概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第二周.ppt

在概率論中常常會遇到一些較復雜的事件 這就提出如下問題 復雜事件A的概率如何求 例有三個箱子 分別編號為1 2 3 1號箱裝有1個紅球4個白球 2號箱裝有2紅3白球 3號箱裝有3紅球 某人從三箱中任取一箱 從中任意摸出一球 求取得紅球的概率 解 記A 取得紅球 且AB1 AB2 AB3兩兩互斥 P A P AB1 P AB2 P AB3 運用加法公式得 1 2 3 Bi 球取自i號箱 i 1 2 3 對求和中的每一項運用乘法公式得 代入數(shù)據(jù)計算得 P A 8 15 P A P AB1 P AB2 P AB3 定義 設S為試驗E的樣本空間 B1 Bn為E的一組事件 若 1 B1 Bn互不相容 i 1 n 2 則稱B1 Bn為樣本空間S的一個劃分 或者稱為完備事件組 定理 上式稱為全概率公式 設S為試驗E的樣本空間 A為E的事件 B1 Bn為S的一個劃分 且P Bi 0 i 1 n 則 某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因 或途徑 或前提條件 i 1 2 n 如果A是由原因Bi所引起 則A發(fā)生的概率是 每一原因都可能導致A發(fā)生 故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和 即全概率公式 P BiA P Bi P A Bi 由此可以形象地把全概率公式看成為 由原因推結果 每個原因對結果的發(fā)生有一定的 作用 即結果發(fā)生的可能性與各種原因的 作用 大小有關 全概率公式表達了它們之間的關系 諸Bi是原因A是結果 實際中還有下面一類問題 是 已知結果求原因 這一類問題在實際中更為常見 它所求的是條件概率 即已知結果發(fā)生的條件下 求某原因發(fā)生可能性的大小 例8某人從任一箱中任意摸出一球 發(fā)現(xiàn)是紅球 求該球是取自1號箱的概率 先分析后求解 記Bi 球取自i號箱 i 1 2 3 A 取得紅球 求P B1 A 運用全概率公式計算P A 將這里得到的公式一般化 就得到 二 貝葉斯公式 定理 設S為試驗E的樣本空間 A為E的事件 B1 Bn為S的一個劃分 且P Bi 0 i 1 n P A 0 則有 貝葉斯公式在實際中有很多應用 它可以幫助人們確定某結果 事件A 發(fā)生的最可能原因 我們說 在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率一般地不等于A的無條件概率 但是 會不會出現(xiàn)P A P A B 的情形呢 顯然P A B P A 這就是說 已知事件B發(fā)生 并不影響事件A發(fā)生的概率 這時稱事件A B獨立 A 第二次擲出6點 B 第一次擲出6點 先看一個例子 將一顆均勻骰子連擲兩次 設 不難證明 當P B 0時 有 隨機事件的獨立性 兩個事件獨立性 多個事件獨立性 1 兩個事件的獨立性 對任意的兩個事件A B 若滿足P AB P A P B 則稱事件A與B是相互獨立的 注意 必然事件與任何事件獨立 不可能事件與任何事件獨立 例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張 記A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 可見 P AB P A P B 由于P A 4 52 1 13 說明事件A B獨立 問事件A B是否獨立 解 P AB 2 52 1 26 P B 26 52 1 2 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張 記A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 則由于P A 1 13 P A B 2 26 1 13P A P A B 說明事件A B獨立 在實際應用中 往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立 一批產品共n件 從中抽取2件 設Ai 第i件是合格品 i 1 2 若抽取是有放回的 則A1與A2獨立 又如 若抽取是無放回的 則A1與A2不獨立 請問 如圖的兩個事件是獨立的嗎 即 若A B互不相容 且P A 0 P B 0 則A與B不獨立 反之 若A與B獨立 且P A 0 P B 0 則A B不是互不相容的 性質1 若事件A與B相互獨立 則下列各對事件也相互獨立 證明如下 P A 1 P B P A P P A P AB P A P A AB A B獨立 故A與獨立 概率的性質 P A P A P B 證明 只證A與獨立 2 多個事件的獨立性 對任意三個事件A B C 若 則稱事件A B C相互獨立 簡稱A B C獨立 對任意n個事件A1 An 若 則稱事件A1 An相互獨立 簡稱A1 An獨立 請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系 兩兩獨立 相互獨立 對n n 2 個事件 反例隨機投擲編號為1與2的兩個骰子事件A表示1號骰子出現(xiàn)奇數(shù)B表示2號骰子出現(xiàn)奇數(shù)C表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù) 則 但 性質2 性質3 若A1 An相互獨立 則 若A1 An相互獨立 則 其中任意k 個事件也是相互獨立的 證明如下 設事件相互獨立 則 也相互獨立 也就是說 n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積 例下面是一個串并聯(lián)電路示意圖 A B C D E F G H都是電路中的元件 它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率 求電路正常工作的概率 解 將電路正常工作記為W 由于各元件獨立工作 有 其中 P W 0 782 代入得 有這樣一類實驗E 其特點是只有兩個可能的結果 例如 對目標射擊一次 只有 擊中目標 與 沒有擊中目標 兩種結果 有的實驗盡管其實驗結果不止兩個 但如果試驗中只關心某一事件A是否發(fā)生 則試驗也可以看做是這一類試驗 一般把只有兩個可能結果的實驗稱為是伯努利 Bernoulli 實驗 n重伯努利試驗概型 n重伯努利試驗中 事件A出現(xiàn)k次的概率記為 且 解每取一個球看作是做了一次試驗 記取得白球為事件A 有放回地取4個球看作做了4重Bernoulli試驗 記第i次取得白球為事件Ai 感興趣的問題為 4次試驗中A發(fā)生2次的概率 例4袋中有3個白球 2個紅球 有放回地取球4次 每次一只 求其中恰有2次取到白球的概率 設E為伯努利試驗 且P A p 0 p 1 對于n重伯努利概型En 事件A恰好發(fā)生k 0 k n 次的概率為 Yes Itisconsiderablyimportant 相