湖北省荊州市沙市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義課件 新人教版選修11.ppt

3 2導(dǎo)數(shù)的幾何意義 高二數(shù)學(xué)選修1 1 一 復(fù)習(xí) 1 導(dǎo)數(shù)的定義 其中 其幾何意義是表示曲線上兩點(diǎn)連線 就是曲線的割線 的斜率 其幾何意義是 2 切線 能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線 直線與曲線有唯一公共點(diǎn)時(shí) 直線叫曲線過該點(diǎn)的切線 如果能 請(qǐng)說明理由 如果不能 請(qǐng)舉出反例 不能 直線與圓相切時(shí) 只有一個(gè)交點(diǎn)p p q o x y y f x 割線 切線 t 1 曲線上一點(diǎn)的切線的定義 結(jié)論 當(dāng)q點(diǎn)無限逼近p點(diǎn)時(shí) 此時(shí)直線pq就是p點(diǎn)處的切線pt 點(diǎn)p處的割線與切線存在什么關(guān)系 新授 設(shè)曲線c是函數(shù)y f x 的圖象 在曲線c上取一點(diǎn)p x0 y0 及鄰近一 點(diǎn)q x0 x y0 y 過p q兩點(diǎn)作割 線 當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線無限接近于點(diǎn)p 點(diǎn)p處的切線 即 x 0時(shí) 如果割線pq有一個(gè)極 限位置pt 那么直線pt叫做曲線在 曲線在某一點(diǎn)處的切線的定義 t 此處切線定義與以前的定義有何不同 x y o p q m 為什么與拋物線對(duì)稱軸平行的直線不是拋物線的切線 思考 p pn 割線 切線 t 當(dāng)點(diǎn)pn沿著曲線無限接近點(diǎn)p即 x 0時(shí) 割線ppn趨近于確定的位置 這個(gè)確定位置的直線pt稱為點(diǎn)p處的切線 圓的切線定義并不適用于一般的曲線 通過逼近的方法 將割線趨于的確定位置的直線定義為切線 交點(diǎn)可能不惟一 適用于各種曲線 所以 這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì) m x y 割線與切線的斜率有何關(guān)系呢 即 當(dāng) x 0時(shí) 割線pq的斜率的極限 就是曲線在點(diǎn)p處的切線的斜率 q2 q3 q4 t 繼續(xù)觀察圖像的運(yùn)動(dòng)過程 還有什么發(fā)現(xiàn) 當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線無限接近點(diǎn)p即 x 0時(shí) 割線pq有一個(gè)極限位置pt 則我們把直線pt稱為曲線在點(diǎn)p處的切線 設(shè)切線的傾斜角為 那么當(dāng) x 0時(shí) 割線pq的斜率 稱為曲線在點(diǎn)p處的切線的斜率 即 這個(gè)概念 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法 切線斜率的本質(zhì) 函數(shù)平均變化率的極限 要注意 曲線在某點(diǎn)處的切線 1 與該點(diǎn)的位置有關(guān) 2 要根據(jù)割線是否有極限來判斷與求解 如有極限 則在此點(diǎn)有切線 且切線是唯一的 如不存在 則在此點(diǎn)處無切線 3 曲線的切線 并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn) 可以有多個(gè) 甚至可以無窮多個(gè) 函數(shù)y f x 在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 就是曲線y f x 在點(diǎn)p x0 f x0 處的切線的斜率 即曲線y f x 在點(diǎn)p x0 f x0 處的切線的斜率是 故曲線y f x 在點(diǎn)p x0 f x0 處的切線方程是 題型三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 例1 1 求函數(shù)y 3x2在點(diǎn) 1 3 處的導(dǎo)數(shù) 2 求曲線y f x x2 1在點(diǎn)p 1 2 處的切線方程 題型三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 例2 如圖 已知曲線 求 1 點(diǎn)p處的切線的斜率 2 點(diǎn)p處的切線方程 即點(diǎn)p處的切線的斜率等于4 2 在點(diǎn)p處的切線方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 練 設(shè)f x 為可導(dǎo)函數(shù) 且滿足條件 求曲線y f x 在點(diǎn) 1 f 1 處的切線的斜率 故所求的斜率為 2 題型三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 h t o 3 判斷曲線y 2x2在點(diǎn)p 1 2 處是否有切線 如果有 求出切線的方程 1 設(shè)函數(shù)y f x 當(dāng)自變量由xo改變到xo x時(shí) 函數(shù)的改變量 y a f xo x b f xo f x c f xo xd f xo x f xo 2 已知曲線y x2 2上a b兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是xo和xo x 則過a b兩點(diǎn)的直線斜率是 模式練習(xí) 二 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系 1 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限 它是一個(gè)常數(shù) 不是變數(shù) 2 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的 就是函數(shù)f x 的導(dǎo)函數(shù)3 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值 這也是求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一 課堂練習(xí) 如圖 見課本p80 a6 已知函數(shù)的圖像 試畫出其導(dǎo)函數(shù)圖像的大致形狀 p80