《高中物理思維方法集解》隨筆系列——高中物理習(xí)題解決的“數(shù)列法”.doc

高中物理思維方法集解隨筆系列高中物理習(xí)題解決的“數(shù)列法”山東平原一中 魏德田我們知道，按一定順序排列的一列數(shù)，叫做數(shù)列；數(shù)列中的某個數(shù)，叫做數(shù)列的一項。無論哪一種數(shù)列，都應(yīng)具有一些自身的特點和變化的規(guī)律。在高中物理解題時，我們也常會用到等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識。由此，我們把應(yīng)用數(shù)列知識解決物理問題的思維方法，稱為數(shù)列法。高中物理解題中，數(shù)列知識的應(yīng)用分為：1判斷物理過程的特征；2用通項公式求未知量；3用求和公式求未知量等三個方面的問題。一般地，按一定規(guī)律變化的多個子過程問題，大都具有類似性、反復(fù)性的特點。隨著子過程過程的反復(fù)進行，某個物理變量即可逐步生成幾個形式類似、而內(nèi)涵（如大小、正負(fù)、冪次等）卻不同的表達式，由此得某種數(shù)列的前幾項，應(yīng)用歸納法（或遞推原理），把這幾項“融合”在一起，從而求出數(shù)列的通項公式，以描述對應(yīng)物理量的變化規(guī)律(這是解題的關(guān)鍵)。因此，我們即可用數(shù)列的通項公式求出某一項。若欲求數(shù)列前項之和，則常用對應(yīng)的求和公式來解決。解答此類問題的基本思路： 先逐個分析多過程初期的幾個子過程，分別找出數(shù)列的前幾項； 再利用歸納法找出數(shù)列的通項公式； 最后整體分析物理過程，應(yīng)用數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題。 無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用。等差數(shù)列前n項之和，d為公差。等比數(shù)列前n項之和：，q為公比。下面，主要針對上述2、3兩方面的問題，分別討論數(shù)列知識在高考物理解題中的應(yīng)用。【例題解析】數(shù)列法是解決物體與物體發(fā)生多次作用后的情況。 即當(dāng)問題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時，應(yīng)根據(jù)題目特點應(yīng)用數(shù)學(xué)思想將所研究的問題歸類，然后求出通項表達式。 具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結(jié)論。 再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)列知識求解。 用數(shù)列法解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推式。一用通項表達式求未知量某些物理狀態(tài)或過程必須借助于數(shù)列知識，才能全面的描述其狀態(tài)及其變化特征。此類問題，要求我們能夠根據(jù)初始條件，以數(shù)學(xué)歸納法來（遞推規(guī)律），求出某個物理量的通項表達式。【例題1】質(zhì)點以加速度a從靜止出發(fā)做直線運動，在某時刻t ，加速度變?yōu)?a ；在時刻2t ，加速度變?yōu)?a ； ；在nt時刻，加速度變?yōu)?n + 1) a ，求： （1）nt時刻質(zhì)點的速度； （2）nt時間內(nèi)通過的總路程。【解析】根據(jù)數(shù)列法的思想，從特殊到一般找到規(guī)律，然后求解。 （1）物質(zhì)在某時刻t末的速度為vt = at2t末的速度為v2t = vt + 2at 即v2t = at + 2at3t末的速度為v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at由此可得，通項表達式則nt末的速度為vnt = v(n)t + nat = at + 2at + 3at + + nat = at (1 + 2 + 3 + + n) = at(n + 1)n =n (n + 1)at （2）同理：可推得nt內(nèi)通過的總路程s =n (n + 1)(2n + 1)at2【點撥】顯然，此例先“從特殊到一般找到規(guī)律”，由速度公式布列各式，比較、歸納出通項表達式，再用等差數(shù)列求和知識解決。【例題2】線段AB長S，均分為n等分，一質(zhì)點由A出發(fā)，以加速度a向B作勻加速運動，當(dāng)質(zhì)點到達每一等分的末端時，它的加速度增加了a/n，試證質(zhì)點到B點時的速度是。【解析】這是一道數(shù)學(xué)上有規(guī)律而物理上幾乎無法完全歸納的問題，可只要發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的規(guī)律，而在物理上對其過程并不沒有必要作很深的探討。