5.3-定積分的換元法和分部積分法-習題.doc

第5章 定積分及其應(yīng)用 5.3 定積分的換元法和分部積分法 習題解1計算下列定積分：；【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎?yīng)用定積分換元法令，則，當從單調(diào)變化到時，從單調(diào)變化到，于是有 。；【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎?yīng)用定積分換元法令，則，當從單調(diào)變化到1時，從1單調(diào)變化到16，于是有 。；【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎?yīng)用定積分換元法令，則，當從0單調(diào)變化到時，從1單調(diào)變化到0，于是有。；【解】被積式為，不屬于三角函數(shù)的基本可積形式，須進行變換。由于1是獨立的，易于分離出去獨立積分，于是問題成為對的積分，這是正、余弦的奇數(shù)次冪的積分，其一般方法是應(yīng)用第一換元法，先分出一次式以便作湊微分：，余下的，這樣得到的便為變量代換做好了準備。具體的變換方式有如下兩種：【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎?yīng)用定積分換元法令，則，當從0單調(diào)變化到時，從1單調(diào)變化到，于是有。；【解】這是正、余弦的偶次冪，其一般積分方法為，利用三角函數(shù)的半角公式：，將平方部份降次成為一次的余弦三角函數(shù)：，使之可以換元成為基本可積形式：【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎?yīng)用定積分換元法令，則，當從單調(diào)變化到時，從單調(diào)變化到，于是有。；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方，應(yīng)令，當從0單調(diào)變化到時，從0單調(diào)變化到，且，使得。；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方，應(yīng)令，當從單調(diào)變化到1時，從單調(diào)變化到，且，使得。（）；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方，應(yīng)令，當從0單調(diào)變化到時，從0單調(diào)變化到，且，使得。；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內(nèi)的變量在后的平方和轉(zhuǎn)換成完全平方，應(yīng)令，當從1單調(diào)變化到時，從單調(diào)變化到，且使得這時，再令，當從單調(diào)變化到時，從單調(diào)變化到，又得。；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法。由于根號內(nèi)的二次多項式并非為三角變換中的平方和或差的標準形式，需要先將其轉(zhuǎn)化為標準形：，現(xiàn)在，根號內(nèi)的二次多項式成為了變量在后的平方差的形式了，因此可令，當從0單調(diào)變化到1時，從單調(diào)變化到0，從而對應(yīng)從單調(diào)變化到0，而且，于是。；【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法：【解法一】令，當從1單調(diào)變化到4時，從1單調(diào)變化到2，且由此得，于是?！窘夥ǘ繛楸阌诜e分，可使變換后的分母成為簡單變量，即令，當從1單調(diào)變化到4時，從2單調(diào)變化到3，且由此得，于是。；【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法：【解法一】令，當從單調(diào)變化到1時，從單調(diào)變化到0，且由此得，于是?！窘夥ǘ繛楸阌诜e分，可使變換后的分母成為簡單變量，即令，當從單調(diào)變化到1時，從單調(diào)變化到，且由此得，于是。；【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法：令，當從單調(diào)變化到1時，從3單調(diào)變化到1，且由此得，于是。；【解】由于，為含復合函數(shù)的積分，且微分部份僅與復合函數(shù)之中間變量的微分相差一個常數(shù)倍，可以應(yīng)用第一換元積分法：【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎?yīng)用定積分的換元法令，當從1單調(diào)變化到2時，從1單調(diào)變化到，且由此得，于是。；【解】為含復合函數(shù)的積分，且微分部份與復合函數(shù)之中間變量的微分僅相差一個常數(shù)倍，可以應(yīng)用第一換元積分法：【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應(yīng)用定積分的換元法令，當從0單調(diào)變化到1時，從0單調(diào)變化到，且由此得，于是 。；【解】為含復合函數(shù)的積分，且微分部份與復合函數(shù)之中間變量的微分相等，可以應(yīng)用第一換元積分法：【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎?yīng)用定積分的換元法令，當從1單調(diào)變化到時，從1單調(diào)變化到3，且由此得，于是。；【解】為含復合函數(shù)的積分，被積函數(shù)為真有理分式，分母為二次無零點的多項式，且分子比分母低一次，可以分解為兩個可積基本分式的積分：。；【解】被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法：令，當從0單調(diào)變化到2時，從1單調(diào)變化到，且由此得，于是。；【解】由于，所以于是有【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式?！窘夥ǘ繎?yīng)用定積分的換元法令，當從單調(diào)變化到0時，從0單調(diào)變化到1，當從0單調(diào)變化到時，從1單調(diào)變化到0，且由此得，于是?！窘狻坑捎冢?。2利用函數(shù)的奇偶性計算下列定積分：；【解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，即知。；【解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，且有即得 。；【解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以。【解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以。3證明：（）?！咀C明】作倒數(shù)變換，當從單調(diào)變化到1時，從單調(diào)變化到1，且有，于是有 ，證畢。4證明：。【證明】由于，其中，對于，作如下的處理：作變換，當從單調(diào)變化到時，從單調(diào)變化到0，且有，于是，從而得 。證畢。5設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明：當是偶函數(shù)時，為奇函數(shù)；【證明】當是偶函數(shù)時，有，使得 ，可知此時為奇函數(shù)，證畢。當是奇函數(shù)時，為偶函數(shù)?！咀C明】當是奇函數(shù)時，有，使得 ，可知此時為偶函數(shù)，證畢。6設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：對任意的常數(shù)，有。【證明】題設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，可知成立，由于其中，對于，作如下的處理：令，當從單調(diào)變化到時，從0單調(diào)變化到，使得 ，于是有 ，證畢。7計算下列定積分：；【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應(yīng)選為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式，?！窘夥ǘ繎?yīng)用列表法可得 。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選為先積分部份，。（含不可直接積分部份的分部積分不應(yīng)使用列表法）；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選為先積分部份，。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應(yīng)選為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式，。【解法二】應(yīng)用列表法可得 。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，應(yīng)選為先積分部份，。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應(yīng)選為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式，?！窘夥ǘ繎?yīng)用列表法可得 。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，與均可選為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式，選為先積分部份，即得 ，移項，整理得 ?！窘夥ǘ刻子梅植糠e分公式，選為先積分部份，即得 ，移項，整理得 。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選為先積分部份，。；【解】將三角函數(shù)降次后求解，其中，積分中的被積函數(shù)屬分部積分第一類，套用分部積分公式，選為先積分部份，得，從而得 。；【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，且已經(jīng)具有的結(jié)構(gòu)，直接套用分部積分公式得即得 ，移項、整理得 。；【解】?！窘狻窟@是含復合函數(shù)的積分，可用