（試題 試卷 真題）專題63 押軸的解答題專集（1）

2012年全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(159套63專題）專題63：押軸的解答題專集（1）三、解答題1. （2012北京市7分）在中，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ。 （1） 若且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補(bǔ)全圖形，并寫出CDB的度數(shù)； （2） 在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想CDB的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明； （3） 對于適當(dāng)大小的，當(dāng)點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B，M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出的范圍?！敬鸢浮拷猓海?）補(bǔ)全圖形如下：CDB=30。（2）作線段CQ的延長線交射線BM于點D，連接PC，AD，AB=BC，M是AC的中點，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在APD與CPD中，AD=CD， PD=PD， PA=PCAPDCPD（SSS）。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQC=PCD=PAD。PAD+PQD=PQC+PQD=180。APQ+ADC=360（PAD+PQD）=180。ADC=180APQ=1802，即2CDB=1802。CDB=90。（3）4560?！究键c】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，?！痉治觥浚?）利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出CMQ是等邊三角形，即可得出答案：BA=BC，BAC=60，M是AC的中點，BMAC，AM=AC。將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2得到線段PQ，AM=MQ，AMQ=120。 CM=MQ，CMQ=60。CMQ是等邊三角形。ACQ=60。CDB=30。（2）首先由已知得出APDCPD，從而得出PAD+PQD=PQC+PQD=180，即可求出。（3）由（2）得出CDB=90，且PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=1802。點P不與點B，M重合，BADPADMAD。21802，4560。2. （2012北京市8分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對于任意兩點P1（x1,y1）與P2（x2,y2）的“非常距離”，給出如下定義： 若x1x2y1y2，則點P1與點P2的“非常距離”為x1x2； 若x1x2y1y2，則點P1與點P2的“非常距離”為y1y2. 例如：點P1（1,2），點P2（3,5），因為1325，所以點P1與點P2的“非常距離”為25=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點）。 （1）已知點，B為y軸上的一個動點， 若點A與點B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點B的坐標(biāo)； 直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值； （2）已知C是直線上的一個動點， 如圖2，點D的坐標(biāo)是（0，1），求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點C的坐標(biāo)； 如圖3，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點E和點C的坐標(biāo)。 【答案】解：（1）（0，2）或（0，2）。（2）設(shè)C坐標(biāo)為，如圖，過點C作CPx軸于點P，作CQy軸于點Q。 由“非常距離”的定義知，當(dāng)OP=DQ時，點C與點D的“非常距離”最小，。兩邊平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。點C與點D的“非常距離”的最小值距離為，此時。設(shè)直線與x軸和y軸交于點A，B，過點O作直線的垂線交直線于點C，交圓于點E，過點C作CPx軸于點P，作CQy軸于點Q，過點E作EMx軸于點M，作ENy軸于點N。易得，OA=4，OB=3，AB=5。由OABMEM，OE=1，得OM=，ON=。設(shè)C坐標(biāo)為由“非常距離”的定義知，當(dāng)MP=NQ時，點C與點E的“非常距離”最小，。兩邊平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。點C與點E的“非常距離”的最小值距離為1，此時，?！究键c】新定義，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，直線和圓的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)“非常距離”的定義可直接求出。 （2）解題關(guān)鍵是，過C點向x、y軸作垂線，當(dāng)CP和CQ長度相等的時候“非常距離”最短，理由是，如果向下（如左圖）或向上（如右圖）移動C點到達(dá)C點，其與點D的“非常距離”都會增大。故而C、D為正方形相對的兩個頂點時有最小的非常距離。 同，同時理解當(dāng)OC垂直于直線時，點C與點E的“非常距離”最小。3. （2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片，得點B和折痕OP設(shè)BP=t（）如圖，當(dāng)BOP=300時，求點P的坐標(biāo)；（）如圖，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB上，得點C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當(dāng)點C恰好落在邊OA上時，求點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【答案】解：（）根據(jù)題意，OBP=90，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）點P的坐標(biāo)為（ ，6）。（）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11t，CQ=6m。（0t11）。（）點P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）?！