高中數(shù)學(xué) 第二單元 圓錐曲線與方程 2_1_1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件 新人教b版選修1-1

第二章 2 1橢圓 2 1 1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1 了解橢圓的實(shí)際背景 經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡過程 2 掌握橢圓的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形 學(xué)習(xí)目標(biāo) 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn)一橢圓的定義 觀察圖形 回答下列問題 思考1 如圖 把細(xì)繩兩端拉開一段距離 分別固定在圖板上的兩點(diǎn)F1 F2處 套上鉛筆 拉緊繩子 移動筆尖 畫出的軌跡是什么圖形 答案 橢圓 思考2 圖中移動的筆尖始終滿足怎樣的幾何條件 答案 筆尖 動點(diǎn) 到兩定點(diǎn) 繩端點(diǎn)的固定點(diǎn) 的距離之和始終等于繩長 梳理把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1 F2的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 這兩個叫做橢圓的焦點(diǎn) 叫做橢圓的焦距 定長 大于 F1F2 定點(diǎn) 兩焦點(diǎn)間的距離 知識點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 思考1 橢圓方程中 a b以及參數(shù)c有什么幾何意義 它們滿足什么關(guān)系 答案 橢圓方程中 a表示橢圓上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)間距離之和的一半 可借助圖形幫助記憶 a b c 都是正數(shù) 恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊 a是斜邊 c是焦距的一半 a b c始終滿足關(guān)系式a2 b2 c2 思考2 橢圓定義中 為什么要限制常數(shù) MF1 MF2 2a F1F2 答案 只有當(dāng)2a F1F2 時 動點(diǎn)M的軌跡才是橢圓 當(dāng)2a F1F2 時 點(diǎn)的軌跡是線段F1F2 當(dāng)2a F1F2 時 滿足條件的點(diǎn)不存在 梳理 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c c2 a2 b2 題型探究 類型一橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解答 這與a b相矛盾 故應(yīng)舍去 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 方法二設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 解答 2a 12 即a 6 c 4 b2 a2 c2 62 42 20 解得 11或 21 舍去 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 1 定義法 即根據(jù)橢圓的定義 判斷出軌跡是橢圓 然后寫出其方程 2 待定系數(shù)法 先確定焦點(diǎn)位置 設(shè)出方程 尋求a b c的等量關(guān)系 求a b的值 代入所設(shè)方程 特別提醒 若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定 需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論 也可設(shè)橢圓方程為mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 反思與感悟 解答 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上 2 焦點(diǎn)在y軸上 且經(jīng)過兩個點(diǎn) 0 2 和 1 0 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上 又橢圓經(jīng)過點(diǎn) 0 2 和 1 0 解答 設(shè)橢圓的方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 解答 答案 解析 0 1 反思與感悟 1 利用橢圓方程解題時 一般首先要化成標(biāo)準(zhǔn)形式 7 10 答案 解析 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時 a2 4 b2 m 由2c 2 得c 1 4 m 1 m 3 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時 a2 m b2 4 由2c 2 得c 1 m 4 1 則m 5 綜上可知 m 3或5 3或5 答案 解析 類型二橢圓定義的應(yīng)用 解答 由余弦定理知 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos30 F1F2 2 2c 2 4 式兩邊平方 得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 20 F1PF2 引申探究在例3中 若圖中的直線PF1與橢圓相交于另一點(diǎn)B 連接BF2 其他條件不變 求 BPF2的周長 解答 反思與感悟 解答 從而 F1F2 2c 2 在 PF1F2中 由余弦定理可得 PF2 2 PF1 2 F1F2 2 2 PF1 F1F2 cos120 又由橢圓的定義知 PF1 PF2 4 所以 PF2 4 PF1 從而有 4 PF1 2 PF1 2 4 2 PF1 直線AP的垂直平分線交直線BP于點(diǎn)Q AQ PQ AQ BQ PQ BQ 6 點(diǎn)Q的軌跡是以A B為焦點(diǎn)的橢圓 解答 反思與感悟 用定義法求橢圓的方程 首先要利用平面幾何知識將題目條件轉(zhuǎn)化為到兩定點(diǎn)的距離之和為定值 然后判斷橢圓的中心是否在原點(diǎn) 對稱軸是否為坐標(biāo)軸 最后由定義產(chǎn)生橢圓的基本量a b c 跟蹤訓(xùn)練4已知圓A x 3 2 y2 100 圓A內(nèi)一定點(diǎn)B 3 0 圓P過B且與圓A內(nèi)切 求圓心P的軌跡方程 解答 如圖 設(shè)圓P的半徑為r 又圓P過點(diǎn)B PB r 又 圓P與圓A內(nèi)切 圓A的半徑為10 兩圓的圓心距 PA 10 r 即 PA PB 10 大于 AB 點(diǎn)P的軌跡是以A B為焦點(diǎn)的橢圓 2a 10 2c AB 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 已知F1 F2是定點(diǎn) F1F2 8 動點(diǎn)M滿足 MF1 MF2 8 則動點(diǎn)M的軌跡是A 橢圓B 直線C 圓D 線段 答案 1 2 3 4 5 解析 MF1 MF2 8 F1F2 點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 焦點(diǎn)在y軸上 cos sin 1 2 3 4 5 由橢圓的定義知 3 7 2a 得a 5 則m a2 25 答案 解析 25 解答 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 1 2 3 4 5 規(guī)律與方法 1 平面內(nèi)