2017屆吉林省長春市高三質(zhì)量監(jiān)測模擬(四)數(shù)學(理)試題.doc

長春市普通高中2017屆高三質(zhì)量監(jiān)測（四）數(shù)學（理科）一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1.為虛數(shù)單位，則 A. B. C. D.2.已知集合，則 A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為 A. B. C. D.R4. 下面四個殘差圖中可以反映出回歸模型擬合精度較好的為 A. 圖1 B. 圖2 C. 圖3 D. 圖35.公元263年左右，我國古代數(shù)學家劉徽用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率，劉徽稱這個方法為“割圓術(shù)”，并且把“割圓術(shù)”的特點概括為“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.右圖是根據(jù)劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖.運行該程序，則輸出的n的值為：（參考數(shù)據(jù)：） A. 48 B. 36 C. 30 D. 246.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則下列說法中正確的是 A. 是奇函數(shù)，最小值為-2 B. 是偶函數(shù)，最小值為-2 C. 是奇函數(shù)，最小值為 D. 是偶函數(shù)，最小值為7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 A. B. C. D.8.二項式的展開式中，項的系數(shù)為 A. B. C. 15 D. -159.據(jù)統(tǒng)計，某城市的火車站春運期間日接送旅客人數(shù)（單位：萬）服從正態(tài)分布，則日接送人數(shù)在6萬到6.8萬之間的概率為（） A. B. C. D.10.球面上有A,B,C三點，球心O到平面ABC的距離是球半徑的，且，則球O的表面積是 A. B. C. D.11.已知是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線C上的一點，若，且的最小內(nèi)角的大小為，則雙曲線C的漸近線方程為 A. B. C. D.12.已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍為 A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為 .14. 若非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為 .15. 已知銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，AD是角A的平分線，D在BC上，則 .16. 有甲、乙兩人去看望高中數(shù)學張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是m月n日，張老師把m告訴了甲，把n告訴了乙，然后張老師列出了如下10個日期供選擇：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，甲說：“我不知道，但你一定也不知道”，乙聽了甲的話后說，“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，甲接著說“哦，現(xiàn)在我也知道了”，請問：張老師的生日是 .三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17.（本題滿分12分）等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求.18.（本題滿分12分）某市對大學生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)人員給予小額貸款補貼，貸款期限分為6個月，12個月，18個月，24個月，36個月五種，對于這五種期限的貸款政府分別補貼200元、300元、300元、400元、400元，從2016年享受此項政策的自主創(chuàng)業(yè)人員中抽取了100人進行調(diào)查統(tǒng)計，選取貸款期限的頻數(shù)如下表：以上表中各種貸款期限的頻率作為2017年自主創(chuàng)業(yè)人員選擇各種貸款期限的概率.（1）某大學2017年畢業(yè)生中共有3人準備申報此項貸款，計算其中恰有兩人選擇貸款期限為12個月的概率；（2）設(shè)給某享受此項政策的自主創(chuàng)業(yè)人員補貼為X元，寫出X的分布列；該市政府要做預算，若預計2017年全市有600人申報此項貸款，則估計2017年該市共要補貼多少萬元.19.（本題滿分12分） 如圖，四棱柱中，底面是菱形，平面，為的中點.（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求三棱錐的體積.20.（本題滿分12分）如圖，在矩形中，為的中點，分別是,的上的點，且滿足：;直線與的交點在橢圓上.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)R為橢圓E的右頂點，M為橢圓E第一象限部分上一點，作MN垂直于軸，垂足為N,求梯形ORMN的面積的最大值.21.（本題滿分12分） 已知函數(shù)（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）設(shè)函數(shù)，求證：當時，對恒成立.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按照所做的第一題計分.22.（本題滿分10分）選修4-4：極坐標與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線（為參數(shù)）.的極坐標方程為，曲線（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標方程和的普通方程；（2）極坐標系中兩點都在曲線上，求的值.23.