究键c】翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚ǎ└鶕?jù)題意得，OBP=90，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易證得OBPPCQ，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案。（）首先過點P作PEOA于E，易證得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點P作PEOA于E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC=QCA。PCECQA。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。將代入，并化簡，得。解得：。點P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。4. （2012天津市10分）已知拋物線y=ax2+bx+c（02ab）的頂點為P（x0，y0），點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在該拋物線上（）當(dāng)a=1，b=4，c=10時，求頂點P的坐標(biāo)；求-的值；（）當(dāng)y00恒成立時，求的最小值【答案】解：（）若a=1，b=4，c=10，此時拋物線的解析式為y=x2+4x+10。 y=x2+4x+10=（x+2）2+6，拋物線的頂點坐標(biāo)為P（2，6）。點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在拋物線y=x2+4x+10上，yA=15，yB=10，yC=7。（）由02ab，得。由題意，如圖過點A作AA1x軸于點A1，則AA1=yA，OA1=1。連接BC，過點C作CDy軸于點D，則BD=yByC，CD=1。過點A作AFBC，交拋物線于點E（x1，yE），交x軸于點F（x2，0）。則FAA1=CBD。RtAFA1RtBCD。 ，即。過點E作EGAA1于點G，易得AEGBCD。，即。點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）、E（x1，yE）在拋物線y=ax2+bx+c上，yA=a+b+c，yB=c，yC=ab+c，yE=ax12+bx1+c，化簡，得x12x12=0，解得x1=2（x1=1舍去）。y00恒成立，根據(jù)題意，有x2x11。則1x21x1，即1x23。的最小值為3。 【考點】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚ǎ=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函數(shù)解析式。將二次函數(shù)化為頂點式，即可得到得到拋物線頂點坐標(biāo)。將A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）分別代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后計算的值即可。（）根據(jù)02ab，求出，作出圖中輔助線：點A作AA1x軸于點A1，則AA1=yA，OA1=1連接BC，過點C作CDy軸于點D，則BD=yByC，CD=1過點A作AFBC，交拋物線于點E（x1，yE），交x軸于點F（x2，0）。證出RtAFA1RtBCD，得到，再根據(jù)AEGBCD得到，然后求出yA、yB、yC、yE的表達(dá)式，然后y00恒成立，得到x2x11，從而利用不等式求出 的最小值。 5. （2012上海市12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）、B（1，0），與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD=t，點E在第二象限，ADE=90，tanDAE=，EFOD，垂足為F（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)ECA=OAC時，求t的值【答案】解：（1）二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）、B（1，0），解得。這個二次函數(shù)的解析式為：y=2x2+6x+8。（2）EFD=EDA=90，DEF+EDF=90，EDF+ODA=90。DEF=ODA。EDFDAO。，。OD=t，EF=。同理，DF=2，OF=t2。（3）拋物線的解析式為：y=2x2+6x+8，C（0，8），OC=8。如圖，連接EC、AC，過A作EC的垂線交CE于G點ECA=OAC，OAC=GCA（等角的余角相等）。在CAG與OCA中，OAC=GCA，AC=CA，ECA=OAC，CAGOCA（ASA）。CG=AO=4，AG=OC=8。如圖，過E點作EMx軸于點M，則在RtAEM中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得： 。在RtAEG中，由勾股定理得：。在RtECF中，EF=，CF=OCOF=10t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合題意，舍去），t2=6。t=6?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）已知點A、B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可。 （2）先證明EDFDAO，然后利用相似三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系以及三角形函數(shù)的定義求解。（3）通過作輔助線構(gòu)造一對全等三角形：CAGOCA，得到CG、AG的長度；然后利用勾股定理求得AE、EG的長度（用含t的代數(shù)式表示）；最后在RtECF中，利用勾股定理，得到關(guān)于t的無理方程，解方程求出t的值。6.（2012上海市14分）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，AOB=90，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分別為D、E（1）當(dāng)BC=1時，求線段OD的長；（2）在DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設(shè)BD=x，DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域【答案】解：（1）點O是圓心，ODBC，BC=1，BD=BC=。 又OB=2，。（2）存在，DE是不變的。如圖，連接AB，則。D和E是中點，DE=。（3）BD=x，。1=2，3=4，AOB=900。2+3=45。過D作DFOE，垂足為點F。DF=OF=。由BODEDF，得，即，解得EF=x。OE=。【考點】垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）由ODBC，根據(jù)垂徑定理可得出BD=BC= ，在RtBOD中利用勾股定理即可求出OD的長。（2）連接AB，由AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再由D和E是中點，根據(jù)三角形中位線定理可得出DE= 。