波函數(shù)和薛定諤議程.doc

第二章 波函數(shù)和薛定諤議程1一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在的狀態(tài)，其中，求：（1）粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；（2）粒子動(dòng)量的平均值。解 首先將歸一化，求歸一化系數(shù)A。（1）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)是注意到中的時(shí)間只起參數(shù)作用，對(duì)幾率分布無影響，因此可有令 代入上式得（2）動(dòng)量p的平均值的結(jié)果從物理上看是顯然的，因?yàn)閷?duì)本題說來，粒子動(dòng)量是和是的幾率是相同的。討論：一維的傅里葉變換的系數(shù)是而不是。傅里葉變換式中的t可看成參變量。因此，當(dāng)原來坐標(biāo)空間的波函數(shù)不含時(shí)間變量時(shí)，即相當(dāng)于的情況，變換式的形式保持不變。不難證明，若是歸一化的，則經(jīng)傅里葉變換得到也是歸一化的。2設(shè)在時(shí)，粒子的狀態(tài)為求粒子動(dòng)量的平均值和粒子動(dòng)能的平均值。解 方法一：根據(jù)態(tài)迭加原理和波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋。任意狀態(tài)總可以分解為單色平面波的線性和，即，展開式的系數(shù)表示粒子的動(dòng)量為p時(shí)的幾率。知道了幾率分布函數(shù)后，就可按照求平均值。在時(shí)，動(dòng)量有一定值的函數(shù)，即單色德布羅意平面波為，與的展開式比較可知，處在狀態(tài)的粒子動(dòng)量可以取，而，粒子動(dòng)量的平均值為A可由歸一化條件確定故 粒子動(dòng)能的平均值為。方法二：直接積分法根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，只有當(dāng)函數(shù)的宗量等于零時(shí)，函數(shù)方不為零，故的可能值有而 則有 及 。討論：由于單色德布羅意平面波當(dāng)時(shí)不趨于零，因此的歸一化積分是發(fā)散的，故采用動(dòng)量幾率分布的概念來求歸一化系數(shù)。本題的不是平方可積的函數(shù)，因此不能作傅氏積分展開，只能作傅氏級(jí)數(shù)展開，即這時(shí)對(duì)應(yīng)于波函數(shù)的是分立譜而不是連續(xù)譜，因此計(jì)算積分，得到函數(shù)。在連續(xù)譜函數(shù)還未熟練以前，建議教學(xué)時(shí)只引導(dǎo)學(xué)生按方法一做，在第三章函數(shù)講授后再用函數(shù)做一遍，對(duì)比一下，熟悉一下函數(shù)的運(yùn)算。3一維諧振子處在的狀態(tài)，求：（1）勢(shì)能的平均值 ；（2）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；（3）動(dòng)能的平均值 解 先檢驗(yàn)是否歸一化。是歸一化的。（1）.其中應(yīng)用 及（2）由于是平方可積的，因此可作傅氏變換求動(dòng)量幾率分布函數(shù)其中，（3）其中 由此得出結(jié)論，對(duì)于處在基態(tài)的諧振子來說，動(dòng)能的平均值和勢(shì)能的平均值相等。4求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。解 一維諧振子的波函數(shù)為式中 為厄密多項(xiàng)式。對(duì)于第一激發(fā)態(tài)故 處在第一激發(fā)態(tài)的幾率正比于欲求其最大值，必須滿足即有 討論：在處有極值，這是由于一維諧振子的波函數(shù)本來就是對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的緣故，這從物理上看是很清楚的，當(dāng)及時(shí)，幾率，故和幾率的關(guān)系大致如圖示。假如過渡到經(jīng)典情況，相當(dāng)于，這時(shí)。這在經(jīng)典力學(xué)看來是完全合理的，因?yàn)閺慕?jīng)典的觀點(diǎn)來看，諧振子處在原點(diǎn)幾率最大，因?yàn)樘幵谠c(diǎn)能量最低。5設(shè)氫原子處在的態(tài)，為玻爾半徑，求（1）r的平均值；（2）勢(shì)能的平均值；（3）動(dòng)量幾率分布函數(shù)。解 先檢驗(yàn)是否歸一化。這表明是歸一化的。（1）（2）這個(gè)結(jié)果和舊量子論中，氫原子的電子沿波爾半徑所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的庫侖能一致。