模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)說明.doc

第四章模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)4.1 Lyapunov穩(wěn)定型概念及基本定理在研究線性系統(tǒng)時，由系統(tǒng)特征方程的根可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性：特征根實部負 則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定正 則系統(tǒng)為不穩(wěn)定0 簡單極點 系統(tǒng)為穩(wěn)定邊界多重極點 系統(tǒng)不穩(wěn)定但對于非線性系統(tǒng)，難于求出特征根，微分方程難于求解，不能用特征根來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，不能用研究線性系統(tǒng)穩(wěn)定性方法來研究其穩(wěn)定性。用Lyapunov直接法不需要解微分方程就可以判斷其穩(wěn)定性。1. Lyapunov穩(wěn)定性定義1） 平衡點設(shè)被控系統(tǒng)由向量微分方程描述Xt=fXt, t，Xt0=X0(4.1-1)在初始條件（）下它的解為：式中 X=x1, x2, xnn1T 狀態(tài)向量fX, t=f1X, t,f2X, t,fnX, tn1T向量函數(shù)若狀態(tài)空間中某一點（某一狀態(tài)）Xe對所有時刻均滿足fXe, t=0則稱Xe為系統(tǒng)的一個平衡點。只要無外力作用ut=0，則系統(tǒng)永遠處于該平衡狀態(tài)。對于線性系統(tǒng)Xt=AX(t)，若A為非奇異矩陣，則系統(tǒng)只有一個平衡點Xt=0對于非線性系統(tǒng)，可能存在一個或多個平衡點。通常假定平衡點為原點Xe=02） 穩(wěn)定性定義定義4.1-1（穩(wěn)定性）如果對于給定時刻t0，只要X0-Xe，就總有Xt -Xe0，使得只要Xt0-Xe0，總找不到一個實數(shù)(e,t0)0，使Xt0-Xe(,t0)時，有Xt-Xe0 X0=0 X=0V(X)0則稱V(X)為Lyapunov函數(shù)說明：i. Lyapunov函數(shù)是正定的若 VX= 0 X0=0 X=0 稱為半正定的若 VX= 0 X0=0 X=0 稱為半負定的若 VX= 0 X0=0 X=0 稱為負定的ii. 二次型函數(shù)VX=XTPX是一類重要的Lyapunov函數(shù)，它是系統(tǒng)能量的度量。在平衡點時Xe=0能量為0，離開平衡點則系統(tǒng)具有一定的能量（位能，動能等等）。在平衡點附近（Xe=X=0的鄰域）VX0, P11P12P13P140, detP0 則V(X)是正定的。若P是奇異矩陣，且它的所有順序主子式非負，則V(X)是半正定的。2) 連續(xù)時間系統(tǒng)的Lyapunov定理對于系統(tǒng)Xt=f(Xt, t)有平衡點Xe=0即f0, t=0 t，若存在一個函數(shù)V(X)，它具有下列性質(zhì)V(X)和梯度VX=VXx1,VXx2,VXxnT連續(xù)（t的連續(xù)函數(shù)）；V(X)正定；VX=VXTfX=dV(X)dt=VXXTdXdt=VXTf(X)為負定； LimXVX=；則這個平衡點為全局漸近穩(wěn)定的。說明：i. 滿足條件，則這個平衡點是小范圍漸進穩(wěn)定的；ii. 若條件改為V(X)半負定，則這個穩(wěn)定點是穩(wěn)定的，但不是漸進穩(wěn)定的3) 求取合適的Lyapunov函數(shù)對于線性定常系統(tǒng)Xt=AX(t)它的平衡狀態(tài)Xe=0，漸近穩(wěn)定的充要條件是對于任意給定的對稱正定矩陣Q，存在一個對稱正定矩陣P，它是矩陣方程ATP+PA=-Q的唯一解。并且VX=XTPX就是系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)證：取VX=XTPX，P0V(X)是正定函數(shù)VX=ddtXTPX=XTPX+XTPX=XTATPX+XTPAX =XTATP+PAX=-XTQX由于Q是正定的，V(X)是負定的， 可見Xe=0是漸進穩(wěn)定的P=0eATtQeAtdt舉例：已知系統(tǒng)的運動方程為x+ax+2bx+4x3=0其中a, b0判斷平衡點x1=0, x1=0是否為穩(wěn)定平衡點解：將微分方程改寫成狀態(tài)方程形式：x1=x2x2=-2bx1-4x13-ax2令X=x1x2則X=x1x2=01-2b-4x12-ax1x2選擇V(X)為VX=x222+bx12+x14 0 x10, x20=0 