數(shù)學(xué)建模(概率模型).ppt

概率模型 傳送系統(tǒng)的效率 報(bào)童的訣竅 隨機(jī)存貯策略軋鋼中的浪費(fèi)隨機(jī)人口模型 提供網(wǎng)站 確定性因素和隨機(jī)性因素 隨機(jī)因素可以忽略 隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn) 隨機(jī)因素影響必須考慮 概率模型 統(tǒng)計(jì)回歸模型 馬氏鏈模型 隨機(jī)模型 提供網(wǎng)站 工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運(yùn)走 若工作臺數(shù)固定 掛鉤數(shù)量越多 傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多 背景 在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后 給出衡量傳送帶效率的指標(biāo) 研究提高傳送帶效率的途徑 9 1傳送系統(tǒng)的效率 問題分析 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn) 應(yīng)假定工人們的生產(chǎn)周期相同 即每人作完一件產(chǎn)品后 要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺 使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走 要么沒有空鉤經(jīng)過 迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn) 可以用一個(gè)周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例 作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo) 工人們生產(chǎn)周期雖然相同 但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻不會一致 可以認(rèn)為是隨機(jī)的 并且在一個(gè)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性相同 模型假設(shè) 1 n個(gè)工作臺均勻排列 n個(gè)工人生產(chǎn)相互獨(dú)立 生產(chǎn)周期是常數(shù) 2 生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài) 每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)是等可能的 3 一周期內(nèi)m個(gè)均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方 到達(dá)第一個(gè)工作臺的掛鉤都是空的 4 每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時(shí)都能且只能觸到一只掛鉤 若這只掛鉤是空的 則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走 若該鉤非空 則這件產(chǎn)品被放下 退出運(yùn)送系統(tǒng) 模型建立 定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù) 記作s 待定 與生產(chǎn)總數(shù)n 已知 之比 記作D s n 若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p 則s mp 為確定s 從工人考慮還是從掛鉤考慮 哪個(gè)方便 設(shè)每只掛鉤為空的概率為q 則p 1 q 如何求概率 設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r 則q rn 設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u 則r 1 u u 1 m 一周期內(nèi)有m個(gè)掛鉤通過每一工作臺的上方 模型解釋 若 一周期運(yùn)行的 掛鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺數(shù)n 則 傳送帶效率 一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比 定義E 1 D 一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比 提高效率的途徑 增加m 習(xí)題1 當(dāng)n遠(yuǎn)大于1時(shí) E n 2m E與n成正比 與m成反比 若n 10 m 40 D 87 5 89 4 9 2報(bào)童的訣竅 問題 報(bào)童售報(bào) a 零售價(jià) b 購進(jìn)價(jià) c 退回價(jià) 售出一份賺a b 退回一份賠b c 每天購進(jìn)多少份可使收入最大 分析 購進(jìn)太多 賣不完退回 賠錢 購進(jìn)太少 不夠銷售 賺錢少 