（3） 選用球坐標(biāo)，且使y軸與的方向一致，則有其中令，且應(yīng)用了再令 則 6粒子在勢(shì)能為的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，證明對(duì)于能量的狀態(tài)，能量由關(guān)系式?jīng)Q定，其中 解 勢(shì)能與坐標(biāo)的關(guān)系如圖示，按值的不同可分為三個(gè)區(qū)域、和。分別應(yīng)用薛定諤方程，有：，其中： 其中： 其中：它們的解分別為，邊界條件：當(dāng)；則當(dāng)，；則連接條件（波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件）在處，在處， 在處，在處，在上面四個(gè)式子，由第一和第三式可得由第二和第四式可得而 故 其中令 于是有 由 ，得由 可得 討論：對(duì)于束縛態(tài)的問題，我們總是先按不同的要求寫出薛定諤方程，求出解。然后再利用邊界條件和波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件定解。這種方法具有一般性。把、兩區(qū)域的解寫成指數(shù)形式，是因?yàn)槟軌蚶眠吔鐥l件把兩個(gè)任何常數(shù)的問題變?yōu)橹挥幸粋€(gè)任意常數(shù)的問題。而在區(qū)域中沒有邊界條件。又因所要求的結(jié)果具反三角函數(shù)的形式，因此把的解寫成三角函數(shù)的形式。原則上，寫面指數(shù)或三角函數(shù)形式是任意的，若選擇得當(dāng)，往往可使問題的求解較為簡(jiǎn)捷。7粒子處在勢(shì)能為的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求在能量小于的情況下決定粒子能量的關(guān)系式。解 對(duì)區(qū)域、分別有：其解分別為邊界條件：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；于是連接條件：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，上列四式可重寫為齊次方程式為下：這個(gè)方程組要得到非零解，必須其系數(shù)行列式為零，故有解之得它與 三式?jīng)Q定粒子的能量。8求三維諧振子的能級(jí)，并討論它的簡(jiǎn)并情形。解 三維諧振子的哈密頓為其中 如果哈密頓可以分離變量，就必然有及 因此可以設(shè)定薛定諤方程 的解為且 則有 兩邊均除以得：要上式兩邊相等，必須今、三份分別相等，亦即故有 它們分別為沿、方向的線諧振子方程，它們的能量分別為因此三維諧振子的能量為其中 為正整數(shù)。由N確定后，由于可以有不同的組合，因此就對(duì)應(yīng)于不同的狀態(tài)，這就是簡(jiǎn)并。簡(jiǎn)并的重?cái)?shù)可以決定如下：當(dāng)時(shí)，可取，故有個(gè)可能值。當(dāng)時(shí)，可取，有個(gè)可能值。當(dāng)時(shí)，只能取0，即只有一個(gè)可能值。當(dāng)和都確定后，由于的限制，也確定了，因此并不增加不同組合的數(shù)目。故N確定以后，、的可能組合數(shù)目，即簡(jiǎn)并重?cái)?shù)為討論：若哈密頓本身可以分離變量，總可以有及。這個(gè)結(jié)論是具有普遍性的。只要注意到我們?cè)谧C明這個(gè)結(jié)論時(shí)并沒有涉及諧振子的哈密頓的具體形式，就能夠看出這一點(diǎn)。以上討論假定了諧振子在三個(gè)方向的頻率相同。一般地說，各方向的頻率是可以不同的，對(duì)此，我們也可以用完全類似的方法來討論。9一粒子在三維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能量和波函數(shù)。解 我們先來證明一個(gè)一般的結(jié)論：若哈密頓可寫成、之和，即則所對(duì)應(yīng)的本征能量為波函數(shù)為 其中、；、分別滿足一維薛定諤方程（1）（2）（3）把上面三式寫成（1）（2）（3）（1）式乘；（2）式乘；（3）式乘；然后三式相加得到：即 這就是我們所要證明的結(jié)論。于是我們就把一個(gè)解三維的薛定諤方程的問題歸結(jié)為求解三個(gè)一維薛定諤方程的問題。只要求得、和以有、和，就不難求出和。對(duì)于方向的薛定諤方程（1），相當(dāng)于求解一維無限深勢(shì)阱下粒子的能量和波函數(shù)。利用教材10的結(jié)論，把（1026）、（1027）和（1028）式中的用a來代替，可得到 （n是整數(shù)）對(duì)于y方向的薛定諤方程（2），同理有 （m是整數(shù)）對(duì)于方向的薛定諤方程，由于，這表明粒子在方向可以自由運(yùn)動(dòng)，其解為平面波解，即有 是連續(xù)譜因此 則有下列幾種可能 當(dāng)，時(shí)討論：若勢(shì)阱寬度仍為a和b，但區(qū)間是由，不難證明，這時(shí)E仍如上式所示，但波函數(shù)只有一種，為式中 、均為整數(shù)。