【教學(xué)設(shè)計(jì)】《垂徑定理》（北師大）.doc

垂徑定理教學(xué)設(shè)計(jì) 教材分析圓是一種特殊圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。該節(jié)內(nèi)容分為2課時(shí)。本節(jié)課是第1課時(shí)，學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)，能用折疊的方法得到圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。其對(duì)稱軸是任一條過圓心的直線。 教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與能力目標(biāo)】1理解圓的軸對(duì)稱性及其相關(guān)性質(zhì)；2利用圓的軸對(duì)稱性研究垂徑定理及其逆定理?！具^程與方法目標(biāo)】經(jīng)歷探索圓的對(duì)稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法?！厩楦袘B(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】1 培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索，相互合作交流的精神。2 通過學(xué)習(xí)垂徑定理及其逆定理的證明，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動(dòng)精神。 教學(xué)重難點(diǎn)3【教學(xué)重點(diǎn)】利用圓的軸對(duì)稱性研究垂徑定理及其逆定理?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】和圓有關(guān)的相關(guān)概念的辨析理解。 課前準(zhǔn)備 （提前一天布置）1. 每人制作兩張圓紙片（最好用16K打印紙）2. 預(yù)習(xí)課本P74P76內(nèi)容 教學(xué)過程第一環(huán)節(jié) 復(fù)習(xí)提問1、什么是軸對(duì)稱圖形？我們?cè)趯W(xué)過哪些軸對(duì)稱圖形？如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。2、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱圖形呢？如果是，它的對(duì)稱軸是什么? 你能找到多少條對(duì)稱軸? 歸納：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線。第二環(huán)節(jié) 講授新課活動(dòng)內(nèi)容：（一） 探索垂徑定理。 做一做1在一張紙上任意畫一個(gè)O，沿圓周將圓剪下，把這個(gè)圓對(duì)折使圓的兩半部分重合。2得到一條折痕CD。3在O上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作CD折痕 的垂線，得到新的折痕，其中，點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足。4將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B，如右圖問題：（1）觀察右圖，它是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關(guān)系？說一說你的理由。在O中，AB為弦，CD為直徑,CDAB提問：你在圖中能找到哪些相等的量？并證明你猜想的結(jié)論。證明過程見PPT。幾何語言如圖 CD是直徑, CDAB,AM=BM, 總結(jié)得出垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。（二） 講解例題及完成隨堂練習(xí)。例1如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中CD，點(diǎn)O是CD的圓心)，其中CD=600m，E為CD上一點(diǎn)，且OECD，垂足為F，EF=90 m求這段彎路的半徑。分析要求彎路的半徑，連接OC，只要求出OC的長(zhǎng)便可以了.因?yàn)橐阎狾ECD，所以CFCD300 cm，OFOE-EF，此時(shí)得到了一個(gè)RtCFO,利用勾股定理便可列出方程.解答過程見PPT。練習(xí)：1、如圖333所示，弦CD垂直于O的直徑AB，垂足為E，且CD，BD，則AB的長(zhǎng)為 ( ) A2 B3 C4 D52、如圖335所示，O的直徑AB垂直弦CD于P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD6 cm，則直徑AB的長(zhǎng)是 ( ) Acm Bcm Ccm Dcm3如圖所示，在O中，AB和AC是互相垂直的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E且AB8 cm，AC6 cm，那么O的半徑OA的長(zhǎng)為 。答案：1.B 2.D 3. 5 cm（三） 探索垂徑定理逆定理并完成隨堂練習(xí)。想一想：如下圖示，AB是O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點(diǎn)M。同學(xué)們利用圓紙片動(dòng)手做一做，然后回答：（1）上圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是，其對(duì)稱軸是什么?（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關(guān)系？說一說你的理由?？偨Y(jié)得出垂徑定理逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。討論（1）過圓心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所對(duì)優(yōu)弧 （5）平分弦所對(duì)的劣弧。（3）（2）（5）（1）（4）（1）（4）（5）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（3）（4）（2）（3）（1）（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。