條件數(shù)學期望及其應用.doc

條件數(shù)學期望及其應用The ways of finding the inverse matrix and its applicationAbstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses its application in geometry and in physical.Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area.0前言在曲線積分中，被積函數(shù)可以是標量函數(shù)或向量函數(shù).積分的值是路徑各點上的函數(shù)值乘上相應的權重（一般是弧長，在積分函數(shù)是向量函數(shù)時，一般是函數(shù)值與曲線微元向量的標量積）后的黎曼和.帶有權重是曲線積分與一般區(qū)間上的積分的主要不同點.物理學中的許多公式在推廣之后都是以曲線積分的形式出現(xiàn).曲線積分是物理學中重要的工具.1條件數(shù)學期望1.1條件數(shù)學期望的定義定義1 設是一個離散型隨機變量，取值為，分布列為.又事件有，這時 為在事件發(fā)生條件下的條件分布列.如果有則稱為隨機變量在條件下的條件數(shù)學期望（簡稱條件期望）定義2 設是一個連續(xù)型隨機變量，事件有，且在條件之下的條件分布密度函數(shù)為若稱為隨機變量在條件下的條件數(shù)學期望定義3 設是離散型二維隨機變量，其取值全體為 ，聯(lián)合分布列為 ，在的條件下的條件分布列為若 ，則 為隨機變量在條件下的條件數(shù)學期望定義4 設是連續(xù)型二維隨機變量，隨機變量在的條件下的條件密度函數(shù)為，若 ，則稱 為隨機變量在條件下的條件數(shù)學期望1.2條件數(shù)學期望的性質定理1 條件期望具有下面的性質：（1） ，其中，且假定存在；（2） ；（3） 如果為可測，則；（4） 如果與代數(shù)獨立，則;（5） 如果是代數(shù)的子代數(shù)，則；（6） 如果是上的下凸函數(shù)，則；定理2 條件期望的極限定理：（1）單調收斂定理：若，則在上，則（2）引理：若，則在上，則（3） 控制收斂定理：若可積，且，則1.3條件數(shù)學期望的求法在現(xiàn)代概率論體系中，條件期望的概念只是一種理論上的工具，在其定義中沒有包含算法，所以求條件期望概率往往很難，需要技巧本文對兩種不同情形下的條件期望的求法做出討論方法一：利用問題本身所具有的某種對稱性求解例1設時獨立同分布隨機變量，記，求解 易證則即 方法二：利用線性變換將隨機變量分解為關于作為條件的域可測或獨立的隨機變量之和，利用條件期望的性質求和例 2 設有正態(tài)樣本 ，統(tǒng)計量，求解 令，則作正交變換：，其中為正交陣，第一行為，則有，即獨立， ，從而，關于可測，所以 由以上例題可以看出，條件期望的求法是一個復雜的問題，我們必須從問題本身出發(fā)化簡，將其轉化為可測或獨立于代數(shù)的隨機變量，然后運用條件期望的性質求解1.4全期望公式設事件是一完備事件組，即互不相交，且，由全概率公式有 這時若,則有 如同全概率公式一樣，上式可稱為全期望公式若是一個完備事件組，則也有全期望公式 （注意，的密度有公式2條件數(shù)學期望的應用2.1條件數(shù)學期望在實際問題中的應用條件數(shù)學期望在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中有重要的作用，在實際問題中也有大量應用例如人們常說體育要從娃娃抓起某少體校要在小學中選拔一批小學生進行重點培養(yǎng)，為我國籃球，排球運動準備后備力量對一個運動員來說，他（她）的身高顯然是一個非常重要的因素于是問題產生了，在一大群各項素質（包括目前的身高）都差不多的七八歲的小朋友中，用什么辦法來選拔一批將來（十年以后）身材會比較高的幼苗進行重點培養(yǎng)呢？