2016年全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)(修正版,含答案).doc

絕密啟用前 試題類型：A2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）設(shè)集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）（2）設(shè)，其中x，y是實(shí)數(shù)，則（ ）（A）1（B）（C）（D）2（3）已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，則（ ）（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班車在7:00，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是（ ）（A）（B）（C）（D）（5）已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是（ ）（A）(1,3)（B）(1,)（C）(0,3)（D）(0,)（6）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是（ ）（A）17（B）18（C）20（D）28（7）函數(shù)y=2x2e|x|在2,2的圖像大致為（ ）（A）（B）（C）（D）（8）若，則（ ）（A）（B）（C）（D）（9）執(zhí)行右面的程序圖，如果輸入的，則輸出x，y的值滿足（ ）（A）（B）（C）（D）（10）以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的標(biāo)準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）(A)2(B)4 (C)6 (D)8（11）平面a過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，a/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，則m、n所成角的正弦值為（ ）(A)(B)(C)(D)（12）已知函數(shù)為的零點(diǎn),為圖像的對(duì)稱軸,且在單調(diào)，則的最大值為（ ）（A）11（B）9（C）7（D）5二、填空題：本大題共3小題，每小題5分（13）設(shè)向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m=_.（14）的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是_.（用數(shù)字填寫(xiě)答案）（15）設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2an的最大值為_(kāi).（16）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料。生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元_.三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.（17）（本題滿分為12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別別為a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面積為，求的周長(zhǎng)（18）（本題滿分為12分）如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是（I）證明平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值（19）（本小題滿分12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（II）若要求，確定的最小值；（III）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？（20）（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M, N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P, Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).（I）求a的取值范圍；（II）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x21的解集。參考版解析1，故故選D2由可知：，故，解得：所以，故選B3由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，故，而，因此公差故選C4如圖所示，畫(huà)出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘根據(jù)幾何概型，所求概率故選B5表示雙曲線，則由雙曲線性質(zhì)知：，其中是半焦距焦距，解得故選A6原立體圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的后的三視圖表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和故選A7，排除A，排除B時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此在單調(diào)遞減，排除C故選D8對(duì)A：由于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，A錯(cuò)誤對(duì)B：由于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤對(duì)C：要比較和，只需比較和，只需比較和，只需和構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，因此又由得，C正確對(duì)D：要比較和，只需比較和而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故又由得，D錯(cuò)誤故選C9如下表：循環(huán)節(jié)運(yùn)行次數(shù)判斷是否輸出運(yùn)行前01/1第一次否否第二次否否第三次是是輸出，滿足故選C10以開(kāi)口向右的拋物線為例來(lái)解答，其他開(kāi)口同理設(shè)拋物線為，設(shè)圓的方程為，題目條件翻譯如圖：F設(shè)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，聯(lián)立解得：，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為故選B11如圖所示：，若設(shè)平面平面，則又平面平面，結(jié)合平面平面，故同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大小而（均為面對(duì)交線），因此，即故選A12由題意知：則，其中在單調(diào)，接下來(lái)用排除法若，此時(shí)，在遞增，在遞減，不滿足在單調(diào)若，此時(shí)，滿足在單調(diào)遞減故選B13由已知得：，解得14設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，即故答案為1015由于是等比數(shù)列，設(shè)，其中是首項(xiàng)，是公比，解得：故，當(dāng)或時(shí)，取到最小值，此時(shí)取到最大值所以的最大值為6416設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品件，B產(chǎn)品件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件，構(gòu)造線性規(guī)則約束為 目標(biāo)函數(shù)作出可行域?yàn)閳D中的四邊形，包括邊界，頂點(diǎn)為在處取得最大值，17由正弦定理得：，由余弦定理得：周長(zhǎng)為18為正方形面面平面平面由知：平面平面平面平面面面四邊形為等腰梯形以為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè) ，設(shè)面法向量為.，即，設(shè)面法向量為.即，設(shè)二面角的大小為.二面角的余弦值為19每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11記事件為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件記事件為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件由題知，設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為，則的可能的取值為16，17，18，19，20，21，2216171819202122要令，則的最小值為19購(gòu)買零件所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買機(jī)器時(shí)購(gòu)買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為所以應(yīng)選用20圓A整理為，A坐標(biāo)，如圖，則，由，則所以E的軌跡為一個(gè)橢圓，方程為，()；設(shè)，因?yàn)?，設(shè)，聯(lián)立得；則；圓心到距離，所以，21由已知得：若，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合題意；若，那么，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減即：極小值故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，在上至多一個(gè)零點(diǎn)由于，則，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)而當(dāng)時(shí)，故則的兩根， ，因?yàn)椋十?dāng)或時(shí)，因此，當(dāng)且時(shí)，又，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在有且只有一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意若，則，當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增即：+0-0+極大值極小值而極大值故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值，那么恒成立，即無(wú)解而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意若，那么當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意若，則當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增即：+0-0+極大值極小值故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值，那么恒成立，即無(wú)解當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，即的取值范圍為由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：設(shè)，則那么，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，則，故單調(diào)遞增，有因此，對(duì)于任意的，由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有令，則