初中數(shù)學(xué)競賽練習(xí)題.doc

奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)中，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，反之是奇數(shù)，偶數(shù)可用2k表示 ，奇數(shù)可用2k+1表示，這里k是整數(shù).關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：（1）奇數(shù)不會(huì)同時(shí)是偶數(shù)；兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)；（3）兩個(gè)奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù)；（4）若a、b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇數(shù)偶；（5）n個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個(gè)偶數(shù)的乘積是2n的倍數(shù)；順式中有一個(gè)是偶數(shù)，則乘積是偶數(shù).以上性質(zhì)簡單明了，解題時(shí)如果能巧妙應(yīng)用，常?？梢猿銎嬷苿?1.代數(shù)式中的奇偶問題例1（第2屆“華羅庚金杯”決賽題）下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這12個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè)偶數(shù)？+=， -=， .解 因?yàn)榧臃ê蜏p法算式中至少各有一個(gè)偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個(gè)偶數(shù)，故這12個(gè)整數(shù)中至少有六個(gè)偶數(shù).例2 （第1屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽）已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組是整數(shù)，那么（A）p、q都是偶數(shù). （B）p、q都是奇數(shù).（C）p是偶數(shù)，q是奇數(shù) （D）p是奇數(shù)，q是偶數(shù) 分析 由于1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶數(shù)，將其代入第二方程中，于是11x也為偶數(shù)，從而27y=m-11x為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，應(yīng)選（C）例3 在1，2，3，1992前面任意添上一個(gè)正號(hào)和負(fù)號(hào)，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù).分析 因?yàn)閮蓚€(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設(shè)數(shù)字前面都添上正號(hào)和負(fù)號(hào)不改變其奇偶性，而1+2+3+1992=9961993為偶數(shù) 于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶數(shù).2.與整除有關(guān)的問題例4（首屆“華羅庚金杯”決賽題）70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和，這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，.問最右邊的一個(gè)數(shù)被6除余幾？解 設(shè)70個(gè)數(shù)依次為a1,a2,a3據(jù)題意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇由此可知：當(dāng)n被3除余1時(shí)，an是偶數(shù)；當(dāng)n被3除余0時(shí)，或余2時(shí)，an是奇數(shù)，顯然a70是3k+1型偶數(shù)，所以k必須是奇數(shù)，令k=2n+1，則a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解 設(shè)十位數(shù)，五個(gè)奇數(shù)位數(shù)字之和為a，五個(gè)偶數(shù)位之和為b(10a35,10b35)，則a+b=45，又十位數(shù)能被11整除，則a-b應(yīng)為0，11，22（為什么？）.由于a+b與a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位數(shù)，妨先排出前四位數(shù)9876，由于偶數(shù)位五個(gè)數(shù)字之和是17，現(xiàn)在8+6=14，偶數(shù)位其它三個(gè)數(shù)字之和只能是17-14=3，這三個(gè)數(shù)字只能是2，1，0.故所求的十位數(shù)是9876524130.例6（1990年日本高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)a、b是自然數(shù)，且有關(guān)系式123456789=（11111+a）（11111-b）， 證明a-b是4的倍數(shù).證明 由式可知11111（a-b）=ab+4617 a0,b0,a-b0首先，易知a-b是偶數(shù)，否則11111(a-b)是奇數(shù)，從而知ab是奇數(shù)，進(jìn)而知a、b都是奇數(shù)，可知(11111+a)及(11111-b)都為偶數(shù)，這與式矛盾其次，從a-b是偶數(shù)，根據(jù)可知ab是偶數(shù)，進(jìn)而易知a、b皆為偶數(shù)，從而ab+4617是4的倍數(shù)，由知a-b是4的倍數(shù).3.圖表中奇與偶例7（第10屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）在33的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符號(hào)，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重復(fù)若干次這樣的“變號(hào)”程序后，能否從一張表變化為另一張表.解 按題設(shè)程序，這是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的22的正方形表格中，按題設(shè)程序“變號(hào)”，“+”號(hào)或者不變，或者變成兩個(gè). 