余弦定理(第一課時).doc

余 弦 定 理（第一課時）一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修（五）（蘇教版）第一章解三角形中余弦定理（第一課時）,其主要任務(wù)是利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理,正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式.余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律,是初中勾股定理內(nèi)容的直接延拓,是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的交匯運(yùn)用,是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具,因此具有廣泛的應(yīng)用價值.二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理有關(guān)內(nèi)容,初步掌握了正弦定理的證明及應(yīng)用,并明確了用正弦定理可以來解哪些類型的三角形.在對余弦定理教學(xué)時,考慮到它比正弦定理形式上更加復(fù)雜,教師可以有目的的提供一些供研究的素材,并作必要的啟發(fā)和引導(dǎo),讓學(xué)生通過類比、聯(lián)想、質(zhì)疑、探究等步驟,輔以小組合作學(xué)習(xí),建立猜想獲得命題,再想方設(shè)法去證明.三、設(shè)計思路本課按新課程要求,利用師生互動合作,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,使學(xué)生成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,把學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點,引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗,激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的潛能.四、教學(xué)目標(biāo)掌握余弦定理的內(nèi)容及證明余弦定理的向量方法,會用余弦定理解決基本的解三角形問題.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識的聯(lián)系,來理解事物間的普遍聯(lián)系及辯證統(tǒng)一.五、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點是探究和證明余弦定理的過程;教學(xué)難點是用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路過程.六、教學(xué)過程：教學(xué)環(huán)節(jié)合作探究學(xué)情分析與設(shè)計意圖復(fù)習(xí)鞏固1三角形的正弦定理：=2R;2三角形正弦定理主要解決哪幾類問題的三角形？（1） 邊角互化（2） 解三角形：a、已知兩角和任一邊,求其它兩邊和一角;b、兩邊和其中一邊對角,求另一邊的對角,進(jìn)而求其它的邊和角.復(fù)習(xí)回顧鞏顧舊知問題創(chuàng)設(shè)1、試判斷下列三角形的類型（1）、以3,4,5為各邊長的三角形是_三角形（2）、以2,3,4為各邊長的三角形是_三角形（3）、以4,5,6為各邊長的三角形是_三角形2、在ABC中b3,c1,A60,你能求出a邊長嗎？備注：學(xué)生對于第1題中（1）題可以很順利的根據(jù)勾股定理的逆定理作出判斷,但對于（2）、(3)及第2題無法用直角三角形勾股定理的的逆定理作出判斷時,學(xué)生不知如何下手,可引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、實踐作圖方面進(jìn)行估計判斷.啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容,解決問題時需要使用余弦定理,借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī).自學(xué)質(zhì)疑你有更好的具體量化方法嗎？引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論,引發(fā)學(xué)生的積極討論.引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)知識入手,選擇簡潔的處理工具來解決問題.互動探究1、 回憶正弦定理的證明過程;先復(fù)習(xí)向量知識,在利用數(shù)量積時,角度最易出現(xiàn)錯誤,要讓學(xué)生從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題,從而鞏固向量知識.2、如下圖,長為b的向量如何用長為a、c的向量表示？ 選以為基底,夾角為,關(guān)系式是：;選以為基底,夾角為,關(guān)系式是：.3、能否利用向量法推導(dǎo)出：在三角形里已知三邊及任兩邊的夾角四個兩之間的關(guān)系？