（3）由BD=x，可知，由于1=2，3=4，所以2+3=45，過D作DFOE，則DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。 ，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）， 。7. （2012重慶市10分）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進(jìn)行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設(shè)備進(jìn)行處理某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時進(jìn)行1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1（噸）與月份x（1x6，且x取整數(shù)）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表：7至12月，該企業(yè)自身處理的污水量y2（噸）與月份x（7x12，且x取整數(shù)）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式為y2=ax2+c(a0)其圖象如圖所示1至6月，污水廠處理每噸污水的費用：z1（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用：z2（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：；7至12月，污水廠處理每噸污水的費用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用均為1.5元（1）請觀察題中的表格和圖象，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，分別直接寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你求出該企業(yè)去年哪個月用于污水處理的費用W（元）最多，并求出這個最多費用；（3）今年以來，由于自建污水處理設(shè)備的全面運行，該企業(yè)決定擴(kuò)大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處理，估計擴(kuò)大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加（a30）%，為鼓勵節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負(fù)擔(dān)，財政對企業(yè)處理污水的費用進(jìn)行50%的補(bǔ)助若該企業(yè)每月的污水處理費用為18000元，請計算出a的整數(shù)值（參考數(shù)據(jù)：15.2，20.5，28.4）【答案】解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值，則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系：。將（1，12000）代入得：k=112000=12000，（1x6，且x取整數(shù)）。根據(jù)圖象可以得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點，代入y2=ax2+c得：，解得：。y2=x2+10000（7x12，且x取整數(shù)）。（2）當(dāng)1x6，且x取整數(shù)時： =1000x2+10000x3000=1000（x5）2+2200。a=10000， 1x6，當(dāng)x=5時，W最大=22000（元）。當(dāng)7x12時，且x取整數(shù)時：W=2（12000y1）+1.5y2=2（12000x210000）+1.5（x2+10000）=x2+1900。a=0，對稱軸為x=0，當(dāng)7x12時，W隨x的增大而減小，當(dāng)x=7時，W最大=18975.5（元）。2200018975.5，去年5月用于污水處理的費用最多，最多費用是22000元。（3）由題意得：12000（1+a%）1.51+（a30）%（150%）=18000，設(shè)t=a%，整理得：10t2+17t13=0，解得：。28.4，t10.57，t22.27（舍去）。a57。答：a整數(shù)值是57?！究键c】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥浚?）利用表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值，則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系，求出即可。再利用函數(shù)圖象得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點，求出二次函數(shù)解析式即可。（2）利用當(dāng)1x6時，以及當(dāng)7x12時，分別求出處理污水的費用，即可得出答案。（3）利用今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）1.51+（a-30）%（1-50%）=18000，進(jìn)而求出即可。8. （2012重慶市12分）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=2，BC=6，AB=3E為BC邊上一點，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)（1）當(dāng)正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形BEFG，當(dāng)點E與點C重合時停止平移設(shè)平移的距離為t，正方形BEFG的邊EF與AC交于點M，連接BD，BM，DM，是否存在這樣的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）在（2）問的平移過程中，設(shè)正方形BEFG與ADC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍【答案】解：（1）如圖，設(shè)正方形BEFG的邊長為x，則BE=FG=BG=x。AB=3，BC=6，AG=ABBG=3x。GFBE，AGFABC。，即。解得：x=2，即BE=2。（2）存在滿足條件的t，理由如下：如圖，過點D作DHBC于H，則BH=AD=2，DH=AB=3，由題意得：BB=HE=t，HB=|t2|，EC=4t，EFAB，MECABC。，即。ME=2t。在RtBME中，BM2=ME2+BE2=22+（2t）2=t22t+8。在RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t2）2=t24t+13。過點M作MNDH于N，則MN=HE=t，NH=ME=2t，DN=DHNH=3（2t）=t+1。在RtDMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。