數(shù)學(xué)物理方法第(梁昆淼)部分知識(shí)點(diǎn).pdf

1 數(shù)學(xué)物理方法第 梁昆淼 部分知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方法第 梁昆淼 部分知識(shí)點(diǎn) 1 復(fù)變函數(shù) 2 1 1 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算 2 1 2 復(fù)變函數(shù) 2 1 3 導(dǎo)數(shù) 2 1 4 解析函數(shù) 2 2 復(fù)變函數(shù)的積分 3 2 1 復(fù)變函數(shù)的積分 3 2 2 柯西定理 3 2 4 柯西公式 4 3 級(jí)數(shù) 4 3 2 冪級(jí)數(shù) 4 3 4 解析函數(shù)與冪級(jí)數(shù) 4 3 5 洛朗級(jí)數(shù) 5 3 8 孤立奇點(diǎn) 5 4 留數(shù) 5 4 1 柯西公式的另一種形式 5 4 2 用級(jí)數(shù)分析來分析留數(shù)定理 5 4 3 無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 6 4 4 留數(shù)定理計(jì)算型積分 6 4 7 圍線積分方法 6 5 傅里葉變換 7 5 1 傅里葉級(jí)數(shù) 7 5 2 傅立葉積分 7 5 3 傅立葉變換 8 5 4 拉普拉斯變換 8 7 數(shù)學(xué)物理定解問題 9 7 1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出 9 本征函數(shù)法 10 弦振動(dòng)方程的第一類邊值問題 10 熱傳導(dǎo)方程第二類邊值問題 11 勒讓德多項(xiàng)式 13 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 13 勒讓德方程的本征方程 15 貝塞爾函數(shù) 16 2 1 1 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 1 11 1 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算 復(fù)數(shù)的代數(shù)式 復(fù)數(shù)的三角式 復(fù)數(shù)的指數(shù)式 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律 結(jié)合律 乘法滿足交換律 結(jié)合律 分配率 1 21 2 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 例 分別求解方程 sinz 2 cosz 2 若函數(shù) xf在 0 z的領(lǐng)域內(nèi) 包括 0 z本身 已經(jīng)單值確定 并且 0lim 0 zfzf zz 則稱 f z 在 0 z點(diǎn)連續(xù) 1 31 3 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 若函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 則稱函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo) f z u x y iv x y 的導(dǎo)數(shù)存在的條件 i x u y u x v y v 在點(diǎn)不僅存在而且連續(xù) ii C R 條件在該點(diǎn)成立 C R 條件為 y yxu x yxv y yxv x yxu 1 41 4 解析函數(shù)解析函數(shù) 若函數(shù) 在點(diǎn) 及其鄰域上處處可導(dǎo) 則稱 在 點(diǎn)解析的 在區(qū)域 B 上每一點(diǎn)都解析 則稱 是區(qū)域 B 上的解析函數(shù) 解析的必要條件 函數(shù) 在點(diǎn) z 的領(lǐng)域內(nèi) i x u y u x v y v 存在 ii C R 條件在該點(diǎn)成立 解析的充分條件 3 函數(shù) f z u iv 在領(lǐng)域內(nèi) i x u y u x v y v 不僅存在而且連續(xù) ii C R 條件在該點(diǎn)成立 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 若函數(shù) 在區(qū)域 B 上解析 則 u v 均為 B 上的調(diào)和函數(shù) 調(diào)和函數(shù) 當(dāng)一個(gè)復(fù)函數(shù) 中的 u v 同時(shí)滿足 2 2 x u 2 2 y u 0 它們又稱為共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù) 由此可見解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù) 但是任意的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)作為虛實(shí)兩部形成的函數(shù)不一 