（試題 試卷 真題）第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、選擇題1.1與1兩數(shù)的等比中項(xiàng)是()A1 B1C1 D.解析 設(shè)等比中項(xiàng)為x，則x2(1)(1)1，即x1.答案 C2設(shè)an是任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是()AXZ2Y BY(YX)Z(ZX)CY2XY DY(YX)X(ZX)解析(特例法)取等比數(shù)列1,2,4，令n1得X1，Y3，Z7代入驗(yàn)算，選D.答案D3已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列若a10，且2(anan2)5an1，則數(shù)列an的公比q()A2 B. C2或 D3解析2(anan2)5an1，2an2anq25anq，化簡(jiǎn)得，2q25q20，由題意知，q1.q2.答案A4在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和若a11，a2a68，則S8 ()A8 B15(1)C15(1) D15(1)解析a2a6a8，aq68，q，S815(1)答案B5已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snt5n2，則實(shí)數(shù)t的值為()A4 B5 C. D.解析a1S1t，a2S2S1t，a3S3S24t，由an是等比數(shù)列知24t，顯然t0，所以t5.答案B6在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，若a3a4a53，則sin(log3a1log3a2log3a7)的值為 ()A. B. C1 D解析因?yàn)閍3a4a53a，所以a43.log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a7log33，所以sin(log3a1log3a2log3a7).答案B二、填空題7設(shè)1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_解析設(shè)a2t，則1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，故q的最小值是.答案8在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.解析由題意知a14a116a121，解得a11，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an4n1.答案4n19設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是_解析由已知可得a1f(1)，a2f(2)f(1)22，a3f(3)f(2)f(1)f(1)33，anf(n)f(1)nn，Sn23n1n，nN*，Sn0，則Sn一定有最大值其中真命題的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))解析對(duì)于，注意到an1and是一個(gè)非零常數(shù)，因此數(shù)列是等比數(shù)列，正確對(duì)于，S1313，因此正確對(duì)于，注意到Snna1dnan(n1)ddnand，因此正確對(duì)于，Snna1d，d0時(shí)，Sn不存在最大值，因此不正確綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是.答案三、解答題11已知等比數(shù)列an中，a1，公比q.(1)Sn為an的前n項(xiàng)和，證明：Sn；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解 (1)證明因?yàn)閍nn1，Sn，所以Sn.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).所以bn的通項(xiàng)公式為bn.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，在數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(1)證明anSnn，an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首項(xiàng)c1a11，又a1a11.a1，c1，公比是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.當(dāng)n2時(shí)，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.13已知兩個(gè)等比數(shù)列an，bn，滿足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an唯一，求a的值解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2q)22(3q2)即q24q20，解得q12，q22.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)n1或an(2)n1.(2)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10(*)，由a0得4a24a0，故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根由數(shù)列an唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a.14數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，a1t，點(diǎn)(Sn，an1)在直線y3x1上，nN*.(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列an是等比數(shù)列(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bnlog4an1，cnanbn，Tn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求Tn.解(1)點(diǎn)(Sn，an1)在直線y3x1上，an13Sn1，an3Sn11(n1，且nN*)an1an3(SnSn1)3an，an14an(n1，nN*)，a23S113a113t1，當(dāng)