（）若DBM=90，則DM2=BM2+BD2，即t2+t+1=（t22t+8）+（t24t+13），解得：t=。（）若BMD=90，則BD2=BM2+DM2，即t24t+13=（t22t+8）+（t2+t+1），解得：t1=3+，t2=3（舍去）。t=3+。（）若BDM=90，則BM2=BD2+DM2，即t22t+8=（t24t+13）+（t2+t+1），此方程無解。綜上所述，當(dāng)t=或3+時，BDM是直角三角形；（3）?！究键c】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和逆定理，正方形的性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)?！痉治觥浚?）首先設(shè)正方形BEFG的邊長為x，易得AGFABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得BE的長。（2）首先由MECABC與勾股定理，求得BM，DM與BD的平方，然后分別從若DBM、DBM和BDM分別是直角，列方程求解即可。（3）分別從， 和時去分析求解即可求得答案：如圖，當(dāng)F在CD上時，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，CE=。t=BB=BCBEEC=62。ME=2t，F(xiàn)M=t，當(dāng)時，S=SFMN=tt=t2。如圖，當(dāng)G在AC上時，t=2，EK=ECtanDCB= ，F(xiàn)K=2EK=1。NL=，F(xiàn)L=t，當(dāng)時，S=SFMNSFKL=t2（t）（1）=。如圖，當(dāng)G在CD上時，BC：CH=BG：DH，即BC：4=2：3，解得：BC=，EC=4t=BC2=。t=。BN=BC=（6t）=3t，GN=GBBN=t1。當(dāng)時，S=S梯形GNMFSFKL=2（t1+t）（t）（1）=。如圖，當(dāng)時，BL=BC=（6t），EK=EC=（4t），BN=BC=（6t）EM=EC=（4t），S=S梯形MNLK=S梯形BEKLS梯形BEMN=。綜上所述：。9. （2012安徽省12分）如圖1，在ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，BDG與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.（1）求線段BG的長；（2）求證：DG平分EDF;（3）連接CG，如圖2，若BDG與DFG相似，求證：BGCG.【答案】解：（1）D、C、F分別是ABC三邊中點，DEAB，DFAC。又BDG與四邊形ACDG周長相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，BG=AC+AG。BG=ABAG，BG=。（2）證明：BG=，F(xiàn)G=BGBF=，F(xiàn)G=DF。FDG=FGD。又DEAB，EDG=FGD。FDG=EDG。DG平分EDF。（3）在DFG中，F(xiàn)DG=FGD，DFG是等腰三角形。BDG與DFG相似，BDG是等腰三角形。B=BGD。BD=DG。CD= BD=DG。B、G、C三點共圓。BGC=90。BGCG?！究键c】三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理?！痉治觥浚?）由BDG與四邊形ACDG的周長相等與D、E、F分別為三邊的中點，易得BG=AC+AG，又由BG=ABAG即可得BG=。（2）由點D、F分別是BC、AB的中點，利用三角形中位線的性質(zhì)，易得DF=FG，又由DEAB，即可求得FDG=EDG。（3）由BDG與DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三點在以BC為直徑的圓周上，由圓周角定理，即可得BGC。10. （2012安徽省14分）如圖，排球運動員站在點O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m。（1）當(dāng)h=2.6時，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）（2）當(dāng)h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；（3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍?！敬鸢浮拷猓海?）把x=0，y=,及h=2.6代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h，即2=a(06)2+2.6， 當(dāng)h=2.6時， y與x的關(guān)系式為y= (x6)2+2.6（2）當(dāng)h=2.6時，y= (x6)2+2.6當(dāng)x=9時，y= (96)2+2.6=2.452.43，球能越過網(wǎng)。當(dāng)y=0時，即 (18x)2+2.6=0，解得x=18，球會過界。（3）把x=0,y=2,代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h得。x=9時，y= (96)2+h2.43 x=18時，y= (186)2+h=0 由 解得h。若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界， h的取值范圍為h?！究键c】二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用?！痉治觥浚?）利用h=2.6，將（0，2）點，代入解析式求出即可。（2）利用h=2.6，當(dāng)x=9時，y= (96)2+2.6=2.45與球網(wǎng)高度比較；當(dāng)y=0時，解出x值與球場的邊界距離比較，即可得出結(jié)論。（3）根據(jù)球經(jīng)過點（0，2）點，得到a與h的關(guān)系式。由x=9時球一定能越過球網(wǎng)得到y(tǒng)2.43；由x=18時球不出邊界得到y(tǒng)0。分別得出h的取值范圍，即可得出答案。11. （2012山西省12分）問題情境：將一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按圖1所示的方式擺放，其中ACB=90，CA=CB，F(xiàn)DE=90，O是AB的中點，點D與點O重合，DFAC于點M，DEBC于點N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由探究展示：小宇同學(xué)展示出如下正確的解法：解：OM=ON，證明如下：連接CO，則CO是AB邊上中線，CA=CB，CO是ACB的角平分線（依據(jù)1）OMAC，ONBC，OM=ON（依據(jù)2）反思交流：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1： 依據(jù)2： （2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程拓展延伸：（3）將圖1中的RtDEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程【答案】（1）解：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）；角平分線上的點到角的兩邊距離相等。