均數(shù)值產(chǎn)生影響。例如本例，因?yàn)閭€(gè)別數(shù)據(jù)偏大，導(dǎo)致平均數(shù)不能很好地反映第3組同學(xué)擲沙包的一般水平。由此矛盾，就要求我們尋找新的統(tǒng)計(jì)量來(lái)“彌補(bǔ)”平均數(shù)在描述某些數(shù)據(jù)組時(shí)的不足，從而很自然地引入中位數(shù)的概念。 教學(xué)時(shí)，應(yīng)把握好以下幾個(gè)層次：一是引入中位數(shù)的必要性；二是定義中位數(shù)的概念時(shí)，要突出中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義；三是闡明中位數(shù)與平均數(shù)各自的特點(diǎn)和適用范圍。 首先，教師可出示統(tǒng)計(jì)表，提出問(wèn)題：你們覺(jué)得第3組同學(xué)擲沙包的一般水平應(yīng)該是多少呢？ 學(xué)生可能會(huì)估計(jì)他們的一般成績(jī)?cè)?325米之間，然后再讓學(xué)生算出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是27.7，從而發(fā)現(xiàn)與他們的估計(jì)有較大出入，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)的成績(jī)都低于平均值，說(shuō)明用平均數(shù)來(lái)表示第3組同學(xué)擲沙包的一般水平不太合適，由此引出中位數(shù)。 教學(xué)時(shí)應(yīng)把中位數(shù)特點(diǎn)講清楚，讓學(xué)生明白：把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，最中間的數(shù)據(jù)就是中位數(shù)，它的優(yōu)點(diǎn)是不受偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響。如在本例中，因?yàn)橛袃蓚€(gè)同學(xué)的成績(jī)太高，嚴(yán)重偏離了大多數(shù)同學(xué)的水平，這時(shí)用中位數(shù)來(lái)表示第3組同學(xué)擲沙包的一般水平就比較合適。在教學(xué)怎樣求中位數(shù)時(shí)，要強(qiáng)調(diào) “中位”是相對(duì)一組數(shù)據(jù)的數(shù)值大小順序而言的，計(jì)算中位數(shù)前首先應(yīng)將該組數(shù)據(jù)按照大小順序進(jìn)行排列，再找出處于最中間位置的數(shù)據(jù)。 最后，教師可適當(dāng)小結(jié)一下，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到平均數(shù)與中位數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，但針對(duì)具體的一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，則應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)組中各個(gè)數(shù)據(jù)的分布情況，合理選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量。如當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)嚴(yán)重偏大或偏小時(shí)，就最好選用中位數(shù)來(lái)表示該組數(shù)據(jù)的一般水平。 （2）例5。 設(shè)計(jì)本例的目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解中位數(shù)的概念，掌握求中位數(shù)的方法，另外更重要的一點(diǎn)是讓學(xué)生體會(huì)中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的作用。 本例呈現(xiàn)了幾名男生的跳遠(yuǎn)成績(jī)，并從平均數(shù)和中位數(shù)兩個(gè)角度對(duì)該數(shù)據(jù)組進(jìn)行了分析，結(jié)果表明用中位數(shù)代表這組成績(jī)的一般水平更合適。針對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)，判斷某個(gè)統(tǒng)計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)就是該統(tǒng)計(jì)量是否包含了數(shù)據(jù)組足夠多的信息量，是否很好地反映了該組數(shù)據(jù)的大部分特征，也即該統(tǒng)計(jì)量蘊(yùn)涵了更多的有關(guān)該組數(shù)據(jù)的信息。對(duì)例5而言，7名男生跳遠(yuǎn)成績(jī)的平均數(shù)是2.96，中位數(shù)是2.89，分析發(fā)現(xiàn)有5名男生的成績(jī)都低于平均值，從而說(shuō)明在這里用平均數(shù)來(lái)代表該組成績(jī)不太合適，應(yīng)選用中位數(shù)。為讓學(xué)生更完整地掌握求給定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的方法，在本例最后，有意將原數(shù)據(jù)組的7個(gè)數(shù)據(jù)變成了8個(gè)，以向?qū)W生介紹當(dāng)一組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)中位數(shù)的求法。 教學(xué)時(shí)，先出示五（2）班7名男生的跳遠(yuǎn)成績(jī)統(tǒng)計(jì)表，讓學(xué)生根據(jù)統(tǒng)計(jì)表說(shuō)說(shuō)用什么數(shù)來(lái)代表該組數(shù)據(jù)比較合適，引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)學(xué)過(guò)的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的角度進(jìn)行思考。在學(xué)生計(jì)算中位數(shù)時(shí)，本例與例4不同之處是統(tǒng)計(jì)表中7個(gè)數(shù)據(jù)還沒(méi)有按大小順序排列，故應(yīng)先調(diào)整統(tǒng)計(jì)表中各數(shù)據(jù)的位置，使之有序排列，然后再仿例4進(jìn)行計(jì)算?？勺寣W(xué)生通過(guò)小組討論的形式來(lái)分析平均數(shù)和中位數(shù)的特點(diǎn)，并引導(dǎo)他們結(jié)合本例的實(shí)際情況，以做出合理的選擇。 （3）關(guān)于練習(xí)二十三中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 第1題，教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生根據(jù)7名同學(xué)的成績(jī)估一估他們跳繩的一般水平大約應(yīng)是多少，然后再分別計(jì)算出平均數(shù)和中位數(shù)，比較后發(fā)現(xiàn)用中位數(shù)140來(lái)表示該小組同學(xué)跳繩的一般水平合適，因?yàn)槠骄鶖?shù)是144，而7人中有5人的成績(jī)都低于該數(shù)值，所以不具有代表性。進(jìn)一步探究會(huì)發(fā)現(xiàn)，造成平均數(shù)偏大的原因是7人中有一個(gè)同學(xué)的成績(jī)是172，大大高于該組同學(xué)的一般水平，從而抬高了平均數(shù)。 第2題，本題的編寫意圖有兩點(diǎn)：一是使