表(a)中小正方形有四個(gè)“+”號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù)；但表(b)中小正方形“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個(gè)變化到另一個(gè).顯然，小正方形互變無法實(shí)現(xiàn)，33的大正方形的互變，更無法實(shí)現(xiàn).例8（第36屆美國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）將奇正數(shù)1，3，5，7排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，從左數(shù)起是第幾列？（此處無表）解 由表格可知，每行有四個(gè)正奇數(shù)，而1985=4496+1，因此1985是第497行的第一個(gè)數(shù)，又奇數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第四列，所以從左數(shù)起，1985在第二列.例9 如圖3-1，設(shè)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，一個(gè)是紅點(diǎn)，一個(gè)是綠點(diǎn)，在線段中插入n個(gè)分點(diǎn)，把AB分成n+1個(gè)不重疊的小線段，如果這些小線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)為紅點(diǎn)而另一個(gè)為綠點(diǎn)的話，則稱它為標(biāo)準(zhǔn)線段.證明 不論分點(diǎn)如何選取，標(biāo)準(zhǔn)線段的條路總是奇數(shù).分析 n個(gè)分點(diǎn)的位置無關(guān)緊要，感興趣的只是紅點(diǎn)還是綠點(diǎn)，現(xiàn)用A、B分別表示紅、綠點(diǎn)；不難看出：分點(diǎn)每改變一次字母就得到一條標(biāo)準(zhǔn)線段，并且從A點(diǎn)開始，每連續(xù)改變兩次又回到A，現(xiàn)在最后一個(gè)字母是B，故共改變了奇數(shù)次，所以標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)必為奇數(shù). 4.有趣的應(yīng)用題例 10（第2屆“從小愛數(shù)學(xué)”賽題）圖3-2是某一個(gè)淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.（1）如果P點(diǎn)在岸上，那么A點(diǎn)在岸上還是在水中？（2）某人過這湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋.如果有一點(diǎn)B，他脫鞋垢次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是個(gè)奇數(shù)，那么B點(diǎn)是在岸上還是在水中？說明理由.解 （1）連結(jié)AP，顯然與曲線的交點(diǎn)數(shù)是個(gè)奇數(shù)，因而A點(diǎn)必在水中.（2）從水中經(jīng)過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)和為2，由于 A點(diǎn)在水中，氫不管怎樣走，走在水中時(shí)，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù)，可見B點(diǎn)必在岸上.例11 書店有單價(jià)為10分，15分，25分，40分的四種賀年片，小華花了幾張一元錢，正好買了30張，其中某兩種各5張，另兩種各10張，問小華買賀年片花去多少錢？分析 設(shè)買的賀年片分別為a、b、c、d（張），用去k張1元的人民幣，依題意有10a+15b+25c+40d=100k,(k為正整數(shù))即 2a+3b+5c+8d=20k顯然b、c有相同的奇偶性.若同為偶數(shù)，b-c=10 和a=b=5，不是整數(shù)；若同為奇數(shù)，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一個(gè)矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若干方形門或圓形門相通，僅在進(jìn)出展覽廳的出入口處有若干門與廳外相通，試證明：任何一個(gè)參觀者選擇任何路線任意參觀若干個(gè)展覽室（可重復(fù)）之后回到廳外，他經(jīng)過的方形門的次數(shù)與圓形門的次數(shù)（重復(fù)經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算）之差總是偶數(shù).證明 給出入口處展覽室記“+”號(hào)，凡與“+”相鄰的展覽室記“-”號(hào)，凡與“-”號(hào)相鄰的展覽室都記“+”號(hào)，如此則相鄰兩室的“+”、“-”號(hào)都不同.一參觀者從出入口處的“+”號(hào)室進(jìn)入廳內(nèi)，走過若干個(gè)展覽室又回到入口處的“+”號(hào)室，他的路線是+-+-+-+-，即從“+”號(hào)室起到“+”號(hào)室止，中間“-”、“+”號(hào)室為n+1（重復(fù)經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算），即共走了2n+1室，于是參觀者從廳外進(jìn)去參觀后又回到廳外共走過了2n+2個(gè)門（包括進(jìn)出出入口門各1次）.設(shè)其經(jīng)過的方形門的次數(shù)是r次，經(jīng)過圓形門的次數(shù)是s，則s+r=2n+2為偶數(shù)，故r-s也為偶數(shù)，所以命題結(jié)論成立.例13 有一無窮小數(shù)A=0.a1a2a3anan+1an+2其中ai(i=1,2)是數(shù)字，并且a1是奇數(shù)，a2是偶數(shù)，a3等于a1+a2的個(gè)位數(shù)，an+2是an+an+1(n=1,2,)的個(gè)位數(shù)，證明A是有理數(shù).證明 為證明A是有理數(shù)，只要證明A是循環(huán)小數(shù)即可，由題意知無窮小數(shù)A的每一個(gè)數(shù)字是由這個(gè)數(shù)字的前面的兩位數(shù)字決定的，若某兩個(gè)數(shù)字ab重復(fù)出現(xiàn)了，即0.abab此小數(shù)就開始循環(huán).而無窮小數(shù)A的各位數(shù)字有如下的奇偶性規(guī)律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇又a是奇數(shù)可取1，3，5，7，9；b是偶數(shù)可取0，2，4，6，8.所以非負(fù)有序?qū)崝?shù)對一共只有25個(gè)是不相同的，在構(gòu)成A的前25個(gè)奇偶數(shù)組中，至少出現(xiàn)兩組是完全相同的，這就證得A是一循環(huán)小數(shù)，即A是有理數(shù). 練 習(xí) 1.