應(yīng)用勻變速運動的速度-位移的關(guān)系式，分別對每段等分位移列出下面的表達式。再把以上各式左右相加,可得顯然，。代入上式可得相同的結(jié)果 【點撥】此例用位移-速度的關(guān)系式，分別列出每一等份位移的方程，然后相加，即獲得一等比數(shù)列，再用等比數(shù)列求和公式解決。由此可知，解決數(shù)列問題，并不是每題非得求出通項式表達式不可?！纠}3】（10北京）雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大?，F(xiàn)將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始質(zhì)量為，初速度為，下降距離后于靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)椤４撕竺拷?jīng)過同樣的距離后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次為、（設(shè)各質(zhì)量為已知量）。不計空氣阻力。若考慮重力的影響，求（1）第次碰撞前、后雨滴的速度和；（2）求第次碰撞后雨滴的動能?！窘馕觥浚?）若考慮重力的影響，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運動，碰撞瞬間動量守恒第1次碰撞前 ，第1次碰撞后 ， （2）第2次碰撞 利用式化簡得 第2次碰撞后，利用式得 同理，第3次碰撞后，第n次碰撞后速度為 故第次碰撞后雨滴的動能為 【點撥】應(yīng)注意到，第n次碰撞后的速度平方式也是某一數(shù)列的通項表達式。圖742【例題4】如圖742所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B ，在x軸下方有沿y軸負(fù)方向的勻強電場，場強為E 。一質(zhì)量為m ，電量為q的粒子從坐標(biāo)原點O沿著y軸方向射出。 射出之后，第三次到達x軸時，它與O點的距離為L 。 求此粒子射出時的速度v和每次到達x軸時運動的總路程s 。（重力不計）【解析】粒子進入磁場后做勻速圓周運動，經(jīng)半周后通過x軸進入電場后做勻減速直線運動，速度減為零后，又反向勻加速通過x軸進入磁場后又做勻速圓周運動，所以運動有周期性。它第3次到達x軸時距O點的距離L等于圓半徑的4倍（如圖743甲所示）粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為： 圖743所以粒子射出時的速度： 粒子做圓周運動的半周長為： 粒子以速度v進入電場后做勻減速直線運動，能深入的最大距離為y ，因為所以粒子在電場中進入一次通過的路程為：粒子第1次到達x軸時通過的路程為：粒子第2次到達x軸時，已通過的路程為： 粒子第3次到達x軸時，已通過的路程為： 粒子第4次到達x軸時，已通過的路程為：由此可得，通項表達式粒子第(2n1)次到達x軸時，已通過的路程為： 粒子第2n次到達x軸時，已通過的路程為： 應(yīng)該補充說明，上面兩式中的n=(1，2，3，)，亦即都取正整數(shù)?！军c撥】事實上這兩個結(jié)果，明眼人一看便知：分別表示為第（奇數(shù)、偶數(shù)）次到達x軸所過的路程的通項表達式，由此也可得到某種對應(yīng)的級數(shù)或數(shù)列，這里不再討論?！纠}5】(07 浙江)如圖744所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M19m的金屬球并排懸掛?，F(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成60的位置自由釋放，下擺后在最低點處與金屬球發(fā)生彈性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場。已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c處。求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45?！窘馕觥吭O(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn1（初速度），碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn、Vn。由于碰撞過程中動量守恒、碰撞前后動能相等，設(shè)速度向左，則Mm圖7-8圖744由此解得 第n次碰撞后絕緣球的動能為： E0為第1次碰撞前的動能，即初始能量。絕緣球在060與45處的勢能之比為經(jīng)n次碰撞后有： 易算出(0.81)20656，(0.81)30.531，因此，經(jīng)過3次碰撞后小于45 ?！