湖南省高中數(shù)學 5.3等比數(shù)列及其前n項和配套課件 理 新人教A版 .ppt

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和 三年18考高考指數(shù) 1 理解等比數(shù)列的概念 2 掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 3 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系 并能用等比數(shù)列有關知識解決相應的問題 4 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系 1 在考試內(nèi)容上常以等比數(shù)列的定義及等比中項為背景 考查等比數(shù)列的判定 重點考查通項公式 前n項和公式 同時考查等差 等比數(shù)列的綜合應用 2 在考試形式上主要以選擇 填空為主 考查等比數(shù)列的性質(zhì)及其應用 1 等比數(shù)列的定義 1 條件 一個數(shù)列從第2項起 等于同一個常數(shù) 2 公比 是指 通常用字母q表示 q 0 3 定義表達式 每一項與它的前一項的比 常數(shù) 即時應用 判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列 請在括號中填 是 或 否 1 數(shù)列1 1 1 1 1 2 數(shù)列a a a a a 3 數(shù)列 an 滿足an 2an 1 n 2 n n an 0 4 數(shù)列 an 滿足an 1 2an n 2 n n an 0 解析 1 是等比數(shù)列 2 當a 0時 不是等比數(shù)列 3 符合等比數(shù)列的定義 是等比數(shù)列 4 a2與a1的關系不明確 不一定是等比數(shù)列 答案 1 是 2 否 3 是 4 否 2 等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列 an 的首項是a1 公比是q 則其通項公式為 an a1qn 1 n n 即時應用 1 等比數(shù)列的第11項為 2 在等比數(shù)列 an 中 若a3 2 a6 16 則數(shù)列的通項公式為 解析 1 2 設等比數(shù)列的公比為q 則答案 1 2 an 2n 2 3 等比中項如果 成等比數(shù)列 那么g叫做a與b的等比中項 即 g是a與b的等比中項 a g b成等比數(shù)列 a g b g2 a b 即時應用 1 b2 ac是a b c成等比數(shù)列的 條件 2 若等比數(shù)列 an 的前三項依次為a 1 a 1 a 4 則它的第5項為 解析 1 當a 0 b 0 c 1時 滿足b2 ac 但a b c不成等比數(shù)列 反之 若a b c成等比數(shù)列 則必有b2 ac 故b2 ac是a b c成等比數(shù)列的必要不充分條件 2 由題意知 a 1 2 a 1 a 4 解得a 5 a1 4 答案 1 必要不充分 2 4 等比數(shù)列的前n項和公式 1 當公比q 1時 sn 2 當公比q 1時 sn na1 即時應用 1 在等比數(shù)列 an 中 a1 2 4 q 1 5 n 5 則sn 2 在等比數(shù)列 an 中 a1 8 則sn 3 設等比數(shù)列 an 的公比q 2 前n項和為sn 則 解析 1 2 3 答案 等比數(shù)列的基本運算 方法點睛 1 等比數(shù)列運算的通法等比數(shù)列運算問題的一般方法是設出首項和公比 然后根據(jù)通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程組求解 2 等比數(shù)列前n項和公式的應用在使用等比數(shù)列的前n項和公式時 應首先判斷公比q能否為1 若能 應分q 1與q 1兩種情況求解 提醒 在運算過程中 應善于運用整體代換的思想簡化運算的過程 例1 1 已知 an 是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列 sn是 an 的前n項和 若a1 1 5s2 s4 則a5 2 2011 大綱版全國卷 設等比數(shù)列 an 的前n項和為sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和sn 解題指南 1 根據(jù)5s2 s4 列方程求公比q 2 建立關于a1和q的方程組 求出a1和q后再求an和sn 規(guī)范解答 1 設公比為q 則由5s2 s4知q 1 又a1 1 q2 4 又q 0 q 2 a5 a1q4 1 24 16 答案 16 2 設 an 的公比為q 由題意得解得當a1 3 q 2時 an 3 2n 1 sn 3 2n 1 當a1 2 q 3時 an 2 3n 1 sn 3n 1 互動探究 本例 2 中 若將 a2 6 6a1 a3 30 改為 a1 a2 12 a2a4 1 試求an和sn 解析 設等比數(shù)列 an 的公比為q 由題意知 當a1 9 時 當時 反思 感悟 1 本例 1 只有一解 本例 2 有兩組解 在求解過程中 要注意根據(jù)題意確定解的個數(shù) 2 等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題 數(shù)列中有五個量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 可迎刃而解 變式備選 1 已知sn為等比數(shù)列 an 的前n項和 sn 93 an 48 公比q 2 則項數(shù)n 解析 由sn 93 an 48 公比q 2 根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式和通項公式可得 2n 32 n 5 答案 5 2 已知四個實數(shù) 前三個數(shù)成等差數(shù)列 后三個數(shù)成等比數(shù)列 首末兩數(shù)之和為37 中間兩數(shù)之和為36 求這四個數(shù) 解析 方法一 設前2個數(shù)分別為a b 則第3 4個數(shù)分別為36 b 37 a 則解得所以這四個數(shù)分別為12 16 20 25或者 方法二 設第2 3個數(shù)分別為b c 則第1個數(shù)為2b c 第4個數(shù)為則所以這四個數(shù)分別為12 16 20 25或者 方法三 設第1 3個數(shù)分別為a c 則第2 4個數(shù)分別為然后根據(jù)題意可知或者從而解得這四個數(shù)分別為12 16 20 25或者 等比數(shù)列的判定與證明 方法點睛 等比數(shù)列的判定方法 1 定義法 若 q為非零常數(shù) n n 或 q為非零常數(shù)且n 2 n n 則 an 