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第四章模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)4.1 Lyapunov穩(wěn)定型概念及基本定理在研究線性系統(tǒng)時,由系統(tǒng)特征方程的根可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性:特征根實部負 則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定正 則系統(tǒng)為不穩(wěn)定0 簡單極點 系統(tǒng)為穩(wěn)定邊界多重極點 系統(tǒng)不穩(wěn)定但對于非線性系統(tǒng),難于求出特征根,微分方程難于求解,不能用特征根來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)是非線性系統(tǒng),不能用研究線性系統(tǒng)穩(wěn)定性方法來研究其穩(wěn)定性。用Lyapunov直接法不需要解微分方程就可以判斷其穩(wěn)定性。1. Lyapunov穩(wěn)定性定義1) 平衡點設(shè)被控系統(tǒng)由向量微分方程描述Xt=fXt, t,Xt0=X0(4.1-1)在初始條件()下它的解為:式中 X=x1, x2, xnn1T 狀態(tài)向量fX, t=f1X, t,f2X, t,fnX, tn1T向量函數(shù)若狀態(tài)空間中某一點(某一狀態(tài))Xe對所有時刻均滿足fXe, t=0則稱Xe為系統(tǒng)的一個平衡點。只要無外力作用ut=0,則系統(tǒng)永遠處于該平衡狀態(tài)。對于線性系統(tǒng)Xt=AX(t),若A為非奇異矩陣,則系統(tǒng)只有一個平衡點Xt=0對于非線性系統(tǒng),可能存在一個或多個平衡點。通常假定平衡點為原點Xe=02) 穩(wěn)定性定義定義4.1-1(穩(wěn)定性)如果對于給定時刻t0,只要X0-Xe,就總有Xt -Xe0,使得只要Xt0-Xe0,總找不到一個實數(shù)(e,t0)0,使Xt0-Xe(,t0)時,有Xt-Xe0 X0=0 X=0V(X)0則稱V(X)為Lyapunov函數(shù)說明:i. Lyapunov函數(shù)是正定的若 VX= 0 X0=0 X=0 稱為半正定的若 VX= 0 X0=0 X=0 稱為半負定的若 VX= 0 X0=0 X=0 稱為負定的ii. 二次型函數(shù)VX=XTPX是一類重要的Lyapunov函數(shù),它是系統(tǒng)能量的度量。在平衡點時Xe=0能量為0,離開平衡點則系統(tǒng)具有一定的能量(位能,動能等等)。在平衡點附近(Xe=X=0的鄰域)VX0, P11P12P13P140, detP0 則V(X)是正定的。若P是奇異矩陣,且它的所有順序主子式非負,則V(X)是半正定的。2) 連續(xù)時間系統(tǒng)的Lyapunov定理對于系統(tǒng)Xt=f(Xt, t)有平衡點Xe=0即f0, t=0 t,若存在一個函數(shù)V(X),它具有下列性質(zhì)V(X)和梯度VX=VXx1,VXx2,VXxnT連續(xù)(t的連續(xù)函數(shù));V(X)正定;VX=VXTfX=dV(X)dt=VXXTdXdt=VXTf(X)為負定; LimXVX=;則這個平衡點為全局漸近穩(wěn)定的。說明:i. 滿足條件,則這個平衡點是小范圍漸進穩(wěn)定的;ii. 若條件改為V(X)半負定,則這個穩(wěn)定點是穩(wěn)定的,但不是漸進穩(wěn)定的3) 求取合適的Lyapunov函數(shù)對于線性定常系統(tǒng)Xt=AX(t)它的平衡狀態(tài)Xe=0,漸近穩(wěn)定的充要條件是對于任意給定的對稱正定矩陣Q,存在一個對稱正定矩陣P,它是矩陣方程ATP+PA=-Q的唯一解。并且VX=XTPX就是系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)證:取VX=XTPX,P0V(X)是正定函數(shù)VX=ddtXTPX=XTPX+XTPX=XTATPX+XTPAX =XTATP+PAX=-XTQX由于Q是正定的,V(X)是負定的, 可見Xe=0是漸進穩(wěn)定的P=0eATtQeAtdt舉例:已知系統(tǒng)的運動方程為x+ax+2bx+4x3=0其中a, b0判斷平衡點x1=0, x1=0是否為穩(wěn)定平衡點解:將微分方程改寫成狀態(tài)方程形式:x1=x2x2=-2bx1-4x13-ax2令X=x1x2則X=x1x2=01-2b-4x12-ax1x2選擇V(X)為VX=x222+bx12+x14 0 x10, x20=0 