解析幾何第四版呂林根課后習題答案第一章.doc

此文檔收集于網絡，僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網站刪除第一章 矢量與坐標1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量終點各構成什么圖形？ （1）把空間中一切單位矢量歸結到共同的始點； （2）把平行于某一平面的一切單位矢量歸結到共同的始點； （3）把平行于某一直線的一切矢量歸結到共同的始點；（4）把平行于某一直線的一切單位矢量歸結到共同的始點. 解：（1）單位球面； （2）單位圓 A F B E C （3）直線； （4）相距為2的兩點2. 設點O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、 、O、 、和中，哪些矢量是相等的？解：如圖1-1，在正六邊形ABCDEF中，相等的矢量對是： 圖1-1 3. 設在平面上給了一個四邊形ABCD，點K、L、M、N分別是邊、 的中點，求證：. 當ABCD是空間四邊形時，這等式是否也成立？證明：如圖1-2，連結AC, 則在DBAC中， KLAC. 與方向相同；在DDAC中，NMAC. 與方向相同，從而KLNM且與方向相同，所以. 4. 如圖1-3，設ABCD-EFGH是一個平行六面體，在下列各對矢量中，找出相等的矢量和互為相反矢量的矢量：圖13(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 解：相等的矢量對是（2）、（3）和（5）； 互為反矢量的矢量對是（1）和（4）。 1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量應滿足什么條件？（1） （2）（3） （4）（5）解：（1）所在的直線垂直時有； （2）同向時有 （3）且反向時有 （4）反向時有 （5）同向，且時有1.3 數量乘矢量1 試解下列各題 化簡 已知，求，和 從矢量方程組，解出矢量，解 ， ， 2 已知四邊形中，對角線、的中點分別為、，求 解 3 設，證明：、三點共線 證明 與共線，又為公共點，從而、三點共線 4 在四邊形中，證明為梯形 證明 ，為梯形6. 設L、M、N分別是ABC的三邊BC、CA、AB的中點，證明：三中線矢量, , 可 以構成一個三角形. 證明： 從而三中線矢量構成一個三角形。7. 設L、M、N是ABC的三邊的中點，O是任意一點，證明+=+. 證明 = 由上題結論知： 8. 如圖1-5，設M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點，證明+4.圖1-5證明：因為(+), (+),所以 2(+)所以+4.9 在平行六面體（參看第一節(jié)第4題圖）中，證明 證明 10. 用矢量法證明梯形兩腰中點連續(xù)平行于上、下兩底邊且等于它們長度和的一半 證明 已知梯形，兩腰中點分別為、，連接、 ， ， ，即 ，故平行且等于 11. 用矢量法證明，平行四邊行的對角線互相平分. 證明：如圖1-4，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點圖1-4但 由于而不平行于， ，從而OA=OC，OB=OD。12. 設點O是平面上正多邊形A1A2An的中心，證明:+.證明：因為l,l,+l,l,所以 2(+)l(+),所以 (l2)(+).顯然 l2, 即 l20. 所以 +.13在12題的條件下，設P是任意點，證明：證明： 即 1.4 矢量的線性關系與矢量的分解1在平行四邊形ABCD中，（1）設對角線求解：設邊BC和CD的（2）中點M和N，且求。解： 2在平行六面體ABCD-EFGH中，設三個面上對角線矢量設為試把矢量寫成的線性組合。證明：， ， 圖1-73. 設一直線上三點A, B, P滿足l(l1),O是空間任意一點，求證：證明：如圖1-7，因為,所以 l (),(1+l)+l, 從而 .4. 在中,設.(1) 設是邊三等分點,將矢量分解為的線性組合;（2）設是角的平分線(它與交于點),將分解為的線性組合解：（1）， ，同理（2）因為 ,且 與方向相同，所以 .由上題結論有.5在四面體中，設點是的重心（三中線之交點），求矢量對于矢量的分解式。解：是的重心。連接并延長與BC交于P同理 C O （1） G P （2）A B （3） （圖1）由（1）（2）（3）得 即6用矢量法證明以下各題（1）三角形三中線共點證明：設BC，CA，AB中，點分別為L，M，N。AL與BM交于，AL于CN交于 BM于CN交于，取空間任一點O，則 A A 同理 N M B L C 三點重合 O 三角形三中線共點 （圖2） （第3頁）7已知矢量不共線，問與是否線性相關？