x1=0, x2=0VX=x2x2+2bx1x1+4x13x1=x2-2bx1-4x13-ax2+2bx1x2+4x13x2 =-2bx1x2-4x13x2-ax22+2bx1x2+4x13x2=-ax22由此可見，對于任意X=x1x20，VX0，當(dāng)x10，x2=0時VX=0，而當(dāng)x20時VX0(4.3-2)對V求導(dǎo)數(shù)得到V=ee+k1kk=-1Te2+1Tkre+k1kk(4.3-3)為保證V0，可令上式右邊兩項之和為0，得到k=-1k1Tre(4.3-4)而k=ddtkm-kse, tkv=-kve, tks，得到自適應(yīng)律為：kve, t=1k1ksTrtet=kgrke(t)(4.3-5)或 kve, t=0tkgred+ks(0) (4.3-6)2. n階系統(tǒng)可調(diào)增益自適應(yīng)律的設(shè)計1) 具有可調(diào)增益的MRAC開環(huán)系統(tǒng)框圖開環(huán)系統(tǒng)框圖如圖4.3-2所示。圖中kv是對象的增益，它受到運行環(huán)境影響或時變。kmN(s)D(s)kvksN(s)D(s)e(t)r(t)ym(t)ys t+-干擾圖4.3-2 具有可調(diào)增益MRAC系統(tǒng)開環(huán)框圖當(dāng)增益失配時，產(chǎn)生廣義輸出誤差et=ymt-ys(t)誤差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Gs=E(s)R(s)=km-kskvNsDs=kN(s)D(s)(4.3-7)式中 N(s)D(s)=bn-1sn-1+bn-2sn-2+b0sn+an-1sn-1+a0(4.3-8)kt=km-kve, tks(t)(4.3-9)2) 誤差方程廣義誤差方程為en+an-1en-1+a0e=krn-1+bn-2rn-2+b0r(4.3-10)將上式化為能觀測規(guī)范性向量微分方程表達式Ee=AE+kCre1=hTE(4.3-11)其中h=1,0 ,0T3) 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)設(shè)二次型函數(shù) V=ETPE+k2(4.3-12)式中 P正定矩陣 正實數(shù)4) 求自適應(yīng)律對V求導(dǎo)數(shù)得到：V=ETPA+ATPE+2ETP(rk+2kk)(4.3-13)只要模型使得傳遞函數(shù)的分母多項式 的0點(特征根)都具有負實部，則總可以找到矩陣P滿足PA+ATP=-Q (Q為正定矩陣)，使得(4.3-10)第一項小于零。選取第二、三兩項之和為零，得到自適應(yīng)律為：k=-1ETPCr或kv=1ksETPCr (4.3-14)這樣保證V0此時自適應(yīng)律變?yōu)閗vt=1kse1r=er(4.3-15)式中=1ks按照(4.3-15)式給出的MRAC系統(tǒng)框圖，如圖4.3-3所示。 kvt=0trtetdt+kv(0)kmN(s)D(s)kskvN(s)D(s)/sr(t)ym(t)ys(t)e(t)圖4.3-3 具有可調(diào)增益的MRAC系統(tǒng)3. 舉例考慮模型為Gms=km(b1s+1)s2+a1s+a0 km0對象為Gss=ks(b1s+1)s2+a1s+a0 ks0求自適應(yīng)律。解：廣義誤差方程為e+a1e+a0e= kb1r+r k=km-kvks其相應(yīng)的能觀性規(guī)范型狀態(tài)方程為e=e1e2=ee-b1r，A=01-a0-a1，h=10C=c1c2=10a11-1b11=10-a11b11=b11-a1b1若a00，a10，b11a1則Gm(s)是正實函數(shù)則可以求得PPA+ATP=-2a0p12p11-a1p12-a0p22-p11-a1p12-a0p222p12-a1p22=-QPC=p11b1+p121-a1b1p12b1+p221-a1b1=h=0在保證Q和P對稱正定的條件下，設(shè)Q為對角矩陣，得到：p12b1+p221-a1b1=0 p22=b1, p12=a1b1-1p11-a1p12-a0p22=0 p11=a1a1b1-1+a0b1校核Q的正定性-Q=-2a0p12002(p12-a1p22)=-2a0(a1b1-1)002(a1b1-1-a1b1) =-2a0(a1b1-1)00-2=2a0(a1b1-1)002由2a0a1b1-10和 =p11b1+p121-a1b1=b1a1a1b1-1+a0b1+a1b1-1(1-a1b1) =a12b12-a1b1+a0b12-a12b12+2a1b1-1=a0b12+a1b1-10所以自適應(yīng)律為kv=1kva0b12+a1b1-1etr(t) 04. 