x1=0, x2=0VX=x2x2+2bx1x1+4x13x1=x2-2bx1-4x13-ax2+2bx1x2+4x13x2 =-2bx1x2-4x13x2-ax22+2bx1x2+4x13x2=-ax22由此可見,對于任意X=x1x20,VX0,當(dāng)x10,x2=0時VX=0,而當(dāng)x20時VX0(4.3-2)對V求導(dǎo)數(shù)得到V=ee+k1kk=-1Te2+1Tkre+k1kk(4.3-3)為保證V0,可令上式右邊兩項之和為0,得到k=-1k1Tre(4.3-4)而k=ddtkm-kse, tkv=-kve, tks,得到自適應(yīng)律為:kve, t=1k1ksTrtet=kgrke(t)(4.3-5)或 kve, t=0tkgred+ks(0) (4.3-6)2. n階系統(tǒng)可調(diào)增益自適應(yīng)律的設(shè)計1) 具有可調(diào)增益的MRAC開環(huán)系統(tǒng)框圖開環(huán)系統(tǒng)框圖如圖4.3-2所示。圖中kv是對象的增益,它受到運行環(huán)境影響或時變。kmN(s)D(s)kvksN(s)D(s)e(t)r(t)ym(t)ys t+-干擾圖4.3-2 具有可調(diào)增益MRAC系統(tǒng)開環(huán)框圖當(dāng)增益失配時,產(chǎn)生廣義輸出誤差et=ymt-ys(t)誤差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Gs=E(s)R(s)=km-kskvNsDs=kN(s)D(s)(4.3-7)式中 N(s)D(s)=bn-1sn-1+bn-2sn-2+b0sn+an-1sn-1+a0(4.3-8)kt=km-kve, tks(t)(4.3-9)2) 誤差方程廣義誤差方程為en+an-1en-1+a0e=krn-1+bn-2rn-2+b0r(4.3-10)將上式化為能觀測規(guī)范性向量微分方程表達式Ee=AE+kCre1=hTE(4.3-11)其中h=1,0 ,0T3) 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)設(shè)二次型函數(shù) V=ETPE+k2(4.3-12)式中 P正定矩陣 正實數(shù)4) 求自適應(yīng)律對V求導(dǎo)數(shù)得到:V=ETPA+ATPE+2ETP(rk+2kk)(4.3-13)只要模型使得傳遞函數(shù)的分母多項式 的0點(特征根)都具有負實部,則總可以找到矩陣P滿足PA+ATP=-Q (Q為正定矩陣),使得(4.3-10)第一項小于零。選取第二、三兩項之和為零,得到自適應(yīng)律為:k=-1ETPCr或kv=1ksETPCr (4.3-14)這樣保證V0此時自適應(yīng)律變?yōu)閗vt=1kse1r=er(4.3-15)式中=1ks按照(4.3-15)式給出的MRAC系統(tǒng)框圖,如圖4.3-3所示。 kvt=0trtetdt+kv(0)kmN(s)D(s)kskvN(s)D(s)/sr(t)ym(t)ys(t)e(t)圖4.3-3 具有可調(diào)增益的MRAC系統(tǒng)3. 舉例考慮模型為Gms=km(b1s+1)s2+a1s+a0 km0對象為Gss=ks(b1s+1)s2+a1s+a0 ks0求自適應(yīng)律。解:廣義誤差方程為e+a1e+a0e= kb1r+r k=km-kvks其相應(yīng)的能觀性規(guī)范型狀態(tài)方程為e=e1e2=ee-b1r,A=01-a0-a1,h=10C=c1c2=10a11-1b11=10-a11b11=b11-a1b1若a00,a10,b11a1則Gm(s)是正實函數(shù)則可以求得PPA+ATP=-2a0p12p11-a1p12-a0p22-p11-a1p12-a0p222p12-a1p22=-QPC=p11b1+p121-a1b1p12b1+p221-a1b1=h=0在保證Q和P對稱正定的條件下,設(shè)Q為對角矩陣,得到:p12b1+p221-a1b1=0 p22=b1, p12=a1b1-1p11-a1p12-a0p22=0 p11=a1a1b1-1+a0b1校核Q的正定性-Q=-2a0p12002(p12-a1p22)=-2a0(a1b1-1)002(a1b1-1-a1b1) =-2a0(a1b1-1)00-2=2a0(a1b1-1)002由2a0a1b1-10和 =p11b1+p121-a1b1=b1a1a1b1-1+a0b1+a1b1-1(1-a1b1) =a12b12-a1b1+a0b12-a12b12+2a1b1-1=a0b12+a1b1-10所以自適應(yīng)律為kv=1kva0b12+a1b1-1etr(t) 04. 單輸入-單輸出自適應(yīng)系統(tǒng)的自適應(yīng)規(guī)律的設(shè)計設(shè)可調(diào)系統(tǒng)包括對象,前饋和反饋調(diào)節(jié)器,其微分方程的各項系數(shù)都可能受干擾而變化。