（2）證明：CA=CB，A=B。O是AB的中點，OA=OB。DFAC，DEBC，AMO=BNO=90。在OMA和ONB中，A=B，OA=OB，AMO=BNO，OMAONB（AAS）。OM=ON。（3）解：OM=ON，OMON。理由如下：連接CO，則CO是AB邊上的中線。ACB=90，OC=AB=OB。又CA=CB，CAB=B=45，1=2=45，AOC=BOC=90。2=B。BNDE，BND=90。又B=45，3=45。3=B。DN=NB。ACB=90，NCM=90。又BNDE，DNC=90。四邊形DMCN是矩形。DN=MC。MC=NB。MOCNOB（SAS）。OM=ON，MOC=NOB。MOCCON=NOBCON，即MON=BOC=90。OMON?！究键c】等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)等腰三角形和角平分線的性質(zhì)直接作答。（2）利用AAS證明OMAONB即可。（3）利用SAS證明MOCNOB即可得到OM=ON，MOC=NOB。通過角的等量代換即可得MON=BOC=90，而得到OMON。12. （2012山西省14分）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及BD兩點的坐標(biāo)；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線lAC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點AP、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出M點的坐標(biāo)【答案】解：（1）當(dāng)y=0時，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3。 點A在點B的左側(cè)，AB的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0）。當(dāng)x=0時，y=3。C點的坐標(biāo)為（0，3）。設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1（k10），則，解得。直線AC的解析式為y=3x+3。y=x2+2x+3=（x1）2+4，頂點D的坐標(biāo)為（1，4）。（2）拋物線上有三個這樣的點Q。如圖，當(dāng)點Q在Q1位置時，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點Q1的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)點Q在點Q2位置時，點Q2的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點Q2坐標(biāo)為（1+，3）；當(dāng)點Q在Q3位置時，點Q3的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線解析式可得，點Q3的坐標(biāo)為（1，3）。綜上可得滿足題意的點Q有三個，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3）。（3）點B作BBAC于點F，使BF=BF，則B為點B關(guān)于直線AC 的對稱點連接BD交直線AC與點M，則點M為所求。過點B作BEx軸于點E。1和2都是3的余角，1=2。RtAOCRtAFB。由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4。，解得。BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，。BE=，BE=。OE=BEOB=3=B點的坐標(biāo)為（，）。設(shè)直線BD的解析式為y=k2x+b2（k20），則，解得。直線BD的解析式為：。聯(lián)立BD與AC的直線解析式可得：，解得。M點的坐標(biāo)為（）。【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解二元一次方程組?！痉治觥浚?）根據(jù)點在曲線上，點的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，由拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點可求得AB兩點的坐標(biāo)，同樣，由由拋物線y=x2+2x+3與y軸交于點C可求得C點的坐標(biāo)。用待定系數(shù)法，可求得直線AC的解析式。由y=x2+2x+3=（x1）2+4可求得頂點D的坐標(biāo)。（2）由于點P 在x軸上運動，故由平行四邊形對邊平行的性質(zhì)求得點Q的坐標(biāo)。 （3）點B作BBAC于點F，使BF=BF，則B為點B關(guān)于直線AC 的對稱點連接BD交直線AC與點M，則根據(jù)軸對稱和三角形三邊關(guān)系，知點M為所求。 因此，由勾股定理求得AC=，AB=4。由RtAOCRtAFB求得，從而得到BB=2BF=。由RtAOCRtBEB得到BE=，BE= ，OE=BEOB=3=，從而得到點B的坐標(biāo)。用待定系數(shù)法求出線BD的解析式，與直線AC的解析式即可求得點M的坐標(biāo)。13. （2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把B、D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：ANDCBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。 DAC=BCA。 又由翻折的性質(zhì)，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。 ANDCBM（ASA）。（2）證明：ANDCBM，DN=BM。 又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM， FN=EM。 又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC， FNEM。四邊形MFNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得CEM=B=900，在EMF中，F(xiàn)EMEFM。FMEM。四邊形MFNE不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。 設(shè)DN=x，則由SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得x=，即DN=BM=。過點N作NHAB于H，則HM=43=1。在NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=。PQMN，DCAB，四邊形NMQP是平行四邊形。NP=MQ，PQ= NM=。又PQ=CQ，CQ=。在CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。NP=MQ=。