第五講-二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.docx

第五講 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【知識速覽】1實(shí)際問題中函數(shù)解析式的求法 設(shè)為自變量，為的函數(shù)，在求解析式時，一般與解應(yīng)用題列方程一樣，先列出關(guān)于變量，的二元方程，再用含的代數(shù)式表示，最后還要寫出自變量的取值范圍.2利用函數(shù)知識解應(yīng)用題的一般步驟 （1）設(shè)定實(shí)際問題中的變量； （2）建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如一次函數(shù)、二次函數(shù)或其他復(fù)合而成的函數(shù)式； （3）確定自變量的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義； （4）解答函數(shù)問題，如最值等； （5）寫出答案 2.與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題大概有以下幾種類型：圖形問題、銷售利潤問題、拋物線形建筑物問題等【典型例題】例1. 某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？（考查應(yīng)用二次函數(shù)解決銷售利潤問題）例2. 恩施州綠色、富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場上頗具競爭力，其中香菇遠(yuǎn)銷日本和韓國等地上市時，外商李經(jīng)理按市場價格10元/千克在我州收購了2000千克香菇存放入冷庫中據(jù)預(yù)測，香菇的市場價格每天每千克將上漲0.5元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)340元，而且香菇在冷庫中最多保存110天，同時，平均每天有6千克的香菇損壞不能出售（1）若存放x天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（2）李經(jīng)理想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？（利潤=銷售總金額-收購成本-各種費(fèi)用）（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（考查應(yīng)用二次函數(shù)解決銷售利潤問題）例3.現(xiàn)有60米長的籬笆，準(zhǔn)備圍成一個如圖所示的養(yǎng)雞場，為了節(jié)省籬笆，養(yǎng)雞場一面可以用墻來替代，另一面的籬笆與墻平行，中間再用籬笆分開.設(shè)與墻平行的一邊長為x米，養(yǎng)雞場的總面積為y平方米.（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）x取多少時，養(yǎng)雞場的總面積最大？最大是多少？（考查利用二次函數(shù)解決圖形問題）例4.在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動.如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：（1）運(yùn)動開始后第幾秒時，PBQ的面積等于8cm2；CDQBPA（2）設(shè)運(yùn)動開始后第t秒時，五邊形APQCD的面積為Scm2，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；t為何值時S最??？求出S的最小值.（考查利用二次函數(shù)解決圖形問題）例5.如圖，某工廠大門是拋物線形水泥建筑，大門底部寬為4m，頂部距離地面的高度為4.4m，現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，其裝貨寬度為2.4m，若該車要想通過此門，則裝貨后的最大高度為多少？例6. 如圖，排球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m.（1）當(dāng)h=2.6時，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）（2）當(dāng)h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；（3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍.【考點(diǎn)速練】1.如圖，等腰RtABC的直角邊AB2，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相等的速度作直線運(yùn)動，已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動，點(diǎn)Q沿邊BC的延長線運(yùn)動，PQ與直線相交于點(diǎn)D.(1)設(shè) AP的長為x，PCQ的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)AP的長為何值時，SPCQ= SABC 2.某蔬菜經(jīng)銷商到蔬菜種植基地采購一種蔬菜，經(jīng)銷商一次性采購蔬菜的采購單價y（元/千克）與采購量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖中折線AB-BC-CD所示（不包括端點(diǎn)A）（1）當(dāng)100x200時，直接寫y與x之間的函數(shù)關(guān)系式： （2）蔬菜的種植成本為2元/千克，某經(jīng)銷商一次性采購蔬菜的采購量不超過200千克，當(dāng)采購量是多少時，蔬菜種植基地獲利最大，最大利潤是多少元？（3）在（2）的條件下，求經(jīng)銷商一次性采購的蔬菜是多少千克時，蔬菜種植基地能獲得418元的利潤？3.某商業(yè)公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷售，對三月份至七月份該商品的售價和成本進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下：每件商品的售價M（元）與時間t（月）的關(guān)系可用一條線段上的點(diǎn)來表示（如圖1），每件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關(guān)系可用一條拋物線的一部分上的點(diǎn)來表示（如圖2）（說明：圖1，圖2中的每個實(shí)心黑點(diǎn)所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售價和成本）請你根據(jù)圖象提供的信息回答：（1）每件商品在3月份出售時的利潤（利潤=售價-成本）是多少元？（2）求圖2中表示的每件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式嗎（請寫出計(jì)算過程，不要求寫自變量的取值范圍）？若該公司共有此種商品30000件，準(zhǔn)備在一個月內(nèi)全部售完，請你計(jì)算一下至少可獲利多少元？4.如圖，有一拋物線拱橋，已知水位在AB位置時，水面的寬為米；水位上升4米，就達(dá)到警戒線CD，這時的水面寬為米.若洪水到來時，水位以每時0.5米速度上升，求水過警戒線后幾小時淹到拱橋頂端M處？【拓展提高】1.如圖1，RtPMN中，P90，PMPN，MN8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm，C點(diǎn)和M點(diǎn)重合，BC和MN在一條直線上.令RtPMN不動，矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動（如圖2），直到C點(diǎn)與N點(diǎn)重合為止.設(shè)移動x秒后，矩形ABCD與PMN重疊部分的面積為y.求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.2. 心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生的注意力隨著教師講課時間的變化而變化，講課開始時，學(xué)生的注意力初步增強(qiáng)，中間有一段時間學(xué)生的注意力保持較為理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力y隨時間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系（1）講課開始后第5分鐘與講課開始第25分鐘比較，何時學(xué)生的注意力更集中？（2）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？（3）一道數(shù)學(xué)題，需要講解24分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？