練習(xí)：1下列命題：圓心不同，直徑相等的兩圓是等圓；長(zhǎng)度相等的兩弧是等?。粓A中最長(zhǎng)的弦是直徑；圓的對(duì)稱軸是圓的直徑；圓不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形其中正確的有( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)2P為O內(nèi)一點(diǎn)，且OP8 cm，過P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為20 cm，則過P的最矩弦長(zhǎng)為 。3.如圖是一大型圓形工件被埋在土里而露出地表的部分.為推測(cè)它的半徑，小亮同學(xué)談了他的做法：先量取弦AB的長(zhǎng)，再量中點(diǎn)到AB的距離CD的長(zhǎng)，就能求出這個(gè)圓形工件的半徑.你認(rèn)為他的做法合理嗎？如不合理，說明理由；如合理，請(qǐng)你給出具體的數(shù)值，求出半徑。答案：1B 212 cm提示：過P的最長(zhǎng)弦為直徑，即直徑等于20 cm，最短弦為過P且垂直O(jiān)P的弦，利用勾股定理可求最短弦的一半長(zhǎng)為6 cm，則弦長(zhǎng)為12 cm3分析：由CD平分弧AB且垂直于AB,得CD經(jīng)過圓心O,連AO,由垂徑定理得AD=1/2AB, 設(shè)圓形工件半徑為r,OD=OC-CD=r-CD,在直角三角形AOD中，由勾股定理，求出r。 解、小亮的做法合理.取AB=8 m，CD=2 m, 設(shè)圓形工件半徑為r,r2=(r2)2+42. 得r=5(m).活動(dòng)目的：內(nèi)容（一）的主要目的就是通過學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，采用折疊的方法認(rèn)識(shí)圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線；內(nèi)容（二）的主要目的就是讓學(xué)生弄清和圓有關(guān)的這些概念，便于以后內(nèi)容的學(xué)習(xí)研究；內(nèi)容（三）的主要目的就是通過學(xué)生做一做，觀察，猜想，驗(yàn)證等的過程得到新知，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，以及再次體會(huì)研究圖形的多種方法。內(nèi)容（四）的主要目的讓學(xué)生應(yīng)用新知識(shí)構(gòu)造直角三角形，并通過方程的方法去解決幾何問題。內(nèi)容（五）的主要目的與內(nèi)容（三）相似。實(shí)際教學(xué)效果：E對(duì)于活動(dòng)（一），學(xué)生在探索圓是軸對(duì)稱圖形時(shí)，應(yīng)該把機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓他們相互交流，發(fā)表自己的想法；對(duì)于活動(dòng)（二），要注意讓學(xué)生借助圖形去認(rèn)識(shí)，并弄清他們之間的聯(lián)系和區(qū)別，還應(yīng)該注意補(bǔ)充一些概念，如半圓，劣弧，優(yōu)弧等；對(duì)于活動(dòng)（三），師生要按四個(gè)步驟共同操作，逐步引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，猜想到理論驗(yàn)證垂徑定理，并幫助學(xué)生去理解和記憶垂徑定理，如推理格式：如圖所示COAB，CD為O 的直徑 AM=BM，AD=BD，AC=BC。 另外在證明垂徑定理時(shí)，學(xué)生對(duì)如何證明平分弦所對(duì)的弧會(huì)較難表述。教師要運(yùn)用軸對(duì)稱性啟發(fā)引導(dǎo)。對(duì)于活動(dòng)（四），教師要引導(dǎo)學(xué)生如何應(yīng)用垂徑定理去更好銜接上，至于這一逆定理的探索過程與前面垂徑定理的探索過程類似，在完成隨堂練習(xí)時(shí)，教師要提示學(xué)生，符合條件圖形有三種情況：圓心在平行弦外，在其中一條弦上、在平行弦內(nèi)，但說理的思路都是一樣。第三環(huán)節(jié) 課堂小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)：1. 本節(jié)課我們探索了圓的軸對(duì)稱性；2. 利用圓的軸對(duì)稱性研究了垂徑定理及其逆定理；3. 垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問題?；顒?dòng)目的：通過回顧本節(jié)課經(jīng)歷的各個(gè)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生暢談自己的收獲和感想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生在互相交流中，對(duì)于歸納出來的內(nèi)容，會(huì)有各種表述，只要合理，教師都應(yīng)該鼓勵(lì)。中考鏈接1如圖336所示，在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D，已知AB2CD，AB的弦心距等于CD長(zhǎng)的一半，那么大圓與小圓的半徑之比是 ( ) A32 B2 C D542.O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)的最小值為_.最大值為_。3如圖，A、B是圓O上的兩點(diǎn)，AOB=120，C是AB弧的中點(diǎn)。（1）求證：AB平分OAC；（2）延長(zhǎng)OA至P使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長(zhǎng)。答案：1C提示：AB與CD的弦心距相同 2.分析：當(dāng)OM垂直于AB時(shí)OM最小，當(dāng)M于A或B重合時(shí)，OM最大解：當(dāng)OM垂直于AB時(shí)OM最小，這時(shí)AM=1/2AB=4,連AO得直角三角形AOM，由勾股定理得，0M=3,當(dāng)M于A或B重合時(shí)，OM最大為半徑53解答：（1）證明：連接OC，AOB=120，C是AB弧的中點(diǎn)，AOC=BOC=60，OA=OC，ACO是等邊三角