矩陣的秩1.doc

5. 矩陣的秩矩陣的秩是一個很重要的概念，在研究線性方程組的解等方面起著非常重要的作用。定義1. 在矩陣中任取行列，由位于這些行、列相交處的元素按原來的次序構成的階行列式，稱為的一個階子式，記作。共有個。例如 有4個三階子式，18個二階子式。定義2. 若矩陣中不等于0的子式的最高階數(shù)是，則稱為矩陣的秩，記作。由此及行列式的性質可得到結論：1. ；2. 對于，有；3. 若，則中至少有一個，而所有的.定義3. 設，若，則稱為滿秩方陣；若 ， 則稱為降秩方陣。推論： 為滿秩方陣 。由此可知，可逆 為滿秩方陣。例1. 求下列矩陣的秩，解： ，而的所有三階子式（4個），所以 滿秩。6.矩陣的初等變換本節(jié)介紹矩陣的初等變換，它是求矩陣的逆和秩的有利工具。一、矩陣的初等變換與初等矩陣在利用行列式的性質計算行列式時，我們對其行（列）作過三種變換“初等變換”。定義1. 對矩陣的行施以下述三種變換，稱為矩陣的行初等變換：（1） 列初等變換（2） （3） 矩陣的行初等變換與列初等變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。定義2. 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換而得到的矩陣稱為初等矩陣，也有三種：（1） 或 ， 得，例 （2） 或 ， 得，例 （3） 或 ， 得，例 且都是可逆的，其逆矩陣仍為初等矩陣：，二、 利用初等變換求逆矩陣先介紹矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系。定理1.（1） 交換的兩行；交換的兩列 （2） 以乘的第行； 以乘的第列（3）把的第行的倍加到第行上去； 把的第列的倍加到第列上去定理2. n階可逆方陣可以經(jīng)過一系列的初等行變換化為n階單位矩陣證明： 可逆，的第一列至少有一個非0元素，于是經(jīng)過若干次初等行變換可以化為其中*表示任意數(shù)，表示階方陣。 顯然 ， 而 所以 因而的第一列至少有一個非元素，于是再對施以若干次初等行變換，又可以化為顯然，而，其中，所以 如此繼續(xù)，經(jīng)過一系列的初等行變換，最終得到單位矩陣，即 證畢。由定理1和定理2 立即推得：推論1. 可逆 存在初等矩陣，使得用右乘式兩端，得比較、兩式可見：若經(jīng)過一系列的初等行變換后，化為，則經(jīng)過同樣的初等行變換化為，從而使我們得到一種有效的求逆矩陣的方法：推論2. 其中、 表示的矩陣。例1. 設 . 用初等變換法求.解: 所以 例2. 設 ，試用初等變換法求.解:所以 例3 判斷方陣是否可逆。若可逆，求解：因為，所以，故不可逆，即不存在。注：此例說明，從用初等變換求逆矩陣的過程中，即可看出逆矩陣是否存在，而不必先去判斷。例4 解矩陣方程，其中，.解： 三、利用初等變換求矩陣的秩定理3. 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩（證略）。利用定理3可以簡化求秩的計算，其常用的方法有：1 只用初等行變換，可把變成上階梯形矩陣。例5 求 其中 解：（上階梯形），有此可看出 。2進一步，在進行列初等變換，可化為標準型。例5中，的特點：左上角為一個階單位矩陣，其它元素為0。在具體的解題過程中，如果經(jīng)過幾次初等變換后即可看出的秩時，就不必再繼續(xù)將化為階梯形。例6 求， 其中 解： 至此，易知 所以 ， 不是階梯矩陣。思考題：試分析以下給出的解答的錯誤，并給出正確的解答。已知 ， 求錯誤解答: 即 錯誤原因: 沒有注意到利用來求時,要使用初等行變換才可以。而在解法中第1、3步卻使用了列變