應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量 每天需求量是隨機(jī)的 優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入 等于每天收入的期望 建模 設(shè)每天購進(jìn)n份 日平均收入為G n 調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律 每天需求量為r的概率f r r 0 1 2 準(zhǔn)備 求n使G n 最大 已知售出一份賺a b 退回一份賠b c 求解 將r視為連續(xù)變量 結(jié)果解釋 取n使 a b 售出一份賺的錢b c 退回一份賠的錢 9 3隨機(jī)存貯策略 問題 以周為時(shí)間單位 一周的商品銷售量為隨機(jī) 周末根據(jù)庫存決定是否訂貨 供下周銷售 s S 存貯策略制訂下界s 上界S 當(dāng)周末庫存小于s時(shí)訂貨 使下周初的庫存達(dá)到S 否則 不訂貨 考慮訂貨費(fèi) 存貯費(fèi) 缺貨費(fèi) 購進(jìn)費(fèi) 制訂 s S 存貯策略 使 平均意義下 總費(fèi)用最小 模型假設(shè) 每次訂貨費(fèi)c0 每件商品購進(jìn)價(jià)c1 每件商品一周貯存費(fèi)c2 每件商品缺貨損失費(fèi)c3 c1 c3 每周銷售量r隨機(jī) 連續(xù) 概率密度p r 周末庫存量x 訂貨量u 周初庫存量x u 每周貯存量按x u r計(jì) 提供網(wǎng)站 建模與求解 s S 存貯策略 確定 s S 使目標(biāo)函數(shù) 每周總費(fèi)用的平均值最小 平均費(fèi)用 訂貨費(fèi)c0 購進(jìn)價(jià)c1 貯存費(fèi)c2 缺貨費(fèi)c3 銷售量r s 訂貨點(diǎn) S 訂貨值 建模與求解 1 設(shè)x s 求u使J u 最小 確定S 建模與求解 2 對庫存x 確定訂貨點(diǎn)s 若訂貨u u x S 總費(fèi)用為 若不訂貨 u 0 總費(fèi)用為 建模與求解 最小正根的圖解法 J u 在u x S處達(dá)到最小 I x 在x S處達(dá)到最小值I S I x 圖形 建模與求解 9 4軋鋼中的浪費(fèi) 軋制鋼材兩道工序 粗軋 熱軋 形成鋼材的雛形 精軋 冷軋 得到鋼材規(guī)定的長度 粗軋 鋼材長度正態(tài)分布 均值可以調(diào)整 方差由設(shè)備精度確定 粗軋鋼材長度大于規(guī)定 切掉多余部分 粗軋鋼材長度小于規(guī)定 整根報(bào)廢 問題 如何調(diào)整粗軋的均值 使精軋的浪費(fèi)最小 背景 分析 設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為l 粗軋后鋼材長度的均方差為 記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為m 則粗軋得到的鋼材長度為正態(tài)隨機(jī)變量 記作x N m 2 切掉多余部分的概率 整根報(bào)廢的概率 存在最佳的m使總的浪費(fèi)最小 P 建模 選擇合適的目標(biāo)函數(shù) 粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度 粗軋N根 選擇合適的目標(biāo)函數(shù) 粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度 得到一根成品材平均浪費(fèi)長度 更合適的目標(biāo)函數(shù) 優(yōu)化模型 求m使J m 最小 已知l 建模 粗軋N根得成品材PN根 求解 求z使J z 最小 已知 求解 例 設(shè)l 2 米 20 厘米 求m使浪費(fèi)最小 l 10 求解 9 5隨機(jī)人口模型 背景 一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件 一個(gè)國家或地區(qū) 平均生育率平均死亡率 確定性模型 一個(gè)家族或村落 出生概率死亡概率 隨機(jī)性模型 對象 X t 時(shí)刻t的人口 隨機(jī)變量 Pn t 概率P X t n n 0 1 2 研究Pn t 的變化規(guī)律 得到X t 的期望和方差 若X t n 對t到t t的出生和死亡概率作以下假設(shè) 1 出生一人的概率與 t成正比 記bn t 出生二人及二人以上的概率為o t 2 死亡一人的概率與 t成正比 記dn t 死亡二人及二人以上的概率為o t 3 出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件 bn與n成正比 記bn n 出生概率 dn與n成正比 記dn n 死亡概率 進(jìn)一步假設(shè) 模型假設(shè) 建模 為得到Pn t P X t n 的變化規(guī)律 考察Pn t t P X t t n 事件X t t n的分解 X t n 1 t內(nèi)出生一人 X t n 1 t內(nèi)死亡一人 X t n t內(nèi)沒有出生和死亡 其它 出生或死亡二人 出生且死亡一人 概率Pn t t Pn 1 t bn 1 t Pn 1 t dn 1 t Pn t 1 bn t dn t o t 一組遞推微分方