新課標高三數(shù)學第一輪復(fù)習單元講座第32講 不等式解法及應(yīng)用.doc

普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學 人教版 高三新數(shù)學第一輪復(fù)習教案（講座32）不等式解法及應(yīng)用一課標要求：1不等關(guān)系通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景；2一元二次不等式經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的程序框圖。3二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。二命題走向分析近幾年的高考試題，本將主要考察不等式的解法，綜合題多以與其他章節(jié)（如函數(shù)、數(shù)列等）交匯。從題型上來看，多以比較大小，解簡單不等式以及線性規(guī)劃等，解答題主要考察含參數(shù)的不等式的求解以及它在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列中的應(yīng)用。預(yù)測2007年高考的命題趨勢：1結(jié)合指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)的考察函數(shù)的性質(zhì)，解不等式的試題常以填空題、解答題形式出現(xiàn)；2以當前經(jīng)濟、社會、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題仍是高考的熱點，主要考察考生閱讀以及分析、解決問題的能力；3在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點命題，特別注意與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合命題這一變化趨勢；4對含參數(shù)的不等式，要加強分類討論思想的復(fù)習，學會分析引起分類討論的原因，合理分類，不重不漏。三要點精講1不等式的解法解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時的重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數(shù)學的基本手段之一。高考試題中，對解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識占相當大的比例。（1）同解不等式（(1)與同解；（2）與同解，與同解；（3）與同解）；2一元一次不等式解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎(chǔ)，必須熟練掌握，靈活應(yīng)用。情況分別解之。3一元二次不等式或分及情況分別解之，還要注意的三種情況，即或或，最好聯(lián)系二次函數(shù)的圖象。4分式不等式分式不等式的等價變形：0f(x)g(x)0，0。5簡單的絕對值不等式絕對值不等式適用范圍較廣，向量、復(fù)數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對值不等式。高考試題中，對絕對值不等式從多方面考查。解絕對值不等式的常用方法：討論法：討論絕對值中的式于大于零還是小于零，然后去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般不等式；等價變形：解絕對值不等式常用以下等價變形：|x|ax2a2ax0)，|x|ax2a2xa或x0)。一般地有：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g (x)或f(x)0的解集為（ ）A.x|x3C.x|x3 D.x|1x0，x3.故原不等式的解集為x|x3。點評：簡單的分式不等式的解法是高中數(shù)學中常用到的求范圍問題工具，分式不等式的解題思路是：分式化整式（注意分母不為零）。題型2：簡單的絕對值、涉及指數(shù)、對數(shù)和三角的不等式的求解問題例3（1）（2002全國，3）不等式（1x）（1x）0的解集是（ ）Ax0x1 B.xx0且x1Cx1x1 D.xx1且x1（2）（1997全國，14）不等式組的解集是（ ）A.x0x2 B.x0x2.5C.x0x D.x0x3解析：（1）答案：D；解法一：x0時，原不等式化為：（1x）（1x）0，（x1）（x1）0，0x1。x0時，原不等式化為：（1x）（1x）0（1x）20，x1，x0且x1。綜上，不等式的解集為x1且x1。解法二：原不等式化為： 或解得1x1，解得即x1，原不等式的解集為x1且x1。點評：該題體現(xiàn)了對討論不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化及去絕對值的基本方法的要求。（2）答案：C解法一：當x2時，原不等式化為，去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2），即x2x6x2x6，2x2120，。注意x2，得2x；當0x2時，原不等式化為，去分母得x2x6x2x6。即2x0 注意0x2，得0x2。綜上得0x，所以選C。解法二：特殊值法.取x=2，適合不等式，排除A；取x=2.5，不適合不等式，排除D；再取x=，不適合不等式，所以排除B；選C。點評：此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力。例4（1）（1995全國理，16）不等式（）32x的解集是_。（2）（2002全國文5，理4）在（0，2）內(nèi)，使sinxcosx成立的x取值范圍為（ ）A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）（3）（06山東理，3）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)2的解集為（ ）(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）解析：（1）答案：x|2x4將不等式變形得則x282x，從而x22x80，（x2）（x4）0，2x4，所以不等式的解集是x|2x4評述：此題考查指數(shù)不等式的解法；（2）答案：C解法一：作出在（0，2）區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點的橫坐標和，由圖46可得C答案。圖46 圖47解法二：在單位圓上作出一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選C.（如圖47）。（3）C；點評：特殊不等式的求解，轉(zhuǎn)化是一方面，借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象也是解決問題的有效手段。題型3：含參數(shù)的不等式的求解問題例5（1）設(shè)不等式x22ax+a+20的解集為M，如果M1，4，求實數(shù)a的取值范圍？（2）解關(guān)于x的不等式1(a1)。分析：該題實質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗。解析：（1）M1，4有兩種情況：其一是M=，此時0；其二是M，此時=0或0，分三種情況計算a的取值范圍。設(shè)f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)當0時，1a2，M=1，4；當=0時，a=1或2；當a=1時M=11，4；當a=2時，m=21，4。當0時，a1或a2。設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24，即，解得2a，M1，4時，a的取值范圍是(1，)。（2）原不等式可化為：0，當a1時，原不等式與(x)(x2)0同解。由于，原不等式的解為(，)(2，+)。 當a1時，原不等式與(x)(x2) 0同解。由于，若a0，解集為(，2)；若a=0時，解集為；若0a1，解集為(2，)。綜上所述：當a1時解集為(，)(2，+)；當0a1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a0時，解集為(，2)。點評：考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系。