军c撥】此例屬于碰撞中的動量與能量守恒問題，試題沒有說明磁場的阻尼作用如何產(chǎn)生，但給出了磁場，容易讓我們產(chǎn)生運用磁場的知識解決問題的錯覺。對兩個金屬球的運動過程，題中的描述并非一目了然。特別是在多次碰撞的每次碰撞過程中，絕緣球的動能損失并不是常量，因此給問題解決帶來不少困難。而這個“絕緣小球的動能損失”，可用數(shù)學(xué)歸納法來找出，其遵循的規(guī)律即通項表達式。【例題6】一列進站后的重載列車，車頭與各節(jié)車廂的質(zhì)量相等，均為m ，若一次直接起動，車頭的牽引力能帶動30節(jié)車廂，那么，利用倒退起動，該車頭能起動多少節(jié)同樣質(zhì)量的車廂？【解析】若一次直接起動，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節(jié)車廂動能都增加，若利用倒退起動，則車頭的牽引力需克服摩擦力做的總功不變，但各節(jié)車廂起動的動能則不同。首先，原來掛鉤之間是張緊的，倒退后掛鉤間存在s的寬松距離，設(shè)火車的牽引力為F ，則當(dāng)車頭起動時，有：然后，拉第一節(jié)車廂時，設(shè)列車的速度為：故有： 接下來，拉第二節(jié)車廂時設(shè)列車的速度為：故同樣可得：依次類推，拉第n節(jié)車廂時列車的速度，可得：由的條件，可得：另由題意，已知代入上式，可解得：n46。因此該車頭倒退起動時，能起動45節(jié)相同質(zhì)量的車廂?！军c撥】這里就是車頭拉上若干車廂后，“瞬時速度的平方”的某種通項表達式。【例題7】（10北京）如圖745所示，在固定光滑水平軌道上，質(zhì)量分別為、的若干個球沿直線靜止相間排列，給第1個球初能，從而引起各球的依次碰撞。定義其中第個球經(jīng)過依次碰撞后獲得的動能與之比為第1個球?qū)Φ趥€球的動能傳遞系數(shù)。圖745求：（a） （b）若、為確定的已知量。求為何值時，值最大【解析】（a）由上問中式，考慮到和得根據(jù)動能傳遞系數(shù)的定義，對于1、2兩球同理可得，球和球碰撞后，動能傳遞系數(shù)k13應(yīng)為依次類推，動能傳遞系數(shù)k1n應(yīng)為 解得 （b）將、代入式可得 為使k13最大，只需使 由 可知 【例題8】在玻爾的氫原子模型中，電子第一條軌道半徑為 ，則由此向外的第十條可能軌道半徑是多大？電子在第十條可能軌道上運動時的動能有多大？已知元電荷為，靜電力恒量為。【解析】對玻爾氫原子而言，由于原子半徑和能級均為量子化的，原子的可能半徑和對應(yīng)的能級可分別組成數(shù)列，其通項表達式為再將n=10代入上述公式，可得由庫侖定律可得。二用數(shù)列求和公式求未知量有不少復(fù)雜、困難的問題，往往需要先根據(jù)題設(shè)初始條件，借助于遞推關(guān)系，找出某個量的通項表達式，再依該式寫出相應(yīng)的數(shù)列，應(yīng)用公式解決有關(guān)物理量“求和”的問題?！纠?】用20塊質(zhì)量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊長度為L ，橫截面是邊長為h（h =）的正方形，要求此橋具有最大的跨度（即橋孔底寬），計算跨度與橋孔高度的比值?！窘馕觥繛榱耸勾畛傻膯慰讟蚱胶?，橋孔兩側(cè)應(yīng)有相同的積木塊，從上往下計算，使積木塊均能保證平衡，要滿足合力矩為零，平衡時，每塊積木塊都有最大伸出量，則單孔橋就有最大跨度，又由于每塊積木塊都有厚度，所以最大跨度與橋孔高度存在一比值。將從上到下的積木塊依次計為1 、2 、 、n ，顯然第1塊相對第2塊的最大伸出量為：x1 =第2塊相對第3塊的最大伸出量為x2（如圖746所示），則：Gx2 = (x2)G得： x2 =同理可得第3塊的最大伸出量：x3 =最后歸納得出： xn =所以總跨度： k = 2= 11.32h跨度與橋孔高的比值為：=1.258【例10】錘子打擊木樁，如果錘每次以相同的動能打擊木樁，而且每次均有80的能量傳給木樁，且木樁所受阻力Ff與插入深度x成正比，試求木樁每次打入的深度比。若第一次打擊使木樁插入了全長的1/3，那么木樁全部插入必須錘擊多少次？【解析】該題中木樁受到的阻力Ff為變力，且與位移x成正比。我們可以作出如圖577所示的Ff x圖象，用“面積法”可以求解該題。因為圖中“面積”S1、S2表示1次、2次錘子擊中木樁克服阻力做的功，等于錘傳給木樁的能量為W0。由圖可得 圖747則 。每次打入深度故木樁每次被打入的深度比為由上述比例關(guān)系，可知，最后，不難求出以下的結(jié)果（次）。【點撥】顯然，本例中應(yīng)用了相似三角形面積與對應(yīng)邊的平方成正比的幾何關(guān)系?！