填空題（1）有四個(gè)互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，最大數(shù)與最小數(shù)的積是一個(gè)奇數(shù)，而這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個(gè)數(shù)的乘積是_.（2）有五個(gè)連續(xù)偶數(shù)，已知第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)和的多18，這五個(gè)偶數(shù)之和是_.（3）能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結(jié)？答_.2.選擇題（1）設(shè)a、b都是整數(shù)，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是偶數(shù)；若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是偶數(shù).（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整數(shù)，則的值（ ）.（A）一定是偶數(shù) （B）必然是非零偶數(shù)（C）是偶數(shù)但不是2 （D）可以是偶數(shù)，也可以是奇數(shù)（3）已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a、b、c為整數(shù)），如果當(dāng)x=0與x=1時(shí)，二次三項(xiàng)式的值都是奇數(shù)，那么a（ ）（A）不能確定奇數(shù)還是偶數(shù) （B）必然是非零偶數(shù)（C）必然是奇數(shù) （D）必然是零3.（1986年宿州競賽題）試證明11986+91986+81986+61986是一個(gè)偶數(shù).4.請用0到9十個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)能被11整除的最小十位數(shù).5.有n 個(gè)整數(shù)，共積為n，和為零，求證：數(shù)n能被4整除6.在一個(gè)凸n邊形內(nèi)，任意給出有限個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)之間以及這些點(diǎn)與凸n邊形頂點(diǎn)之間，用線段連續(xù)起來，要使這些線段互不相交，而且把原凸n邊形分為只朋角形的小塊，試證這種小三我有形的個(gè)數(shù)與n有相同的奇偶性.7.（1983年福建競賽題）一個(gè)四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其它各位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍，求這四位數(shù). 8.（1909年匈牙利競賽題）試證：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次冪整除.9.（全俄15屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）在1，2，3，1989之間填上“+”或“-”號(hào)，求和式可以得到最小的非負(fù)數(shù)是多少？練習(xí)參考答案（）（最小兩位奇數(shù)是，最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù)）（）設(shè)第一個(gè)偶數(shù)為，則后面四個(gè)衣次為，（）不能是奇數(shù)，的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)，而，都是偶數(shù)，故最后為偶數(shù)仿例 設(shè)，滿足題設(shè)即。假如為奇數(shù)，由，所有皆為奇數(shù)，但奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故這時(shí)不成立，可見只能為偶數(shù)由于為偶數(shù)，由知中必有一個(gè)偶數(shù)，由知中必有另一個(gè)偶數(shù)于是中必有兩個(gè)偶數(shù)，因而由知必能被整除設(shè)小三角形的個(gè)數(shù)為，則個(gè)小三角形共有條邊，減去邊形的條邊及重復(fù)計(jì)算的邊數(shù)扣共有（）條線段，顯然只有當(dāng)與有相同的奇偶性時(shí)，（）才是整數(shù)設(shè)這個(gè)四位數(shù)是由于，是奇數(shù)所以于是（），即或因是偶數(shù)，所以，由此得，又因，所以因此該數(shù)為當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，考慮（）的展開式；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，考慮（）的展開式除外，可將，所有數(shù)分為對：（，）（，）（，）每對數(shù)中兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同，所以在每對數(shù)前無論放置“”，“”號(hào)，運(yùn)算結(jié)果只能是偶數(shù)而為奇數(shù)，所以數(shù)，的總值是奇數(shù)，于是所求的最小非負(fù)數(shù)不小于，數(shù)可用下列方式求得：（）（）（）競賽講座02 整數(shù)的整除性1 整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)（1） 整除的定義：對于兩個(gè)整數(shù)a、d（d0），若存在一個(gè)整數(shù)p，使得成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d|a。若d不能整除a，則記作d a，如2|6，4 6。（2） 性質(zhì)1） 若b|a，則b|(-a)，且對任意的非零整數(shù)m有bm|am2） 若a|b，b|a，則|a|=|b|;3） 若b|a，c|b，則c|a4） 若b|ac，而（a，b）=1（a，b）=1表示a、b互質(zhì)，則b|c；5） 若b|ac，而b為質(zhì)數(shù)，則b|a，或b|c；6） 若c|a，c|b，則c|（ma+nb），其中m、n為任意整數(shù)（這一性質(zhì)還可以推廣到更多項(xiàng)的和）例1 （1987年北京初二數(shù)學(xué)競賽題）x，y，z均為整數(shù)，若11（7x+2y-5z），求證：11（3x-7y+12z）。證明4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 1111(3x-2y+3z),且 11(7x+2y-5z), 114(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 11(3x-7y+12z).2.