2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章2.2圓與圓的方程2.2.2圓的一般方程學(xué)案.docx

2.2圓的一般方程1.掌握圓的一般方程.(重點)2.了解二元二次方程表示圓的條件.(難點)3.會求圓的一般方程以及簡單的軌跡方程.(難點)基礎(chǔ)初探教材整理圓的一般方程閱讀教材P81“練習(xí)”以下至P82“例3”以上部分，完成下列問題.1.圓的一般方程的定義：當(dāng)D2E24F0時，稱二元二次方程x2y2DxEyF0為圓的一般方程.2.方程x2y2DxEyF0表示的圖形：方程條件方程的解的情況圖形x2y2DxEyF0D2E24F0無數(shù)個解表示以為圓心，以為半徑的圓將圓的一般方程x2y22x4y40化為標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【解析】x2y22x4y40可化為(x1)2(y2)29.【答案】(x1)2(y2)232小組合作型二元二次方程與圓的關(guān)系判斷方程x2y24mx2my20m200能否表示圓.若能表示圓，求出圓心和半徑；若不能，請說明理由.【精彩點撥】解答本題可直接利用D2E24F0是否成立來判斷，也可把左端配方，看右端是否為大于零的常數(shù).【自主解答】法一：由方程x2y24mx2my20m200，可知D4m，E2m，F(xiàn)20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2，因此，當(dāng)m2時，它表示一個點；當(dāng)m2時，原方程表示圓的方程，此時，圓的圓心為(2m，m)，半徑為r|m2|.法二：原方程可化為(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，當(dāng)m2時，它表示一個點；當(dāng)m2時，表示圓的方程，此時，圓的圓心為(2m，m)，半徑為r|m2|.解決這種類型的題目，一般要看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，即(1)x2與y2的系數(shù)是否相等；(2)不含xy項.當(dāng)它具有圓的一般方程的特征時，再看D2E24F0是否成立，也可以通過配方化成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后，觀察等號右邊是否為正數(shù).再練一題1.如果x2y22xyk0是圓的方程，則實數(shù)k的范圍是_.【解析】由題意可知(2)2124k0，即k.【答案】求圓的一般方程 求圓心在直線yx上，且經(jīng)過點A(1,1)，B(3，1)的圓的一般方程.【精彩點撥】【自主解答】設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則圓心是，由題意知，解得DE4，F(xiàn)2，即所求圓的一般方程是x2y24x4y20.【答案】x2y24x4y20用待定系數(shù)法求圓的方程時一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的選擇：(1)如果由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件和圓心或半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出參數(shù)D，E，F(xiàn).再練一題2.已知A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，求ABC外接圓的方程.【解】設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0.A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組：即解此方程組，可得D8，E6，F(xiàn)0，ABC外接圓的方程為x2y28x6y0.探究共研型與圓有關(guān)的軌跡問題探究1已知O的方程為x2y225，動弦AB的長為8，請求出弦AB的中點P的軌跡方程.【提示】|OP|3，點P的軌跡為以O(shè)為圓心，3為半徑的圓，點P的軌跡方程為x2y29.探究2已知RtABC的兩個頂點A(1,0)和B(3,0)，求直角頂點C的軌跡方程.【提示】法一：設(shè)頂點C(x，y)，因為ACBC，且A，B，C三點不共線，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化簡得x2y22x30.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30(x3且x1).法二：取線段AB中點D，則|CD|AB|2，又D(1,0)，所以點C的軌跡方程為(x1)2y24.(x3，且x1).已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3)，端點A在圓(x1)2y24上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號：39292103】【精彩點撥】點M隨點A運動而運動，將A點坐標(biāo)用B，M兩點坐標(biāo)表示，再將A點坐標(biāo)代入圓的方程，即得M點的軌跡方程.【自主解答】設(shè)點M的坐標(biāo)是(x，y)，點A的坐標(biāo)是(x0，y0)，由于點B的坐標(biāo)是(4,3)且點M是線段AB的中點，所以x，y，于是有x02x4，y02y3.因為點A在圓(x1)2y24上運動，所以點A的坐標(biāo)滿足方程(x1)2y24，即(x01)2y4，把代入，得(2x41)2(2y3)24，整理，得x2y23x3y0.所以點M的軌跡方程是x2y23x3y0.用代入法求軌跡方程的一般步驟：再練一題3.過原點O作圓x2y28x0的弦OA，求弦OA中點M的軌跡方程.【解】設(shè)M(x，y)，A(x0，y0)，依題意得x，y，所以x02x，y02y.又A在圓x2y28x0上，所以4x24y216x0，即x2y24x0.故弦OA中點M的軌跡方程為x2y24x0.1.圓x2y22x4y0的圓心坐標(biāo)為()A.(1,2)B.(1，2)C.(1,2)D.(1，2)【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x1)2(y2)25，可知其圓心坐標(biāo)是(1，2).【答案】B2.方程x2y2xym0表示一個圓，則m的取值范圍是()A.m2B.mC.m0，得(1)2124m0，即m.【答案】B3.圓C：x2y22x4y40的圓心到直線3x4y40的距離d_.【解析】圓心(1,2)到直線3x4y40的距離為3.【答案】34.圓x2y22x4y110關(guān)于點P(2,1)對稱的圓的方程是_. 【導(dǎo)學(xué)號：39292104】【解析】由x2y22x4y110得(x1)2(y2)216.圓心(1,2)關(guān)于P(2,1)的對稱點為(5,0)，所求圓的方程為(x5)2y216，化為一般式為x2y210x90.【答案】x2y210x905.已知圓x2y24上一點為A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點.(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90，求PQ中點的軌跡方程.【解】(1)設(shè)AP中點為M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x2,2y).P點在圓x2y24上，(2x2)2(2y)24.故線段AP中點的