（本題滿分10分）選修4-5：不等式選講（1）已知函數(shù)，若不等式的解集為，求的值；（2）已知實數(shù)，且，求證：長春市普通高中2017屆高三質(zhì)量監(jiān)測（四） 數(shù)學（理科）參考答案與評分標準一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1. A 2. B3. B4. A5. D 6. C7. D 8. B9. D10. B11. A12. A簡答與提示：1. 【命題意圖】本題考查復數(shù)的基本概念及運算. 【試題解析】A由可知，原式. 故選A.2. 【命題意圖】本題考查集合交、補運算.【試題解析】B 由，故. 故選B. 3. 【命題意圖】本題考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì).【試題解析】B根據(jù)分段函數(shù)的的圖像可知，該函數(shù)的值域為. 故選B.4. 【命題意圖】本題考查統(tǒng)計學中殘差圖的概念. 【試題解析】A根據(jù)殘差圖顯示的分布情況即可看出圖1顯示的殘差分布集中，擬合度較好，故選A.5. 【命題意圖】本題依據(jù)中華傳統(tǒng)文化算法割圓術(shù)考查程序框圖.【試題解析】D 運行算法可獲得結(jié)果24，故選D. 6. 【命題意圖】本題主要考查三角變換公式與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 【試題解析】C由，則. 故選C. 7. 【命題意圖】本題考查三視圖.【試題解析】D由圖形補全法，將圖形補全為長方體，進而獲得該幾何體的直觀圖，再求得該幾何體的表面積為：. 故選D. 8. 【命題意圖】本題考查二項式相關(guān)問題. 【試題解析】B的展開式中，的系數(shù)是. 故選B. 9. 【命題意圖】本題主要考查正態(tài)分布的相關(guān)知識. 【試題解析】D. 故選D. 10. 【命題意圖】本題主要考查球內(nèi)的幾何體的相關(guān)性質(zhì). 【試題解析】B 由題可知為的直徑，令球的半徑為，則，可得，則球的表面積為. 故選B. 11. 【命題意圖】本題考查雙曲線的定義. 【試題解析】A不妨設(shè)，則，則，且，即為最小邊，即，則為直角三角形，且，即漸近線方程為，故選A. 12. 【命題意圖】本題是考查函數(shù)與導數(shù)的應用問題. 【試題解析】A 已知，則，當時，恒成立，因此. 故選A. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 14. 15. 16. 8月4日簡答與提示：13. 【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識.【試題解析】由題意可先畫出可行域，再由目標函數(shù)的幾何意義，判斷最優(yōu)解為故，的最小值為. 14. 【命題意圖】本題考查向量的運算和幾何意義.【試題解析】由題意，則，即，故.15. 【命題意圖】本題考查解三角形的問題.【試題解析】由正弦定理可得，可得，由余弦定理可得，再根據(jù)角分線定理可知，. 16. 【命題意圖】本題考查學生的邏輯推理能力. 【試題解析】根據(jù)甲說“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日；乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；甲接著說“哦，現(xiàn)在我也知道了”，現(xiàn)在可以得知張老師生日為8月4日.三、解答題17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識. 【試題解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為. （2分）（4分）（6分）（2）由（1）知，（8分）（9分）.（12分）18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查學生對概率統(tǒng)計知識的理解，同時考查學生的數(shù)據(jù)處理能力.【試題解析】(1)由題意知，每人選擇貸款期限為12個月的概率為，（2分）所以3人中恰有2人選擇此貸款的概率為（6分）(2)由題意知，享受補貼200元的概率為,享受補貼300元的概率為，享受補貼400元的概率為，即隨機變量的分布列為（9分）X200300400P（10分），元. 所以，2017年政府需要補貼全市600人補貼款18萬元. （12分）19. (本小題滿分12分) 【命題意圖】本題以四棱柱為載體，考查平面與平面垂直，以及二面角、體積等問題. 【試題解析】（）證明：連接，設(shè)與的交點為，連接，因為為中點，為中點，所以，所以平面，又因為在平面內(nèi)，所以平面平面.（6分）（）由于四邊形是菱形，所以以為坐標原點，分別以，為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，有，有，設(shè)平面的法向量為，平面ACE的法向量為，（8分）由題意知，解得. （10分）所以菱形為正方形，所以三棱錐的體積. （12分）20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題考查橢圓的標準方程及面積最值問題，考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力.【試題解析】（）設(shè)于交點為，由題可知，（4分）從而有，整理得，即為橢圓方程.（6分）（），設(shè)，有，從而所求梯形面積，（8分）令，令，（10分）當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時取最大值.（12分）21. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的知識，具體涉及到導數(shù)的運算，用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等，考查學生解決問題的綜合能力.【試題解析】（），令可得，或.（2分）又，則可知在和上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增. （4分）（）在（）條件下，當，即時，在上單調(diào)遞增，則最大值為；（6分）當，即時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的最大值為. （9分）（）要證，即證，（10分）令，則，又，可知在內(nèi)存在極大值點，又，則在上恒大于2，（11分）而在上恒小于2，因此在上恒成立