單輸入-單輸出自適應(yīng)系統(tǒng)的自適應(yīng)規(guī)律的設(shè)計設(shè)可調(diào)系統(tǒng)包括對象，前饋和反饋調(diào)節(jié)器，其微分方程的各項系數(shù)都可能受干擾而變化。1) 數(shù)學(xué)模型參考模型的微分方程為：ym(n)+i=0n-1amiymi=rm+j=0m-1bmjrj(4.3-16)Gms=sm+bm(m-1)sm-1+bm1s+bm0sn+amn-1sn-1+am1s+am0(4.3-1)可調(diào)系統(tǒng)的微分方程為：ysn+i=0n-1aiysi=rm+j=0m-1bjrj-1 (4.3-18)Gss=sm+b(m-1)sm-1+b1s+b0sn+an-1sn-1+a1s+a0(4.3-19)其中ymt, ys(t)參考模型和對象的輸出，r輸入2) 廣義誤差方程設(shè)廣義誤差為 e=ym-ys將(4.4-16)-(4.4-18)得到誤差方程en+i=0n-1amiei=i=0n-1aiysi+j=0m-1bjrj(4.4-20)其中ai=ai-ami bj=bmj-bj將(4.4-20)化為狀態(tài)方程令 =a0, a1, , an-1; b0, b1, , bm-1n+m1 (參數(shù)誤差向量)誤差狀態(tài)向量E=e1, e2, , enT其中e1=e, e2=e, , en=en-1誤差狀態(tài)方程為E=AE+a+b(4.4-21)其中a=0, 0, , 0, i=0n-1aiys(i)n1 b=0, 0, , 0, j=0m-1bjrjn1T3) 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)設(shè)二次型標量函數(shù)V=12ETPE+T(4.3-22)式中P n維對稱正定矩陣diag0, 1, , n-1; 0, 1, , m-14) 求自適應(yīng)律求V對t的導(dǎo)數(shù)，得到V=12ETPE+ETPE+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj =12AE+a+bTPE+ETPAE+a+b+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj =12ETATP+PAE+12aTPE+bTPE+ETPa+ETPn+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj =12ETATP+PAE+ETPa+ETPb+i=0n-1aiiai+j=0m-1bjjbj(4.3-23)( daTPE=ETPa, bTPE=ETPb)ETP=k=1nekpk1, k=1nekpk2, , k=1nekpkn ETPa=(k=1nekpkn)i=0n-1aiysi=i=0n-1aik=1nekpknysi同理：ETPb=j=0m-1bj(k=1nekpkn)rj代入上式，得到： V=12ETATP+PAE+i=0n-1aiiai+k=1nekpknYsi +j=0m-1bjjbj+k=1nekpkn)rj (4.3-24)只要PA+ATP=-Q(Q為正定矩陣成立)使(4.3-24)式后兩項分別為0，得到自適應(yīng)律如下： ai=-1ik=1nekpknysibj=-1jk=1nekpknrj(4.3-25)或者 ai=-1ik=1nekpknysibj=1jk=1n(ekpknrj (4.3-26)可以保證 ，在上述自適應(yīng)律控制下MRAC系統(tǒng)是全局漸進穩(wěn)定的。舉例：設(shè)二階系統(tǒng) ys+b1ys+b0ys=ksr，參數(shù)b1, b0, ks未知或慢時變，參考模型微分方程為ym+am1ym+am0ym=kmr，傳遞函數(shù)：Gms=kms2+am1s+am0，求自適應(yīng)律。構(gòu)成如圖所示的可調(diào)系統(tǒng)，則可調(diào)系統(tǒng)的微分方程為： ys+a1ys+a0ys=kvksr，傳遞函數(shù)：Gss=kvkss2+a1s+a0其中a1=b1+f1ks，a0=b0+f0ks，kvkss2+b1s+b0kms2+am1s+am0f1s+f0自適應(yīng)機構(gòu)rymyse(t)+-+-圖 二階MRAC單位框圖解：求廣義誤差方程e+am1e+am0e=a1ys+a0ys+kr式中a1=a1-am1a0=a0-am0k=km-kskv寫成狀態(tài)方程形式E=AE+a+b寫成狀態(tài)方程形式式中A=01-am0-am1 a=0i=01aiysi b=0kr設(shè)參數(shù)誤差向量和廣義誤差向量分別為=a0a1k E=e1e2T e1=e e2=e取Lyapunov函數(shù)為V=12ETPE+T式中P=PT0，=d