科學工作者發(fā)現(xiàn)了小孩的足長與他（她）長大后的身高之間有密切的關系我國的體育科研人員對16個省市的幾萬名青少年兒童進行了觀測，建立了下述預測公式：成年身高=（少兒當年足長） （單位：cm）其中系數(shù)對不同性別，不同年齡組的兒童有不同的數(shù)值，其具體數(shù)值如下表： 性別年齡男女79.2188.73588.9308.41898.5728.075108.2427.759你大概很想知道上述預測公式是如何建立的？理論依據(jù)是什么？其實這正是現(xiàn)在所討論的條件數(shù)學期望，對（取定）歲的少年兒童來說，成年后的身高為，當年足長為則是一個二維隨機變量一般認為他們的聯(lián)合分布是正態(tài)分布如果我們已知的值，可以近似地以的條件下的條件數(shù)學期望來估計的值，即用作的預測值這時是的線性函數(shù)，這就是成年身高的預測公式例3 一全自動流水線正常生產時，產品中的一等品率為，二等品率為，等外品（即次品）率為，為保證產品質量，廠方規(guī)定當生產出一件等外品時，該流水線即停工檢修一次已知首次檢修之前共生產了件產品，求件產品中一等品件數(shù)的數(shù)學期望解 設表示前件產品中一等品的件數(shù)，令 據(jù)題意是要求因為在條件下，前件產品中沒有等外品，這時件產品中的一等品率是，而二等品率是，因此 這是參數(shù)為的二項分布即 實際上我們認為在條件下，前次試驗是重貝努里試驗，試驗成功（取到一等品）的概率是從直觀意義看這是明顯的，這也正是直接討論條件分布的簡捷之處2.2全期望公式的應用例4 在貝努里試驗中，每次試驗成功的概率為，試驗進行到出現(xiàn)首次成功時停止求平均需試驗多少次？解 設為首次成功需做試驗的次數(shù)，問題是求定義 由全期望公式 ，已知，在，即首次試驗成功的條件下，自然有，因此在即首次首次實驗失敗的條件下，從第二次實驗開始可以看作重新開始，因此，第一項的1是已經試驗了一次，以后的情況與從頭開始一樣所以 ， 原來求數(shù)學期望需要知道分布，但在上例的做法中可以不必知道分布，充分利用了隨機變量的特性，并借助全期望公式，簡化了計算，這是真正有概率特點的做法例5 設電力公司每月可以供應某電廠的電力服從（單位：萬度）上的均勻分布，而該工廠每月實際生產所需要的電力服從上的均勻分布如果工廠能從電力公司得到足夠的電力，則每一萬度電可以創(chuàng)造30萬元利潤，若工廠從電力公司得不到足夠的電力，則不足部分由工廠通過其他途徑自行解決，每一萬度電只有10萬元利潤問該廠每月的平均利潤為多大？解 設電力公司每月供應電廠的電力為（萬度），工廠每月實際需要的電力為（萬度），工廠每月的利潤為（萬元）由題設條件知 于是當時，有 由式 所以該工廠平均每月的利潤為433萬元2.3預測與回歸對于二維隨機變量，如果已知其中一個隨機變量的值，要根據(jù)這一信息對另一個隨機變量的取值作出預測，這樣的問題在人們的實踐中可以說是比比皆是，常稱它們?yōu)椤邦A測問題”前面我們提議用作為的預測值，這樣做的依據(jù)是什么呢？一般地，我們可以選取的一個函數(shù)作為的預測值這時預測的誤差是，由于絕對值運算在數(shù)學上處理不方便，我們用代替它自然應該使誤差盡可能地小，但是一個隨機變量，因此很自然的要求它的平均值盡可能地小這樣的準則就稱為均方誤差最小準則假設為連續(xù)型二維隨機變量，密度函數(shù)為，則 對每個，當時，能使達到最小因此取時，達到最小，這就證明了，按照均方誤差最小準則，是的最佳預測這就是選取條件數(shù)學期望作的預測值的理論依據(jù)對離散型情形也可用相同的方法論證上述結論函數(shù)稱為關于的回歸函數(shù)一般情況下，求是比較困難的因此，把預測問題簡化，選取的線性函數(shù)作為的預測值同樣采用均方誤差最小準則，選取常數(shù)使得 取最小值我們早已知道，若固定， 時，取最小值.我們只需求，使達到最小值，即應取為 ，我們稱 為關于的回歸直線