纠}11】(07江蘇)如圖748所示，一輕繩吊著一根粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高為H，上端套著一個細(xì)環(huán)棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg(k1)斷開輕繩，棒和環(huán)自由下落假設(shè)棒足夠長，與地面發(fā)生碰撞時觸地時間極短，無動能損失棒在整個運動過程中始終保持豎直，空氣阻力不計求：圖748 (1)棒第一次與地面碰撞后彈起上升的過程中，環(huán)的加速度(2)從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程s(3)從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止的過程中，摩擦力對環(huán)和棒做的總功W【解析】 (1)設(shè)棒第一次上升的過程中環(huán)的加速度為a環(huán)，由牛頓第二定律則有a環(huán)(k1)g，方向豎直向上(2)棒第一次落地前瞬間的速度大小為v1設(shè)棒彈起后的加速度為a棒，由牛頓第二定律有a棒(k1)g故棒第一次彈起的最大高度為待求棒運動的路程 sH2H1H(3)設(shè)棒第一次彈起經(jīng)過t1時間后與環(huán)達到共同速度v1環(huán)的速度v1v1a環(huán)t1棒的速度v1v1a棒t1由此解得：t1v1環(huán)的位移h環(huán)1v1t1a環(huán)t12H棒的位移h棒1v1t1a棒t12Hx1h環(huán)1h棒1由此解得x1在棒、環(huán)一起下落至地時，有：v22v122gh棒1由此解得v2同理，環(huán)第二次相對棒的位移為：x2h環(huán)2h棒2xn故環(huán)相對棒的總位移xx1x2xn所以，待求摩擦力對環(huán)和棒做的總功WWkmgx【提示】從優(yōu)選法角度看，此例第(3)問最好用“整體法”解決。亦即：經(jīng)過足夠長的時間棒和環(huán)最終靜止，設(shè)這一過程中它們相對滑動的總路程為l，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律有mgHmg(Hl)kmgl由此解得l故待求摩擦力對環(huán)和棒做的總功為Wkmgl【例題12】一彈性小球自4.9 m高處自由落下，當(dāng)它與水平桌面每碰撞一次后，速度減小到碰前的7/9，試計算小球從開始下落到停止運動所用的時間.每碰撞一次后所做豎直上拋運動，可分為上升和回落兩個階段，不計空氣阻力，這兩段所用時間和行程相等.【解析】小球原來距桌面高度為4.9 m，用h0表示，下落至桌面時的速度v0應(yīng)為v0=9.8 m/s.由此可解得下落時間為t0=1 s.首先用演繹法：小球第一次和桌面碰撞，那么，第一次碰撞桌面后小球的速度v1=v07/9 m/s.第一次碰撞后上升、回落需用時間2t1=2v1/g=(2v0/g)7/9=27/9 s.小球第二次和桌面碰撞，那么，第二次碰撞桌面后小球的速率v2=v17/9=(v07/9)7/9=v0(7/9)2 m/s.第二次碰撞后上升、回落需用時間2t2=2v2/g=2(7/9)2.再用歸納法：依次類推可得：小球第n次和桌面碰撞后上升，回落需用時間2tn=2(7/9) n (s)可解得小球從開始下落到經(jīng)n次碰撞后靜止所用總時間T=t2+2t1+2t2+2tn=1+27/9+2(7/9)2+2(7/9)n=1+27/9+(7/9)2+(7/9)n括號內(nèi)為等比級數(shù)求和，首項a1=7/9,公比q=7/9,由于|q|1,可解得無窮遞減等比級數(shù)的和,最后求出小球從開始下落到停止運動所用的時間為T=1+27/2=8 s.【點撥】高考壓軸題中常涉及多個物體多次相互作用的問題，求解這類題往往需要應(yīng)用數(shù)學(xué)的通項表達式或數(shù)列求和知識一對滑動摩擦力做功的總和Wfs總，s總為相對滑動的總路程對于涉及兩個對象的運動過程，規(guī)定統(tǒng)一的正方向也很重要圖749【例題13】有n塊質(zhì)量均為m ，厚度為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現(xiàn)將它們一塊一塊地疊放起來，如圖749所示，人至少做多少功？【解析】將平放在水平地面上的磚一塊一塊地疊放起來，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地計算遞推出通式計算。將第2塊磚平放在第一塊磚上人至少需克服重力做功為W2 = mgd將第3 、4 、 、n塊磚依次疊放起來，人克服重力至少所需做的功分別為：W3 = mg2dW4 = mg3dW5 = mg4dWn = mg (n1)d所以將n塊磚疊放起來，至少做的總功為W = W1 + W2 + W3 + + Wn = mgd + mg2d + mg3d + + mg (n1)d【例題14】如圖7410所示，質(zhì)量m = 2kg的平板小車，后端放有質(zhì)量M = 3kg的鐵塊，它和車之間動摩擦因數(shù) = 0.50 。