定是解析函數(shù) 因?yàn)樗鼈儾灰欢M足 C R 條件 當(dāng)知道 中的 時(shí) 如何求 通過 C R 條件列微分方程 2 2 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分 2 12 1 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分 復(fù)變函數(shù)的積分歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的曲線積分 llll dyyxudxyxvidyyxvdxyxuidydxyxivyxudzzf 若曲線l由參數(shù)方程 txx tyy 21 ttt 給出 則有dtty idttxdttzidydxdz 可得積分的計(jì)算公式 dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxu dtty itxtytxivtytxu dttztytxivtytxuidydxyxivyxudzzf t t t t t t t tll 2 1 2 1 2 1 2 1 性質(zhì) 性質(zhì) 1 常數(shù)因子可以移到積分號(hào)之外 2 函數(shù)的和的積分等于各函數(shù)的積分之和 3 反轉(zhuǎn)積分路徑 積分變號(hào) 4 全路徑上的積分等于各段上積分之和 5 積分不等式 1 6 積分不等式 2 其中 M 是 在 上的最大值 是 的全長 2 22 2 柯西定理柯西定理 4 2 42 4 柯西公式柯西公式 柯西公式 柯西公式 柯西導(dǎo)數(shù)公式柯西導(dǎo)數(shù)公式 d z f i n zf C n n 1 2 3 3 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 3 23 2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法 對(duì)于冪級(jí)數(shù) i 當(dāng)極限值小于 1 時(shí) 冪級(jí)數(shù)在點(diǎn) z 處絕對(duì)收斂 ii 當(dāng)極限值大于 1 時(shí) 冪級(jí)數(shù)在點(diǎn) z 處發(fā)散 iii 當(dāng)極限值等于 1 時(shí) 斂散性不能判斷 收斂半徑 收斂半徑 若 則冪函數(shù)絕對(duì)收斂 定理定理 冪級(jí)數(shù)的和是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù) 3 43 4 解析函數(shù)與冪級(jí)數(shù)解析函數(shù)與冪級(jí)數(shù) 泰勒展開泰勒展開 2 1 2 n zz ze n z 12 1 5 3 sin 12 n 53 n zzz zz n 2 4 2 1cos 242 n zzz z n 1 1 32 1ln 1 n 32 n zzz zz n 5 3 53 5 洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù) 洛朗級(jí)數(shù) k k k azczf d a f i ck 2 1 稱為洛朗系數(shù) 3 83 8 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 非孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn) 若函數(shù) f z 在 z a 點(diǎn)的無論多么小的領(lǐng)域內(nèi) 總有除 z a 以外的奇點(diǎn) 則 z a 是 f z 的非孤立 奇點(diǎn) 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 若函數(shù)在 z a 不可導(dǎo) 或無定義 而在去心領(lǐng)域 0 z a 解析 則 z a 是 f z 的一個(gè)孤立奇 點(diǎn) 奇點(diǎn)分類奇點(diǎn)分類 有限遠(yuǎn)奇點(diǎn) 極限性質(zhì) 洛朗級(jí)數(shù) 可去奇點(diǎn) limf z 有限值 不含負(fù)冪項(xiàng) 極點(diǎn) limf z 含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng) 本性奇點(diǎn) limf z 無定值 含無限個(gè)負(fù)冪項(xiàng) 4 4 留數(shù)留數(shù) 4 14 1 柯西公式的另一種形式柯西公式的另一種形式 一階極點(diǎn)留數(shù)一階極點(diǎn)留數(shù) 若 g z 在單連區(qū)域 D 內(nèi)解析 a 在 D 內(nèi) 在 D 內(nèi)作一環(huán)繞點(diǎn) a 的圍線 C 令 f z g z z a 則有 C asfidzzf Re2 lim Rezfazasf az 一階極點(diǎn)留數(shù)的一種算法一階極點(diǎn)留數(shù)的一種算法 如果 z z zf 那么 Res a a af m 階極點(diǎn)的留數(shù)公式 1 1 Re 1 1 az m m m zfaz dz d