高等數(shù)學(xué)數(shù)量積向量積.ppt

1 三 向量的混合積 第二節(jié) 一 兩向量的數(shù)量積 二 兩向量的向量積 數(shù)量積向量積 混合積 第七章 2 一 兩向量的數(shù)量積 沿與力夾角為 的直線移動(dòng) 1 定義 設(shè)向量 的夾角為 稱(chēng) 數(shù)量積 點(diǎn)積 內(nèi)積 讀作 點(diǎn)乘 3 故 有 注 此兩式也可以用點(diǎn)積來(lái)計(jì)算投影的公式 例 求向量 在向量 方向上的投影 解 故 4 2 性質(zhì) 為兩個(gè)非零向量 則有 5 3 運(yùn)算律 1 交換律 2 結(jié)合律 3 分配律 事實(shí)上 當(dāng) 時(shí) 顯然成立 6 例 證明三角形余弦定理 證 則 如圖 設(shè) 7 4 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 設(shè) 則 當(dāng) 為非零向量時(shí) 由于 兩向量的夾角公式 得 8 例 已知三點(diǎn) AMB 解 則 求 故 例 在xoy面求一向量 使得 且 其中 答案 9 例 已知某向量模為2 與 軸 軸的夾角相等 與 軸的夾角是前者的兩倍 求此向量 解設(shè)所求向量為 則其方向角 則 且有 所以 或 即 或 從而 或 又 或 10 例 設(shè) 為單位向量 且滿足 求 解 將上面的三式相加 得 此題也利用等式點(diǎn)乘得出結(jié)果 11 二 兩向量的向量積 引例 設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn) 有一個(gè)與杠桿夾角為 符合右手規(guī)則 12 1 定義 定義 向量 方向 叉積 外積 記作 且符合右手規(guī)則 模 向量積 思考 右圖三角形面積 S 右手規(guī)則 讀作 叉乘 的幾何意義 以 為邊的平行四邊形的面積 注 13 2 性質(zhì) 為非零向量 則 3 運(yùn)算律 2 分配律 3 結(jié)合律 證明略 證明 14 在空間直角坐標(biāo)系中i i j j k k i j j k k i 討論 提示 i i j j k k 0 i j k j k i k i j 15 4 向量積的坐標(biāo)表示式 設(shè) 則 16 向量積的行列式計(jì)算法 行列式計(jì)算見(jiàn)P339 P342 17 例設(shè)a 2 1 1 b 1 1 2 計(jì)算a b 設(shè)a axi ayj azk b bxi byj bzk 則 aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 解 2i i 4j j 2k k i 5j 3k 注 設(shè) 為非零向量 則 18 例 已知三點(diǎn) 角形ABC的面積 解 如圖所示 求三 19 例 已知 求一個(gè)單位向量 使之既垂直于 又垂直于 解一根據(jù)向量積的定義 滿足既垂直于 又垂直于 可得 解二設(shè)所求向量為 利用題中條件 解三個(gè)方程組 可得 即 20 三 向量的混合積 1 定義 已知三向量 稱(chēng)數(shù)量 混合積 幾何意義 為棱作平行六面體 底面積 高 故平行六面體體積為 則其 21 2 混合積的坐標(biāo)表示 設(shè) 22 3 性質(zhì) 1 三個(gè)非零向量 共面的充要條件是 2 輪換對(duì)稱(chēng)性 可用三階行列式推出 23 內(nèi)容小結(jié) 設(shè) 1 向量運(yùn)算 加減 數(shù)乘 點(diǎn)積 叉積 24 混合積 2 向量關(guān)系 25 思考與練習(xí) 1 設(shè) 計(jì)算 并求 夾角 的正弦與余弦 2 用向量方法證明正弦定理 3 設(shè) 求向量 間的夾角 4 已知向量 的夾角 且 26 思考與練習(xí) 1 設(shè) 計(jì)算 并求 夾角 的正弦與余弦 答案 2 用向量方法證明正弦定理 27 證 由三角形面積公式 所以 因 28 3 設(shè) 求向量 間的夾角 兩式相減 解得 且 且 解 29 4 1 已知向量 的夾角 且 解 3