2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2古典概型3.2.3互斥事件學(xué)案北師大版必修3.docx

3.2.3互斥事件 航向標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握兩個互斥事件的概率加法公式以及對立事件的概率計算公式2正確理解互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系讀教材自主學(xué)習(xí)1互斥事件：在一個隨機(jī)試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱為互斥事件2如果隨機(jī)事件A、B為互斥事件，那么事件AB的概率的計算公式：P(AB)P(A)P(B)，其中事件AB發(fā)生是事件A和事件B至少有一個發(fā)生3如果隨機(jī)事件A1，A2，An兩兩互斥，那么事件A1A2An的概率的計算公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)4對立事件：在每一次試驗中，兩個互斥事件A和B必有一個發(fā)生，另一個一定不發(fā)生，我們把這樣的兩個事件稱為對立事件，把事件A的對立事件記為.5隨機(jī)事件A和其對立事件A的概率之間的關(guān)系：P()1P(A)看名師疑難剖析互斥事件與對立事件的關(guān)系(1)從定義上看 不可能同時發(fā)生的兩個事件叫作互斥事件例如：拋一枚硬幣，落地時會出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”兩種結(jié)果若記“落地時正面向上”為事件A，“落地時反面向上”為事件B，則A，B為互斥事件再如：拋兩枚硬幣落地時會出現(xiàn)四種結(jié)果“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”若記“第一枚正面向上，第二枚反面向上”為事件A，“第一枚反面向上，第二枚也反面向上”為事件B，則A，B也為互斥事件必須有一個發(fā)生的互斥事件叫作對立事件，也就是說，兩個互斥事件在一次試驗中必然有一個發(fā)生，這樣的兩個互斥事件就是對立事件如上面的第一個例子中的事件A，B就是對立事件，而第二個例子中的事件A，B就不是對立事件因為對第二個例子中的事件A，B來說，不是必有一個發(fā)生，也可能發(fā)生“正、正”或“反、正”，故“互斥”未必“對立”，而“對立”必然“互斥” (2)從集合角度看 從集合角度看，事件A，B互斥，表示其相應(yīng)集合的交集是空集，即AB，而由對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集I中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集，即AI，A，如圖所示 (3)從公式上看 互斥事件的概率加法公式是：P(AB)P(A)P(B)其中事件A與B只有一個發(fā)生此公式應(yīng)用條件：A，B互斥對立事件的概率公式是：P(A)P()P(A)1.或變形為：P()1P(A)，這個公式很有用，當(dāng)直接求某一事件的概率較復(fù)雜時，可先轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率考點一 事件關(guān)系的判斷例1判斷下列給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從110各10張)中，任取一張(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”分析要判斷所給事件是對立還是互斥，首先要將兩個概念的聯(lián)系和區(qū)別弄清楚，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是建立在互斥事件的基礎(chǔ)上的，兩個事件一個不發(fā)生，另一個必發(fā)生解(1)是互斥事件，不是對立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件(2)既是互斥事件，又是對立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽出的牌點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件類題通法 “互斥事件”和“對立事件”都是就兩個事件而言的.互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個要發(fā)生的互斥事件.因此，對立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少1名男生與全是男生；(3)至少1名男生與全是女生；(4)至少1名男生與至少1名女生解(1)因為恰有1名男生與恰有2名男生不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；當(dāng)恰有2名女生時，它們都沒有發(fā)生，所以它們不是對立事件(2)當(dāng)恰有2名男生時，至少1名男生與全是男生同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件(3)因為至少1名男生與全是女生不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；由于它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事件(4)當(dāng)選出的是1名男生1名女生時，至少1名男生與至少1名女生同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件.考點二 互斥事件與對立事件的概率例2在擲骰子試驗中，定義以下事件：e1出現(xiàn)1點，e2出現(xiàn)2點，e3出現(xiàn)3點，e4出現(xiàn)4點，e5出現(xiàn)5點，e6出現(xiàn)6點，D1出現(xiàn)的點數(shù)大于3，D2出現(xiàn)的點數(shù)小于7，E出現(xiàn)的點數(shù)大于6，G出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)，H出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)求事件D1，D2，E，G，H發(fā)生的概率分析對拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子來說，出現(xiàn)1點，2點，3點，4點，5點，6點的概率均為，即P(e1)P(e2)P(e3)P(e4)P(e5)P(e6).e1，e2，e3，e4，e5，e6就是隨機(jī)試驗擲一枚骰子的所有基本事件，它們兩兩互斥，事件D1，D2，E，G，H均可轉(zhuǎn)化為這些基本事件的和的形式，再根據(jù)概率的加法公式便可求得解由已知即P(e1)P(e2)P(e3)P(e4)P(e5)P(e6)，又e1，e2，e3，e4，e5，e6就是隨機(jī)試驗擲一枚骰子的全部基本事件，它們兩兩互斥，并且事件D1e4e5e6；D2e1e2e3e4e5e6；Ge2e4e6；He1e3e5.