本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學思想。 M=是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點是集合之間的關(guān)系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理，易出錯。例6（1）（06重慶理，15）設(shè)a0,n1,函數(shù)f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.則不等式logn(x2-5x+7) 0的解集為_ _；（2）（06重慶文，15）設(shè)，函數(shù)有最小值，則不等式的解集為 。解析：（1）由于函數(shù)有最大值，則。所以原不等式可轉(zhuǎn)化為，又因為恒成立，由解得；（2）由于函數(shù)有最小值，故。原不等式化為，即。點評：含參數(shù)指數(shù)、對數(shù)不等式的處理原則是轉(zhuǎn)化為一般的不等式，兼顧到底數(shù)的分類標準為兩種情況，這也是分類的標準。題型4：線性規(guī)劃問題例7（1）（06安徽，10）如果實數(shù)滿足條件， 那么的最大值為（ ） A B C D（2）（06天津理，3）設(shè)變量、滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為（ ）A B C D解析：（1）當直線過點(0，-1)時，最大，故選B；（2）B點評：近年來線性規(guī)劃的一些基本運算問題成為出題的熱點，該部分知識大多都屬于基礎(chǔ)題目，屬于中低檔題目。例8（1）（06四川理，8）某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學模型中，約束條件為（ ）（A） （B）（C） （D）（2）（06浙江理，3）在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（ ）(A) (B) (C) (D)（3）（06北京理，13）已知點 P（x，y）的坐標滿足條件點O為坐標原點，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。解析：（1）約束條件為，選C；（2）A；（3）、。點評：線性規(guī)劃的應(yīng)用題也是高考的熱點，諸如求面積、距離、參數(shù)取值的問題經(jīng)常出現(xiàn)。題型5：不等式的應(yīng)用例9（06湖南理，20）對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：為，要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙: 分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。()分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少；()若采用方案乙，當為某固定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響。解析：()設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19。由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程：解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。 因為當,故方案乙的用水量較少。（II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得，（*），于是+， 當為定值時,，當且僅當時等號成立。此時 將代入（*）式得故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為：, 最少總用水量是.當，故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說明，隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。點評：通過實際情景建立函數(shù)關(guān)系式求解不等式問題成為高考的亮點，解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，通過函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性建立不等關(guān)系求得結(jié)果。例10（1998全國文24、理22）如圖61，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計）?解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，則y=，其中k0為比例系數(shù)，依題意，即所求的a、b值使y值最小。根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a0，b0），得b=（0a30，于是。當a+2=時取等號，y達到最小值。這時a=6，a=10（舍去） 將a=6代入式得b=3，故當a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。解法二：依題意，即所求的a、b值使ab最大。由題設(shè)知4b+2ab+2a=60（a0，b0），即a+2b+ab=30（a0，b0）。a+2b2 2ab30，當且僅當a=2b時，上式取等號.由a0，b0，解得0ab18即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18。2b218解得b=3，a=6。故當a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。點評：本題考查綜合應(yīng)用所學數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的能力，考查函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識，考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理解能力、建模能力。五思維總結(jié)1在復(fù)習不等式的解法時，加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓練與復(fù)習解不等式的過程是一個等價轉(zhuǎn)化的過程，通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式（組），以快速、準確求解。加強分類討論思想的復(fù)習.在解不等式或證不等式的過程中，如含參數(shù)等問題，一般要對參數(shù)進行分類討論.復(fù)習時，學生要學會分析引起分類討論的原因，合理的分類，做到不重不漏。加強函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓練。不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化.如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法.在不等式的證明中，加強化歸思想的復(fù)習，證不等式的過程是一個把已知條件向要證結(jié)論的一個轉(zhuǎn)化過程，既可考查學生的基礎(chǔ)知識，又可考查學生分析問題和解決問題的能力，正因為證不等式是高考考查學生代數(shù)推理能力的重要素材，復(fù)習時應(yīng)引起我們的足夠重視。2強化不等式的應(yīng)用突出不等式的知識在解決實際問題中的應(yīng)用價值，借助不等式來考查學生的應(yīng)用意識。高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實際應(yīng)用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應(yīng)用能力，是提高解綜合題能力的關(guān)鍵.因此，在復(fù)習時應(yīng)加強這方面訓練，提高應(yīng)用意識，總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律，才能提高