ABC如圖：設(shè),由三角形法則有同理,讓學(xué)生利用相同方法推導(dǎo),先通過回顧正弦定理的證明方法然后通過類比提出是否能用向量的數(shù)量積來判斷;教學(xué)中重點在如何將向量等式數(shù)量化,同時,讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)中化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想.歸納概括余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.歸納知識要點并進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)特征,強(qiáng)化記憶.交流總結(jié)1、注意：定理的結(jié)構(gòu)“平方”、“夾角”、“余弦”等.2、觀察余弦定理,指明了三邊長與其中一角的具體關(guān)系,并發(fā)現(xiàn)a與A,b與B,C與c之間的對應(yīng)表述,而且三邊長的平方在余弦定理中同時出現(xiàn). 使學(xué)生明確對應(yīng)關(guān)系,樹立方程思想.方法應(yīng)用歸納總結(jié)你能解答問題創(chuàng)設(shè)中的問題？學(xué)生應(yīng)用新學(xué)知識解決問題,鞏固知識點.如何利用已知條件判斷三角形的形狀？利用余弦定理可以確定三角形每個內(nèi)角的范圍,因此能很快的對三角形的形狀作出判斷.在判斷的過程中,一般先找到最大的角（即最大邊所對應(yīng)的角）,再判斷這個最大角是銳角、直角還是鈍角. 用準(zhǔn)確的量化關(guān)系去解決問題,根據(jù)邊長來判斷三角形的形狀.知識聯(lián)系余弦定理的公式還可以如何用？1、余弦定理的推論：1、 當(dāng)夾角為90時,即三角形為直角三角形時即為余弦定理.2、 應(yīng)用范圍：知三求一培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識能舉一反三的能力和善于發(fā)現(xiàn)的能力. 注意余弦定理公式的變形;在解決三角形相關(guān)問題中,勾股定理是余弦定理特例.知識應(yīng)用例1：已知ABC中,a=4,b=5,c=6, 求A（精確到0.1）解：略思維啟迪：(1)由題中已知三角形的三邊長,聯(lián)想到余弦定理,求出cosA,從而求出A的值.ABC例2：A,B兩地之間隔著一個水塘,先選擇另一點C,測得CA=182m,CB=126m,ACB=63,求AB兩地之間的距離（精確到1m）. 解：略思維啟迪：(1)題中已知兩邊長及夾角,從而聯(lián)想到余弦定理,求出第三邊長.例3：用余弦定理證明：在ABC中,當(dāng)C為銳角時,;當(dāng)C為鈍角時,.解：略思維啟迪：(1)由題要證與的大小關(guān)系,可聯(lián)想到余弦定理公式中出現(xiàn),從而可由余弦定理入手;再根據(jù)當(dāng)C為銳角時cosC0,當(dāng)C為鈍角時cosC0從而證得結(jié)論.應(yīng)用余弦定理可解決：（a）已知三角形三邊求三角形內(nèi)角的問題;（b）已知三角形兩邊及它們的夾角求第三邊的問題;（c）根據(jù)三角形的三邊來判斷三角形的形狀.練習(xí)鞏固1、在ABC中,已知b6,c8,B=30求a2、銳角ABC中b1,c2,則a取值為3、在ABC中若有,你能判斷這個三角形的形狀嗎？若呢？通過練習(xí)鞏固,使學(xué)生知識結(jié)構(gòu)更穩(wěn)固,培養(yǎng)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力.知識深化1、 在ABC中a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊,如果（sin（A-B）=（ sin（A+B）,試判斷三角形的形狀.思維啟迪：利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化,轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系.2、已知ABC中,求c邊長思維啟迪：（1）用正弦定理分析引導(dǎo);（2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解;（3）比較兩種方法的利弊.能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決,更具有優(yōu)越性.繼續(xù)深化正弦、余弦定理,尤其是余弦定理的方程思想求解問題.課堂小結(jié)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？2、從本課中你學(xué)到了哪些知識和方法？余弦定理能解決的問題：（1）已知三邊求角;（2）已知兩邊和它們的夾角求第三邊和其它兩個角;（3）判斷三角形的形狀.3、解三角形的定理選用：（1）兩角一邊正弦定理 （2）兩邊一角兩邊及一邊對角正（余）弦定理 兩邊及夾角 余弦定理（3）三邊余弦定理通過知識回顧,使學(xué)生鞏固知識點體會收獲.板書設(shè)計1、推導(dǎo)余弦定理及其推論2、例題講解3、練習(xí)指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理的比較作業(yè)設(shè)計第15頁1、3題知識鞏固七、教學(xué)反思本節(jié)課是從特殊到一般,采用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行