PC=4=2。【考點】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。【分析】（1）由矩形和翻折對稱的性質(zhì)，用ASA即可得到ANDCBM。 （2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。 （3）設(shè)DN=x，則由SADC=SANDSNAC可得DN=BM=。過點N作NHAB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在CBQ中，應(yīng)用勾股定理求得BQ=1。從而求解。14.（2012海南省13分）如圖，頂點為P（4，4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0，0），點A在該圖象上，OA交其對稱軸于點M，點M、N關(guān)于點P對稱，連接AN、ON（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式.（2）若點A的坐標(biāo)是（6，3），求ANO的面積.（3）當(dāng)點A在對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動，請解答下列問題：證明：ANM=ONMANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標(biāo)，如果不能，請說明理由.【答案】解：（1）二次函數(shù)圖象的頂點為P（4，4），設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為。 又二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0，0），解得。 二次函數(shù)的關(guān)系式為，即。 （2）設(shè)直線OA的解析式為，將A（6，3）代入得，解得。 直線OA的解析式為。 把代入得。M（4，2）。又點M、N關(guān)于點P對稱，N（4，6），MN=4。 （3）證明：過點A作AH于點H，與x軸交于點D。則 設(shè)A（）,則直線OA的解析式為。則M（），N（），H（）。OD=4，ND=，HA=，NH=。ANM=ONM。能。理由如下：分三種情況討論：情況1，若ONA是直角，由，得ANM=ONM=450，AHN是等腰直角三角形。HA=NH，即。整理，得，解得。此時，點A與點P重合。故此時不存在點A，使ONA是直角。情況2，若AON是直角，則。 ，。整理，得，解得，。舍去，（在左側(cè)）。當(dāng)時，。此時存在點A（），使AON是直角。情況3，若NAO是直角，則AMNDMODON，。OD=4，MD=，ND=，。整理，得，解得。此時，點A與點P重合。故此時不存在點A，使ONA是直角。綜上所述，當(dāng)點A在對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，存在點A（），使AON是直角，即ANO為直角三角形?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥浚?）由二次函數(shù)圖象的頂點為P（4，4）和經(jīng)過原點，設(shè)頂點式關(guān)系式，用待定系數(shù)法即可求。 （2）求出直線OA的解析式，從而得到點M的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性點N坐標(biāo)，從而求得MN的長，從而求得ANO的面積。 （3）根據(jù)正切函數(shù)定義，分別求出ANM和ONM即可證明。 分ONA是直角，AON是直角，NAO是直角三種情況討論即可得出結(jié)論。 當(dāng)AON是直角時，還可在RtOMNK中用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解： OP=PN=PM，OP= PN=4 ， =4 。 。15. （2012陜西省10分）如果一條拋物線與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”（1）“拋物線三角形”一定是 三角形；（2）若拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如圖，OAB是拋物線的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由【答案】解：（1）等腰。 （2）拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形， 該拋物線的頂點滿足（b0）。 b=2。 （3）存在。 如圖，作OCD與OAB關(guān)于原點O中心對稱， 則四邊形ABCD為平行四邊形。 當(dāng)OA=OB時，平行四邊形ABCD為矩形。 又AO=AB， OAB為等邊三角形。 作AEOB，垂足為E， ，即， 。 設(shè)過點O、C、D三點的拋物線，則 ，解得，。 所求拋物線的表達(dá)式為?！究键c】二次函數(shù)綜合題，新定義，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，中心對稱的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）拋物線的頂點必在拋物線與x軸兩交點連線的垂直平分線上，因此這個“拋物線三角形”一定是等腰三角形。（2）觀察拋物線的解析式，它的開口向下且經(jīng)過原點，由于b0，那么其頂點在第一象限，而這個“拋物線三角形”是等腰直角三角形，必須滿足頂點坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)相等，以此作為等量關(guān)系來列方程解出b的值。（3）由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD，那么必須滿足OA=OB，結(jié)合（1）的結(jié)論，這個“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用b表示出AE、OE的長，通過OAB這個等邊三角形來列等量關(guān)系求出b的值，進(jìn)而確定A、B的坐標(biāo)，即可確定C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求出過O、C、D的拋物線的解析式。16. （2012陜西省12分）如圖，正三角形ABC的邊長為（1）如圖，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上在正三角形ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形的邊長；（3）如圖，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由【答案】解：（1）如圖，正方形即為所求。 （2）設(shè)正方形的邊長為x ABC為正三角形，。，即。 （3）如圖，連接NE，EP，PN，則。 設(shè)正方形DEMN和正方形EFPH的邊長分別為m、n（mn），它們的面積和為S，則，。 . 。 延長PH交ND于點G，則PGND。 在中，。 ，即. 。 當(dāng)時，即時，S最小。 。 當(dāng)最大時，S最大，