高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十三章 選考部分 13_1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1課時(shí) 坐標(biāo)系課件 文 新人教版

13 1坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1課時(shí)坐標(biāo)系 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時(shí)作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 設(shè)點(diǎn)P x y 是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn) 在變換 的作用下 點(diǎn)P x y 對應(yīng)到點(diǎn)P x y 稱 為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 簡稱伸縮變換 1 平面直角坐標(biāo)系 知識梳理 2 極坐標(biāo)系 1 極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O 自點(diǎn)O引一條射線Ox 同時(shí)確定一個(gè)長度單位和計(jì)算角度的正方向 通常取逆時(shí)針方向 這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系 點(diǎn)O稱為極點(diǎn) 射線Ox稱為極軸 平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度 和從射線Ox到射線OM的角度 來刻畫 如圖所示 這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對 稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo) 稱為點(diǎn)M的 稱為點(diǎn)M的 一般認(rèn)為 0 當(dāng)極角 的取值范圍是 0 2 時(shí) 平面上的點(diǎn) 除去極點(diǎn) 就與極坐標(biāo) 0 建立一一對應(yīng)的關(guān)系 我們設(shè)定 極點(diǎn)的極坐標(biāo)中 極徑 0 極角 可取任意角 極徑 極角 2 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn) 它的直角坐標(biāo)為 x y 極坐標(biāo)為 由圖可知下面關(guān)系式成立 這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式 3 常見曲線的極坐標(biāo)方程 r 0 2 2rcos 2rsin 0 sin a 0 1 2016 北京西城區(qū)模擬 求在極坐標(biāo)系中 過點(diǎn) 2 且與極軸平行的直線方程 考點(diǎn)自測 解答 過點(diǎn) 0 2 且與x軸平行的直線方程為y 2 即為 sin 2 解答 3 在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中 圓 4sin 和直線 sin a相交于A B兩點(diǎn) 當(dāng) AOB是等邊三角形時(shí) 求a的值 解答 由 4sin 可得x2 y2 4y 即x2 y 2 2 4 由 sin a可得y a 設(shè)圓的圓心為O y a與x2 y 2 2 4的兩交點(diǎn)A B與O構(gòu)成等邊三角形 如圖所示 由對稱性知 O OB 30 OD a 題型分類深度剖析 題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 例1 1 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 求線段y 1 x 0 x 1 的極坐標(biāo)方程 解答 y 1 x化成極坐標(biāo)方程為 cos sin 1 0 x 1 線段在第一象限內(nèi) 含端點(diǎn) 2 在極坐標(biāo)系中 曲線C1和C2的方程分別為 sin2 cos 和 sin 1 以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 極軸為x軸的正半軸 建立平面直角坐標(biāo)系 求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo) 解答 因?yàn)閤 cos y sin 由 sin2 cos 得 2sin2 cos 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2 x 由 sin 1 得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y 1 思維升華 1 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件 極點(diǎn)與原點(diǎn)重合 極軸與x軸的正半軸重合 取相同的單位長度 2 直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易 只要運(yùn)用公式x cos 及y sin 直接代入并化簡即可 而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對困難一些 解此類問題常通過變形 構(gòu)造形如 cos sin 2的形式 進(jìn)行整體代換 跟蹤訓(xùn)練1 1 曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2x 0 以原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 求曲線C的極坐標(biāo)方程 解答 將x2 y2 2 x cos 代入x2 y2 2x 0 得 2 2 cos 0 整理得 2cos 2 求在極坐標(biāo)系中 圓 2cos 垂直于極軸的兩條切線方程 解答 由 2cos 得 2 2 cos 化為直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2x 0 即 x 1 2 y2 1 其垂直于x軸的兩條切線方程為x 0和x 2 題型二求曲線的極坐標(biāo)方程 例2將圓x2 y2 1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍 得曲線C 1 寫出曲線C的方程 解答 設(shè) x1 y1 為圓上的點(diǎn) 在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn) x y 2 設(shè)直線l 2x y 2 0與C的交點(diǎn)為P1 P2 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程 解答 化為極坐標(biāo)方程 并整理得2 cos 4 sin 3 思維升華 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟 1 建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系 設(shè)P 是曲線上任意一點(diǎn) 2 由曲線上的點(diǎn)所適合的條件 列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑 和極角 之間的關(guān)系式 3 將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理 化簡 得出曲線的極坐標(biāo)方程 跟蹤訓(xùn)練2在極坐標(biāo)系中 已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P 圓心為直線與極軸的交點(diǎn) 求圓C的極坐標(biāo)方程 解答 令 0 得 1 所以圓C的圓心坐標(biāo)為 1 0 如圖所示 因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn) 于是圓C過極點(diǎn) 所以圓C的極坐標(biāo)方程為 2cos 題型三極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 例3 2015 課標(biāo)全國 在直角坐標(biāo)系xOy中 直線C1 x 2 圓C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 求C1 C2的極坐標(biāo)方程 解答 因?yàn)閤 cos y sin 所以C1的極坐標(biāo)方程為 cos 2 C2的極坐標(biāo)方程為 2 2 cos 4 sin 4 0 由于C2的半徑為1 所以 C2MN為等腰直角三角形 解答 思維升華 1 已知極坐標(biāo)系方程討論位置關(guān)系時(shí) 可以先化為直角坐標(biāo)方程 2 在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí) 一定要注意變量的范圍 注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性 跟蹤訓(xùn)練3 2017 廣州調(diào)研 在極坐標(biāo)系中 求直線 sin 2被圓 4截得的弦長 解答 課時(shí)作業(yè) 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 在極坐標(biāo)系 0 2 中 求曲線 cos sin 1與 sin cos 1的交點(diǎn)的極坐標(biāo) 解答 曲線 cos sin 1化為直角坐標(biāo)方程為x y 1 sin cos 1化為直角坐標(biāo)方程為y x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 在極坐標(biāo)系中 已知圓 3cos 與直線2 cos 4 sin a 0相切 求實(shí)數(shù)a的值 解答 圓 3cos 的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 3x 直線2 cos 4 sin a 0的直角坐標(biāo)方程為2x 4y a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系 則曲線 2cos 的直角坐標(biāo)方程為 x 1 2 y2 1 且圓心為 1 0 因?yàn)閳A心 1 0 關(guān)于y x的對稱點(diǎn)為 0 1 所以圓 x 1 2 y2 1關(guān)于y x的對稱曲線為x2 y 1 2 1 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 對曲線C1的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化 12sin 2 12 sin x2 y2 12y 0 即x2 y 6 2 36 對曲線C2的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 OA 4 OB 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 已知P 5 O為極點(diǎn) 求使 POP 為正三角形的點(diǎn)P 的坐標(biāo) 解答 設(shè)P 點(diǎn)的極坐標(biāo)為 POP 為正三角形 如圖所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 在極坐標(biāo)系中 判斷直線 cos sin 1 0與圓 2sin 的位置關(guān)系 直線 cos sin 1 0可化成x y 1 0 圓 2sin 可化為x2 y2 2y 即x2 y 1 2 1 解答 故直線與圓相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 將M N P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 2 判斷M N P三點(diǎn)是否在一條直線上 kMN kNP M N P三點(diǎn)在一條直線上 1 2