根據(jù)概率的加法公式得：(1)P(D1)P(e4)P(e5)P(e6)；(2)P(D2)P(e1)P(e2)P(e3)P(e4)P(e5)P(e6)1；(3)擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)只可能是16點，不可能出現(xiàn)大于6點，故E為不可能事件，P(E)0；(4)P(G)P(e2)P(e4)P(e6)；(5)P(H)P(e1)P(e3)P(e5).類題通法 在求某事件的概率時，我們可以先分析清楚隨機(jī)試驗的所有基本事件，以及該事件包含的隨機(jī)事件，然后利用概率公式進(jìn)行求解.某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,0.13，計算這個射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率；(3)射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率解設(shè)事件“射中10環(huán)”，“射中9環(huán)”，“射中8環(huán)”，“射中7環(huán)”，“射中7環(huán)以下”分別記為A、B、C、D、E，則(1)P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52.所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.(2)P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.240.280.190.160.87，所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.(3)P(DE)P(D)P(E)0.160.130.29，所以射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率為0.29.例3一個盒中裝有各色球12只，其中5只紅球、4只黑球、2只白球，1只綠球從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出的1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率分析利用互斥事件和概率公式與對立事件概率公式求解解解法一：(1)從12只球中任取1球得到紅球有5種取法，得到黑球有4種取法，得到紅球或黑球共有549種不同取法，任取1球有12種取法所以任取1球得紅球或黑球的概率為P1.(2)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法從而得紅球或黑球或白球的概率為P2.解法二：(利用互斥事件和概率公式求解)記事件A1任取1球為紅球，A2任取1球為黑球，A3任取1球為白球，A4任取1球為綠球，則P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件和概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).解法三：(利用對立事件概率公式求解)(1)由方法二知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1A2的對立事件為A3A4.所以求取出1紅球或黑球的概率為P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)A1A2A3的對立事件為A4，所以P(A1A2A3)1P(A4)1.類題通法 (1)解決此類問題，首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件和對立事件，再決定使用哪個公式，不要由于亂套公式而導(dǎo)致出錯.(2)要注意分類討論和等價轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是0.18，在8089分之間的概率是0.51，在7079分之間的概率為0.15，在6069分之間的概率是0.09.計算小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率和小明考試不及格(低于60分)的概率解分別設(shè)小明的考試成績在90分以上、在8089分之間、在7079分之間、在6069分之間依次為事件B，C，D，E，這四個事件是彼此互斥的根據(jù)加法公式，小明的考試成績在80分以上的概率為：P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.小明考試及格的概率即成績在60分以上的概率為P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.而小明考試不及格與小明考試及格(成績60分以上)為對立事件，所以小明考試不及格的概率為1P(BCDE)10.930.07.例從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A0.35 B0.3 C0.7 D0.65(一)精妙思路點撥 (二)分層規(guī)范細(xì)解選A.事件的對立事件“抽到的是一等品”，所以P10.650.35.(三)來自一線的報告通過閱卷后分析，對解答本題的常見錯誤及解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的見分層規(guī)范細(xì)解過程)常見錯誤選B選B的原因是沒有讀懂題意，想當(dāng)然的認(rèn)為處等價于抽到的是二等品或三等品，所以所求的概率是二者的概率和事實上，根據(jù)所給的概率之和并不等于1，可以知道這箱產(chǎn)品中除了一、二、三等品外，還有其他等級的產(chǎn)品，故事件A的對立事件并不是BC.選D選D的原因是沒有認(rèn)真審題，把處求事件“抽到的不是一等品”的概率誤認(rèn)為求事件A的概率.解題啟示解答有關(guān)互斥事件的概率的題目，要認(rèn)真讀題，仔細(xì)審題，理清各事件間的相互關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用互斥事件的概率加法公式和對立事件的概率公式.(四)類題練筆掌握有5件產(chǎn)品，其中有3件一級品和2件二級品從中任取兩件，則以0.7為概率的是()A至多有1件一級品 B恰有1件一級品C至少有1件一級品 D都不是一級品答案A解析設(shè)事件A為“取到2件一級品”，事件B為“取到2件二級品”，事件C為“取到1件一級品和1件二級品”，則P(A)0.3，P(B)0.1，P(C)1P(A)P(B)0.6.而1P(A)10.30.7P(B)P(C)，所以以0.7為概率的是事件“至多有1件一級品”1從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A“至少有一個黑球”與“都是黑球”B“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”D“至少有一個黑球”與“都是紅球”答案C解析A、B選項中兩事件不互斥，D選項中兩事件互斥且對立，故選C，注意互斥事件與對立事件定義故選C.2對于對立事件和互斥事件，下列說法正確的是()A如果兩個事件是互斥事件，那么這兩個事件一定是對立事件B如果兩個事件是對立事件，那么這兩個事件一定是互斥事件C對立事件和互斥事件沒有區(qū)別，意義相同D對立事件和互斥事件沒有任何聯(lián)系答案B3在某一時期內(nèi)，一條河流某處的年最高水位在各個范圍內(nèi)的概率如下：年最高水位(單位：m)8,10)10,12)12,14)14,16)16,18)概率0.10.280.380.160.08在同一時期內(nèi)，河流這一處的年最高水位在14,1