10設(shè)在附近運(yùn)動(dòng)的粒子受到彈性力作用，相應(yīng)的勢(shì)能是，已知滿足對(duì)應(yīng)于這個(gè)勢(shì)能的薛定諤方程的波函數(shù)是，其中 ；是n級(jí)厄密多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，；（1）試由薛定諤方程計(jì)算相應(yīng)于本征函數(shù)的本征能量；（2）利用公式 求 時(shí)的平均勢(shì)能（3）求時(shí)的平均動(dòng)能。解 （1）本征能量由定態(tài)薛定諤方程決定。（a）求：有而 代入薛定諤方程得（b） 故 （c）（d） 同理可得 依此類推可得： （2）求平均勢(shì)能 （a）時(shí)，（b），（c），（d） （3）求平均動(dòng)能（a）（b）（c）（d）討論：通過本題可以看到，只要已知本征波函數(shù)和體系的哈密頓算符的形式，要求體系對(duì)應(yīng)于這些本征函數(shù)的本征能量，只需代入薛定諤方程通過微分運(yùn)算求出。因此解薛定諤方程 求本征函數(shù)和本征能量E的困難，事實(shí)上何求本征函數(shù)上。一旦已知本征函數(shù)，本征能量就容易求出了。事實(shí)上，受到彈性力作用的體系，相當(dāng)于一維諧振子，本征函數(shù)就是諧振子的本征函數(shù)，這只須取就可看出。因此算出的能量自然就是諧振子的本征能量，這和我們直接運(yùn)算得出的結(jié)果一致。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于在彈性力作用的體系（一維諧振子）算出的勢(shì)能平均值總是等于總能量的一半，不管處在哪個(gè)能級(jí)，都有相同的結(jié)論，即這從物理上看顯然是非常合理的。11粒子在勢(shì)能的捧力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求能量，的情況下，粒子的能量和狀態(tài)。解 徑向方程為當(dāng)時(shí)，方程簡(jiǎn)化為在處，波函數(shù)為，則有令 ，則方程變?yōu)榧从?其中 在處，令，則有其中 解上面兩個(gè)方程得，故邊界條件：當(dāng)時(shí)，為有限，故于是 當(dāng)時(shí)，為有限，故于是 連接條件：當(dāng)時(shí)，于是 ，故解上面兩式消去和得故得 此外，再注意到 從上面兩式用圖解法求出和，從而確定粒子的能量。由 及波函數(shù)的歸一化條件可以確定和，從而粒子狀態(tài)的波函數(shù)就可以確定。12粒子在半徑為a，高為d的圓筒中運(yùn)動(dòng)，在筒內(nèi)的勢(shì)能為零，在筒壁和筒外勢(shì)能為無限大，求證：（1）粒子的波函數(shù)是其中是柱面坐標(biāo)，為m階貝塞爾函數(shù)的第個(gè)根。（2）粒子的能量是解 筒外勢(shì)能為無限大，故粒子在筒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程用圓柱坐標(biāo)表示為：用分離變量法，設(shè) 代入上式，可以得到則有 上面第一式的解為，其中利用邊界條件：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因而 再令 代入上面的第二式，可再分離變量得這第一式的解為其中 現(xiàn)在令 于是第二式改寫為這是一個(gè)m階貝塞爾方程，其解為當(dāng)時(shí)，諾意曼函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，故令為m階貝塞爾函數(shù)的第t個(gè)根，則有綜合上面幾個(gè)式子，得到粒子的波函數(shù)為其中C可由歸一化條件決定。粒子的能量為13設(shè)粒子在一維無限深阱中運(yùn)動(dòng)，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，求粒子能量的可能值和相應(yīng)的幾率。解 一給無限深勢(shì)阱式中a為勢(shì)阱寬度。粒子具有一定能量的狀態(tài)為本征態(tài)，它滿足本征方程粒子在阱內(nèi)時(shí)有 代入本征方程得 其解為 能量為 任意狀態(tài)，可視為一系列本征態(tài)的線性迭加，亦即只要求出各個(gè)，就可以求出能量的各個(gè)可能值及相應(yīng)的幾率。方法一：本題的較簡(jiǎn)單，容易化為若干正弦函數(shù)的迭加故 ，能量可能值，能量可能值方法二：一般方法因?yàn)?由于三角函數(shù)的正交性故 即得 及討論：比較上面兩種方法可以看出，如果比較簡(jiǎn)單，能夠較容易地把它展開為本征函數(shù)的組合時(shí)，就可以不必利用比較麻煩的積分方法求，但方法一只有在特殊情況下才能使用。14在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和