m asf 4 24 2 用級(jí)數(shù)分析來分析留數(shù)定理用級(jí)數(shù)分析來分析留數(shù)定理 k k k azczf 則有 Res 1 caf 多連區(qū)域的柯西定理多連區(qū)域的柯西定理 如果在圍線 C 的內(nèi)部包含 n 個(gè)孤立奇點(diǎn) 利用多連區(qū)域的柯西定理就有 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 極限性質(zhì) 洛朗級(jí)數(shù) 可去奇點(diǎn) limf z 有限值 不含正冪項(xiàng) 極點(diǎn) limf z 含有限個(gè)正冪項(xiàng) 本性奇點(diǎn) limf z 無定值 含無限個(gè)正冪項(xiàng) 6 n k k C asfidzzf 1 Re2 4 34 3 無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 1 2 1 Recdzzf i sf 定理定理 1 如果當(dāng) z 時(shí) 若 zf z 0 則 Resf 0 定理定理 2 0 Re Resf a 1 k sf n k 4 44 4 留數(shù)定理計(jì)算型積分留數(shù)定理計(jì)算型積分 第一種類型 第一種類型 2 0 sin cosdR型積分型積分 令 i ez izdzd 2 1 cos 1 zz 2 1 sin 1 zz 1 2 0 sin cos z dzzfdR 在單位圓內(nèi)各個(gè)奇點(diǎn)的 留數(shù)之和 第二種類型 第二種類型 dxxf 型積分 型積分 注意 需要滿足條件0 lim z zzf idxxf 2 在上半平面的奇 點(diǎn)留數(shù)之和 界限上的乘以 0 5 第三種類型 第三種類型 dxexf imx 型積分型積分 注意需要符合條件0 lim z zf i2 dxexf imx f z eimz在上半平面的奇點(diǎn)留數(shù)之和 4 74 7 圍線積分方法圍線積分方法 泊松積分 泊松積分 abax e a bxdxe 4 0 22 2 1 cos 菲涅爾積分 菲涅爾積分 22 1 sincos 0 2 0 2 dxxdxx 7 5 5 傅里葉變換傅里葉變換 5 15 1 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 若函數(shù) 以 2 為周期 將 展開為級(jí)數(shù) 傅里葉系數(shù) 1 1 其中 2 0 1 0 若周期函數(shù)若周期函數(shù) f x 是奇函數(shù) 是奇函數(shù) 則展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù) 1 若周期函數(shù)若周期函數(shù) f x 是偶函數(shù) 是偶函數(shù) 則展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù) 1 定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開 定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開 0 0 這時(shí)應(yīng)延托成為奇周期的函數(shù) 0 0 這時(shí)應(yīng)延托成為偶周期的函數(shù) 5 25 2 傅立葉積分傅立葉積分 0 sin cos dkkxkDkxkCxf dkfkD dkfkC sin 1 cos 1 C k 是偶函數(shù) D k 是奇函數(shù) 傅里葉公式傅里葉公式 令 2 1 kiDkCkf 則dkekfxf ikx d efkf ik 2 1 1 kfFxf xfFkf 8 5 35 3 傅立葉變換傅立葉變換 線性定理線性定理 22112211 fFCfFCfCfCF 導(dǎo)數(shù)定理導(dǎo)數(shù)定理 xfikFxfF xfFik dx xfd F n n n 積分定理積分定理 1 0 xfF ik dfF x x 延遲定理延遲定理 0 0 xfFexxfF ikx 相似定理相似定理 1 a k f a axfF 卷積定理卷積定理 2 2121 kfkfdxffF 5 45 4 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 dtetp pt 0 注意當(dāng) t 1 時(shí) 42 cos 2 2 3 xO m x n xJm M 階貝塞爾方程的本征問題階貝塞爾方程的本征問題 0 2 2 R m d dR d d 自然邊界條件自然邊界條件 0 00 k 邊界條件 邊界條件 0 b R d dR 本征函數(shù) 本征函數(shù) nmn JR 本征值 本征值 0 bJbJ mm 的解的解 18 正交性 正交性 b jmnm dJJ 0 0 模 模 b nmn dJN 0 22 1 2 2 2 2 2 bJ b m bJ a b nm n nm 展開定理展開定理 1 n nmnJ ff b nm n n dJf N f 0 2 1 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì) 母函數(shù) 母函數(shù) m m m z z x z