1) 數(shù)學(xué)模型參考模型的微分方程為:ym(n)+i=0n-1amiymi=rm+j=0m-1bmjrj(4.3-16)Gms=sm+bm(m-1)sm-1+bm1s+bm0sn+amn-1sn-1+am1s+am0(4.3-1)可調(diào)系統(tǒng)的微分方程為:ysn+i=0n-1aiysi=rm+j=0m-1bjrj-1 (4.3-18)Gss=sm+b(m-1)sm-1+b1s+b0sn+an-1sn-1+a1s+a0(4.3-19)其中ymt, ys(t)參考模型和對象的輸出,r輸入2) 廣義誤差方程設(shè)廣義誤差為 e=ym-ys將(4.4-16)-(4.4-18)得到誤差方程en+i=0n-1amiei=i=0n-1aiysi+j=0m-1bjrj(4.4-20)其中ai=ai-ami bj=bmj-bj將(4.4-20)化為狀態(tài)方程令 =a0, a1, , an-1; b0, b1, , bm-1n+m1 (參數(shù)誤差向量)誤差狀態(tài)向量E=e1, e2, , enT其中e1=e, e2=e, , en=en-1誤差狀態(tài)方程為E=AE+a+b(4.4-21)其中a=0, 0, , 0, i=0n-1aiys(i)n1 b=0, 0, , 0, j=0m-1bjrjn1T3) 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)設(shè)二次型標量函數(shù)V=12ETPE+T(4.3-22)式中P n維對稱正定矩陣diag0, 1, , n-1; 0, 1, , m-14) 求自適應(yīng)律求V對t的導(dǎo)數(shù),得到V=12ETPE+ETPE+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj =12AE+a+bTPE+ETPAE+a+b+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj =12ETATP+PAE+12aTPE+bTPE+ETPa+ETPn+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj =12ETATP+PAE+ETPa+ETPb+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj(4.3-23)( daTPE=ETPa, bTPE=ETPb)ETP=k=1nekpk1, k=1nekpk2, , k=1nekpkn ETPa=(k=1nekpkn)i=0n-1aiysi=i=0n-1aik=1nekpknysi同理:ETPb=j=0m-1bj(k=1nekpkn)rj代入上式,得到: V=12ETATP+PAE+i=0n-1aiiai+k=1nekpknYsi +j=0m-1bjjbj+k=1nekpkn)rj (4.3-24)只要PA+ATP=-Q(Q為正定矩陣成立)使(4.3-24)式后兩項分別為0,得到自適應(yīng)律如下: ai=-1ik=1nekpknysibj=-1jk=1nekpknrj(4.3-25)或者 ai=-1ik=1nekpknysibj=1jk=1n(ekpknrj (4.3-26)可以保證 ,在上述自適應(yīng)律控制下MRAC系統(tǒng)是全局漸進穩(wěn)定的。舉例:設(shè)二階系統(tǒng) ys+b1ys+b0ys=ksr,參數(shù)b1, b0, ks未知或慢時變,參考模型微分方程為ym+am1ym+am0ym=kmr,傳遞函數(shù):Gms=kms2+am1s+am0,求自適應(yīng)律。構(gòu)成如圖所示的可調(diào)系統(tǒng),則可調(diào)系統(tǒng)的微分方程為: ys+a1ys+a0ys=kvksr,傳遞函數(shù):Gss=kvkss2+a1s+a0其中a1=b1+f1ks,a0=b0+f0ks,kvkss2+b1s+b0kms2+am1s+am0f1s+f0自適應(yīng)機構(gòu)rymyse(t)+-+-圖 二階MRAC單位框圖解:求廣義誤差方程e+am1e+am0e=a1ys+a0ys+kr式中a1=a1-am1a0=a0-am0k=km-kskv寫成狀態(tài)方程形式E=AE+a+b寫成狀態(tài)方程形式式中A=01-am0-am1 a=0i=01aiysi b=0kr設(shè)參數(shù)誤差向量和廣義誤差向量分別為=a0a1k E=e1e2T e1=e e2=e取Lyapunov函數(shù)為V=12ETPE+T式中P=PT0,=d

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