整除性問題的證明方法(1) 利用數(shù)的整除性特征（見第二講）例2（1980年加拿大競賽題）設(shè)72的值。解72=89，且（8，9）=1，所以只需討論8、9都整除的值。若8，則8，由除法可得。若9，則9（a+6+7+9+2），得a=3。（2）利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì) 任意兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之積必定是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之一積，因此一定可被2整除。 任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之中至少有一個(gè)偶數(shù)且至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被23=6整除。這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意個(gè)整數(shù)連續(xù)之積。例3（1956年北京競賽題）證明：對任何整數(shù)n都為整數(shù)，且用3除時(shí)余2。證明為連續(xù)二整數(shù)的積,必可被2整除.對任何整數(shù)n均為整數(shù),為整數(shù),即原式為整數(shù).又，2n、2n+1、2n+2為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，其積必是3的倍數(shù)，而2與3互質(zhì)，是能被3整除的整數(shù).故被3除時(shí)余2.例4 一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.證明 a2+23=（a2-1）+24，只需證a2-1可以被24整除即可.2 .a為奇數(shù).設(shè)a=2k+1(k為整數(shù)),則a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).k、k+1為二個(gè)連續(xù)整數(shù)，故k（k+1）必能被2整除，8|4k（k+1），即8|（a2-1）.又（a-1），a，（a+1）為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，其積必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），3 a，3|（a2-1）.3與8互質(zhì), 24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利用整數(shù)的奇偶性下面我們應(yīng)用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關(guān)知識(shí)來解幾個(gè)整數(shù)問題.例5 求證:不存在這樣的整數(shù)a、b、c、d使：abcd-a= abcd-b= abcd-c= abcd-d= 證明 由，a（bcd-1）=.右端是奇數(shù)，左端a為奇數(shù)，bcd-1為奇數(shù).同理,由、知b、c、d必為奇數(shù)，那么bcd為奇數(shù)，bcd-1必為偶數(shù)，則a（bcd-1）必為偶數(shù)，與式右端為奇數(shù)矛盾.所以命題得證.例6 (1985年合肥初中數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,，xn，其中每一個(gè)不是+1就是-1，且試證n是4的倍數(shù).證明 設(shè) (i=1,2,，n-1)，則yi不是+1就是-1，但y1+y2+yn=0，故其中+1與-1的個(gè)數(shù)相同，設(shè)為k，于是n=2k.又y1y2y3yn=1，即（-1）k=1，故k為偶數(shù)，n是4的倍數(shù).其他方法：整數(shù)a整除整數(shù)b，即b含有因子a.這樣,要證明a整除b,采用各種公式和變形手段從b中分解出因子a就成了一條極自然的思路.例7 (美國第4屆數(shù)學(xué)邀請賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且,當(dāng)n+10的值為最大時(shí),相應(yīng)地n的值為最大.因?yàn)?00的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例8 (上海1989年高二數(shù)學(xué)競賽)設(shè)a、b、c為滿足不等式1abc的整數(shù)，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能數(shù)組（a，b，c）.解 （ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.存在正整數(shù)k,使ab+ac+bc-1=kabc, k=k=1.若a3，此時(shí)1=-矛盾.已知a1. 只有a=2.當(dāng)a=2時(shí)，代入中得2b+2c-1=bc，即 1=0b4，知b=3，從而易得c=5. 說明：在此例中通過對因數(shù)k的范圍討論，從而逐步確定a、b、c是一項(xiàng)重要解題技巧.例9 （1987年全國初中聯(lián)賽題）已知存在整數(shù)n，能使數(shù)被1987整除.求證數(shù)，都能被1987整除. 證明（103n+），且能被1987整除，p能被1987整除.同樣，q=（）且故、102（n+1）、被除，余數(shù)分別為1000，100，10，于是q表示式中括號(hào)內(nèi)的數(shù)被除，余數(shù)為1987，它可被1987整除，所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)能被1987整除，即q能被1987整除.練習(xí)二1 選擇題（1）（1987年上海初中數(shù)學(xué)競賽題）若數(shù)n=2030405060708090100110120130，則不是n的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是（ ）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案（2）在整數(shù)0、1、2、8、9中質(zhì)數(shù)有x個(gè)，偶數(shù)有y個(gè)，完全平方數(shù)有z個(gè)，則x+y+z等于（ ）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除盡311+518的最小整數(shù)是（ ）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2 填空題（1）（1973年加拿大數(shù)學(xué)競賽題）把100000表示為兩個(gè)整數(shù)的乘積，使其中沒有一個(gè)是10的整倍數(shù)的表達(dá)式為_.(2)