高等數(shù)學(xué)b學(xué)習(xí)資料-3.9定積分的物理應(yīng)用舉例.ppt

第九節(jié)定積分的物理應(yīng)用舉例 一 變力沿直線所作的功 二 水壓力 三 引力 一 變力沿直線所作的功 由物理學(xué)知道 如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中有一個(gè)不變的力F作用在這物體上 且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致 那么 在物體移動(dòng)了距離s時(shí) 力F對(duì)物體所作的功為W F s 如果物體在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中所受的力是變化的 就不能直接使用此公式 而要采用 元素法 的思想解決 設(shè)物體在連續(xù)變力F x 作用下沿x軸從x a移動(dòng)到x b 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行 求變力F所做的功 在其上所作的功元素為 因此變力F x 在區(qū)間 a b 上所作的功 例1在一個(gè)帶 q電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下 一個(gè)單位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷a處移動(dòng)到b處 a b 求電場(chǎng)力所作的功 解 當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)r時(shí) 由庫(kù)侖定律知電場(chǎng)力為 任取小區(qū)間 r r dr 取r為積分變量 則功的元素為 所求功為 解 如圖建立坐標(biāo)系 例2一圓柱形蓄水池高為5米 底半徑為3米 池內(nèi)盛滿了水 問(wèn)要把池內(nèi)的水全部吸出 需作多少功 任取一小區(qū)間 x x dx 取x為積分變量 這一薄層水的重力為 功元素為 千焦 設(shè)水的密度為 解 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?第一次錘擊時(shí)所作的功為 例3用鐵錘把釘子釘入木板 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比 鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米 若每次錘擊所作的功相等 問(wèn)第n次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少 設(shè)n次擊入的總深度為h厘米 n次錘擊所作的總功為 依題意有 n次擊入的總深度為 第n次擊入的深度為 例4已知一彈簧自然長(zhǎng)為0 6m 10N的力使它伸長(zhǎng)到1m 求使彈簧從0 9m伸長(zhǎng)到1 1m外力所做的功W 解 彈簧力為 故彈簧從0 9m伸長(zhǎng)到1 1m外力所做的功為 二 水壓力 由物理學(xué)知道 在水深為h處的壓強(qiáng)為p gh 這里 是水的密度 如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處 那么平板一側(cè)所受的水靜壓力為F p A ghA 如果平板垂直放置在水中 由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等 平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此公式 而要采用 元素法 的思想解決 解 如圖建立坐標(biāo)系 面積元素 例1將直角邊各為2a及a的直角三角形薄板垂直地浸人水中 斜邊朝下 直角邊的邊長(zhǎng)與水面平行 且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長(zhǎng) 求薄板所受的側(cè)壓力 側(cè)壓力元素為 設(shè)水的密度為 則 解 在端面如圖建立坐標(biāo)系 例2一個(gè)橫放著的圓柱形水桶 桶內(nèi)盛有半桶水 設(shè)桶的底半徑為R 水的密度為 計(jì)算桶的一端面上所受的壓力 面積元素 側(cè)壓力元素為 設(shè)水的密度為 則 端面上所受的壓力為 說(shuō)明 當(dāng)桶內(nèi)充滿水時(shí) 小矩形片上的壓強(qiáng)為 側(cè)壓力元素 故端面所受側(cè)壓力為 奇函數(shù) 三 引力 如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力 那么 由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的 且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的 就不能用此公式計(jì)算 而要采用 元素法 的思想解決 解 如圖建立坐標(biāo)系 將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn) 小段的質(zhì)量為 例有一長(zhǎng)度為l 線密度為 的均勻細(xì)棒 在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M 計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力 小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為 引力元素 水平方向的分力元素 由對(duì)稱性知 引力在鉛直方向分力為 故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 例設(shè)有一長(zhǎng)度為l 線密度為 的均勻細(xì)直棒 在其中垂線上距a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M 試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 解如圖建立坐標(biāo)系 細(xì)棒上小段 對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力元素為 故垂直分力元素為 由對(duì)稱性知 棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力 故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為 練習(xí) 長(zhǎng)為l線密度為 的均勻細(xì)棒 在離端點(diǎn)為a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn) 求細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 利用 元素法 思想求變力作功 水壓力和引力等物理問(wèn)題 注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí) 四 小結(jié) 注意 1 從實(shí)際情況出發(fā)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對(duì)于物理量的計(jì)算是至關(guān)重要的 且在建立坐標(biāo)系時(shí) 必需明確指明原點(diǎn)位置和坐標(biāo)軸的正向 2 計(jì)算時(shí)對(duì)同類量要采用統(tǒng)一的單位 思考與練習(xí) 提示 作x軸如圖 1 為清除井底污泥 用纜繩將抓斗放入井底 抓起污泥后提出井口 已知井深30m 抓斗自重400N 纜繩每米重50N 抓斗抓起的污泥重2000N 提升速度為3m s 在提升過(guò)程中污泥以20N s的速度從抓斗縫隙中漏掉 現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口 問(wèn) 克服重力需作多少焦耳 J 功 將抓起污泥的抓斗由 x提升dx所作的功為 提升抓斗中的污泥 井深30m 抓斗自重400N 纜繩每米重50N 抓斗抓起的污泥重2000N 提升速度為3m s 污泥以20N s的速度從抓斗縫隙中漏掉 克服纜繩重 抓斗升至x處所需時(shí)間 克服抓斗自重 2 斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形薄板 垂直放置于水中 并使一直角邊與水面相齊 問(wèn)斜邊與水面交成的銳角 取多大時(shí) 薄板所受的壓力F最大 解如圖建立坐標(biāo)系 設(shè)斜邊長(zhǎng)為l 則其方程為 故得唯一駐點(diǎn) 故此唯一駐點(diǎn) 即為所求 由實(shí)際意義可知最大值存在 即 3 一球完全浸沒(méi)水中 問(wèn)該球面所受的總壓力與球浸沒(méi)的深度有無(wú)關(guān)系 它所受的總壓力