【課堂檢測】4003006070y(件)x(元)1.某服裝公司試銷一種成本為每件50元的T恤衫，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本價，又不高于每件70元，試銷中銷售量（件）與銷售單價（元）的關(guān)系可以近似的看作一次函數(shù)（如圖）（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)公司獲得的總利潤（總利潤總銷售額總成本）為P元，求P與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；根據(jù)題意判斷：當(dāng)x取何值時，P的值最大？最大值是多少？2.某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個噴頭向外噴水連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8 m水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：圖中所示直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式是. 噴出的水流距水平面的最大高度是多少？如果不計(jì)其他因素，那么水池的半徑至少為多少時，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)？ 3某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷從虧損到盈利的過程，如下圖的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤y（萬元）與銷售時間x（月）之間的關(guān)系（即前x個月的利潤之和y與x之間的關(guān)系）（1）根據(jù)圖上信息，求累積利潤y（萬元）與銷售時間x（月）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元？（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？【課后作業(yè)】1.“健益”超市購進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量(千克)與銷售單價(元)(）存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式 試求出與的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價的范圍(直接寫出答案)2.某公司營銷A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)如下信息：信息1：銷售A種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售產(chǎn)品x（噸）之間存在二次函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx在x=1時，y=1.4；當(dāng)x=3時，y=3.6信息2：銷售B種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與銷售產(chǎn)品x（噸）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系y=0.3x.根據(jù)以上信息，解答下列問題；（1）求二次函數(shù)解析式；（2）該公司準(zhǔn)備購進(jìn)A、B兩種產(chǎn)品共10噸，請?jiān)O(shè)計(jì)一個營銷方案，使銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少？3.為了改善市民的生活環(huán)境，我是在某河濱空地處修建一個如圖所示的休閑文化廣場.在Rt內(nèi)修建矩形水池，使頂點(diǎn)在斜邊上，分別在直角邊上；又分別以為直徑作半圓，它們交出兩彎新月（圖中陰影部分），兩彎新月部分栽植花草；其余空地鋪設(shè)地磚.其中，.設(shè)米，米.（1）求與之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時，矩形的面積最大？最大面積是多少？（3）求兩彎新月（圖中陰影部分）的面積，并求當(dāng)為何值時，矩形的面積等于兩彎新月面積的？第六講 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合專題【知識速覽】二次函數(shù)與幾何綜合專題大概涉及以下幾方面：（1）求面積最值；（2）求周長最小值；（3）與直角三角形結(jié)合；（4）與等腰三角形結(jié)合；（5）與平行四邊形結(jié)合；（6）與圓結(jié)合；（7）與相似三角形結(jié)合等.本節(jié)課主要研究前五種問題.【典型例題】例1. 已知拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（二次函數(shù)中求周長最小問題、二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合）例2.如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過M作MNy軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由（利用二次函數(shù)求面積最大值問題）例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線.所得拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.（1）求的值；（2）判斷的形狀，并說明理由；例4.已知二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為C（1，0），直線 y=x+m 與該二次函數(shù)交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)（3，4），B點(diǎn)在y軸上.（1）求m值及這個二次函數(shù)關(guān)系式；（2）P為線段AB上一動點(diǎn)（P不與A，B重合），過P做x軸垂線與二次函數(shù)交于點(diǎn)E，設(shè)線段PE長為h，點(diǎn)P橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x取值范圍；（3）D為線段AB與二次函數(shù)對稱軸的交點(diǎn)，在AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形DCEP為平行四邊形？若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.（二次函數(shù)與平行四邊形結(jié)合）【考點(diǎn)速練】1如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求MBC的面積的最大值，并求出此時M點(diǎn)的坐標(biāo)2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)P是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式（2）若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時，求ABM的面積（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由3.如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由4.已知：如圖一次函數(shù)yx1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)yx 2bxc的圖象與一次函數(shù)yx1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；OAByCxDE2（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請說明理由【課堂檢測】（1題圖）1.如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，且與軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD軸，交AC于點(diǎn)D(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)ADP是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在問題(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由2.在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求