開始時，車和鐵塊共同以v0 = 3m/s的速度向右在光滑水平面上前進，并使車與墻發(fā)生正碰，設(shè)碰撞時間極短，碰撞無機械能損失，且車身足圖7410夠長，使得鐵塊總不能和墻相碰，求小車走過的總路程。【解析】小車與墻撞后，應(yīng)以原速率彈回。 鐵塊由于慣性繼續(xù)沿原來方向運動，由于鐵塊和車的相互摩擦力作用，過一段時間后，它們就會相對靜止，一起以相同的速度再向右運動，然后車與墻發(fā)生第二次碰撞，碰后，又重復(fù)第一次碰后的情況。 以后車與墻就這樣一次次碰撞下去。 車每與墻碰一次，鐵塊就相對于車向前滑動一段距離，系統(tǒng)就有一部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，車每次與墻碰后，就左、右往返一次，車的總路程就是每次往返的路程之和。設(shè)每次與墻碰后的速度分別為v1 、v2 、v3 、 、vn 、車每次與墻碰后向左運動的最遠(yuǎn)距離分別為s1 、s2 、s3 、 、sn 、 。 以鐵塊運動方向為正方向，在車與墻第(n1)次碰后到發(fā)生第n次碰撞之前，對車和鐵塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律有：(Mm)vn1 = (M + m)vn所以： 由這一關(guān)系可得：一般地，有速度通項式： 由運動學(xué)公式可求出車與墻發(fā)生第n次碰撞后向左運動的最遠(yuǎn)距離為：類似地，由這一關(guān)系可遞推到：所以車運動的總路程： 因為v1 = v0 = 3m/s ，不難求出小車走過的總路程。圖7411【例題15】（08四川）如圖7411所示， 一傾角為45的斜血固定于地面，斜面頂端離地面的高度h01m，斜面底端有一垂直于斜而的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m0.09kg的小物塊（視為質(zhì)點）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)0.2。當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g10 m/s2。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？【解法一】設(shè)小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達斜面底端時速度為v。由功能關(guān)系得 以沿斜面向上為動量的正方向。由動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量 設(shè)碰撞后小物塊所能達到的最大高度為h，則 同理，有 式中，v為小物塊再次到達斜面底端時的速度，I為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量。由式得 式中 。由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數(shù)，首項為 總沖量為 由 得 代入數(shù)據(jù)得 Ns 【點撥】此例先用碰撞中的動量守恒定律以及能量守恒定律，然后用數(shù)學(xué)歸納法找出通項公式，即絕緣小球每一次碰撞前與碰撞后的動能關(guān)系，從而找到了絕緣小球每次碰后的動能與初動能的關(guān)系。然后用等比數(shù)列求和公式解決。【點撥】此例先用碰撞中的動量守恒定律以及能量守恒定律，然后用數(shù)學(xué)歸納法找出通項公式，即絕緣小球每一次碰撞前與碰撞后的動能關(guān)系，從而找到了絕緣小球每次碰后的動能與初動能的關(guān)系。然后用等比數(shù)列求和公式解決?！纠}16】使一原來不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電量為Q的導(dǎo)體大球接觸，分開之后，小球獲得電量q 。今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開有后，都給大球補充電荷，使其帶電量恢復(fù)到原來的值Q 。求小球可能獲得的最大電量。【解析】兩個孤立導(dǎo)體相互接觸，相當(dāng)于兩個對地電容并聯(lián)，設(shè)兩個導(dǎo)體球帶電Q1 、Q2 ，由于兩個導(dǎo)體球?qū)Φ仉妷合嗟?，故有，易得因此Q = k (Q1 + Q2) ，k為常量，此式表明：帶電（或不帶電）的小球跟帶電大球接觸后，小球所獲得的電量與總電量的比值不變，比值k等于第一次帶電量q與總電量Q的比值，即可改記作根據(jù)此規(guī)律就可以求出小球可能獲得的最大電量。設(shè)第1 、2 、 、n次接觸后小球所帶的電量分別為q1 、q2 、 ，