是等比數(shù)列 2 中項公式法 若數(shù)列 an 中 an 0且則數(shù)列 an 是等比數(shù)列 3 通項公式法 若數(shù)列通項公式可寫成an c qn c q均是不為0的常數(shù) n n 則 an 是等比數(shù)列 4 前n項和公式法 若數(shù)列 an 的前n項和sn k qn k k為常數(shù)且k 0 q 0 1 則 an 是等比數(shù)列 提醒 前兩種方法常用于解答題中 而后兩種方法常用于選擇 填空題中的判定 例2 設數(shù)列 an 的前n項和為sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 設bn an 1 2an 證明數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 2 在 1 的條件下證明是等差數(shù)列 并求an 解題指南 1 利用sn 1 4an 2 尋找bn與bn 1的關系 2 先求bn 再證明數(shù)列是等差數(shù)列 最后求an 規(guī)范解答 1 由a1 1 及sn 1 4an 2 有a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 b1 a2 2a1 3 由sn 1 4an 2 知當n 2時 有sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 又 bn an 1 2an bn 2bn 1 bn 是首項b1 3 公比為2的等比數(shù)列 2 由 1 可得bn an 1 2an 3 2n 1 數(shù)列是首項為公差為的等差數(shù)列 an 3n 1 2n 2 反思 感悟 在證明本題時 首先利用轉(zhuǎn)化的思想 把sn 1 4an 2轉(zhuǎn)化為an 1與an的關系 然后作商在作商時 無論使用都要考慮比值中是否包含了這一項 這是很容易被忽視的地方 變式訓練 數(shù)列 an 的前n項和為sn 若an sn n cn an 1 求證 數(shù)列 cn 是等比數(shù)列 證明 an sn n a1 s1 1 得又an 1 sn 1 n 1 2an 1 an 1 即2 an 1 1 an 1 又 數(shù)列 cn 是以為首項 以為公比的等比數(shù)列 等比數(shù)列的性質(zhì)及應用 方法點睛 等比數(shù)列的常見性質(zhì) 1 若m n p q 2k m n p q k n 則am an ap aq 2 通項公式的推廣 an am qn m m n n 3 若數(shù)列 an bn 項數(shù)相同 是等比數(shù)列 則 an an bn 0 仍然是等比數(shù)列 4 在等比數(shù)列 an 中 等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列 即an an k an 2k an 3k 為等比數(shù)列 公比為qk 5 公比不為 1的等比數(shù)列 an 的前n項和為sn 則sn s2n sn s3n s2n仍成等比數(shù)列 其公比為qn 當公比為 1時 sn s2n sn s3n s2n不一定構成等比數(shù)列 例3 1 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 則a4 a5 a6 2 已知等比數(shù)列 an 滿足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 則log2a1 log2a3 log2a2n 1等于 a n 2n 1 b n 1 2 c n2 d n 1 2 解題指南 1 利用a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9成等比數(shù)列求解 2 根據(jù)a5 a2n 5 先求an 再代入求解 規(guī)范解答 1 選a a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9成等比數(shù)列 a4 a5 a6 2 a1 a2 a3 a7 a8 a9 50 又an 0 a4 a5 a6 2 選c a5 a2n 5 且an 0 an 2n a2n 1 22n 1 log2a2n 1 2n 1 log2a1 log2a3 log2a2n 1 1 3 5 2n 1 n2 互動探究 若本例第 1 題條件改為 a1 a2 a3 40 a4 a5 a6 20 求數(shù)列 an 的前9項之和 解析 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 成等比數(shù)列 a7 a8 a9 s9 40 20 10 70 反思 感悟 1 解答本例 1 時 也可用整體代入的方法求解 但不如用等比數(shù)列的性質(zhì)簡單 2 利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題時 一定要注意每一項的下標 不要犯a2 a5 a7的錯誤 變式備選 在等比數(shù)列 an 中 an 0 若 2a4 a2 a6 a4 36 則a3 a5 解析 an 是等比數(shù)列 an 0 2a4 a2 a6 a4 a3 a5 6 答案 6 創(chuàng)新探究 等比數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合的創(chuàng)新題 典例 2011 福建高考 已知等比數(shù)列 an 的公比q 3 前3項和 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 若函數(shù)f x asin 2x a 0 0 在處取得最大值 且最大值為a3 求函數(shù)f x 的解析式 解題指南 1 先求a1 再求an 2 先求出a3 從而a可知 再根據(jù)f x 的圖象過點求 規(guī)范解答 1 由q 3 解得 2 由 1 知an 3n 2 a3 3 函數(shù)f x 的最大值為3 所以a 3 當時 f x 取得最大值 又0 函數(shù)f x 的解析式為 閱卷人點撥 通過對本題的深入研究 我們可以得到以下創(chuàng)新點撥和備考建議 1 2011 遼寧高考 若等比數(shù)列 an 滿足anan 1 16n 則公比為 a 2 b 4 c 8 d 16 解析 選b 因為等比數(shù)列 an 滿足anan 1 16n 所以an 1an 2 16n 1 得q2 16 又因為anan 1 16n 0 所以q 4 2 2012 岳陽模擬 b2 ac是a b c成等比數(shù)列的 a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充要條件 d 既不充分也不必要條件 解析 選b 因為當b2 a