證明：設存在不全為0的，使得即 故由已知不共線得與假設矛盾， 故不存在不全為0的，使得成立。所以線性無關。8. 證明三個矢量+3+2, 46+2，3+1211共面，其中能否用,線性表示？如能表示，寫出線性表示關系式.證明：由于矢量, , 不共面，即它們線性無關. 考慮表達式 l+m+v，即l (+3+2)+m (46+2)+v (3+1211),或 (l+4m3v) +(3l6m12v) +(2l+2m11v) .由于, , 線性無關，故有解得 l10，m1，v2.由于 l100，所以能用,線性表示.9證明三個矢量共面。證明： 三個矢量線性相關，從而三個矢量共面。l(),所以 l,從而 /.故 A，B，C三點共線. 1.5 標架與坐標3. 在空間直角坐標系O;下，求P(2,3,1)，M(a, b, c)關于 (1) 坐標平面；(2) 坐標軸；(3) 坐標原點的各個對稱點的坐標.解：M (a, b, c)關于xOy平面的對稱點坐標為(a, b, c)，M (a, b, c)關于yOz平面的對稱點坐標為(a, b, c)，M (a, b, c)關于xOz平面的對稱點坐標為(a,b, c)，M (a, b, c)關于x軸平面的對稱點坐標為(a,b,c)，M (a, b, c)關于y軸的對稱點的坐標為(a, b,c)，M (a, b, c)關于z軸的對稱點的坐標為(a,b, c).類似考慮P (2,3，1)即可.8. 已知矢量, , 的分量如下：(1) 0, 1, 2，0, 2, 4，1, 2, 1；(2) 1, 2, 3，2, 1, 0，0, 5, 6.試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫出表示式.解:(1) 因為 0,所以 , , 三矢量共面, 又因為, 的對應坐標成比例，即/，但，故不能將表成, 的線性組合. (2) 因為 0,所以 , , 三矢量共面.又因為 , 的對應坐標不成比例，即，故可以將表成, 的線性組合.設 l+m, 亦即0, 5, 6l1, 2, 3+m2, 1, 0從而 解得 l2，m1,所以 2.7已知A,B,C三點坐標如下：（1）在標架下，（2）在標架下，判別它們是否共線？若共線，寫出和的線形關系式.解：（1）因為 所以 共線（2）設，但不存在所以不共線.得 所以 .9. 已知線段AB被點C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,試求這個線段兩端點A與B的坐標.答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).10.證明：四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面重心距離的三倍. 用四面體的頂點坐標把交點坐標表示出來.證明：設四面體A1A2A3A4,Ai對面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(i1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點Pi，使3, 從而，設Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3, 4)，則G1,G2,G3,G4,所以P1(,)P1(,).同理得P2P3P4P1，所以AiGi交于一點P，且這點到頂點距離等于這點到對面重心距離的三倍.1.6 矢量在軸上的射影1已知矢量與單位矢量的夾角為，且，求射影矢量與射影，又如果，求射影矢量與射影.解 射影= 射影矢量= 射影= 射影矢量=2試證明：射影l(fā)(ll+ln)l1射影l(fā)+射影l(fā)+ln射影l(fā).證明：用數學歸納法來證.當n2時，有射影l(fā)(l1l2)射影l(fā)()+射影l(fā)()l1射影l(fā)+l2射影l(fā).假設當nk時等式成立，即有射影l(fā)()l1射影l(fā)+lk射影l(fā). 欲證當nk+1時亦然. 事實上射影l(fā)()射影l(fā)()+射影l(fā)()+射影l(fā)()l1射影l(fā)+lk射影l(fā)+lk+1射影l(fā)故等式對自然數n成立.1.7 兩矢量的數性積1證明：（1） 矢量垂直于矢量；（2）在平面上如 果，且 (i=1,2)，則有.證明：（1） =矢量垂直于矢量 （2） 因為 ,所以，對該平面上任意矢量lm,()()(lm)l()+m()l()+m()0,故 ().由的任意性知 .從而 .2已知矢量互相垂直，矢量與的夾角都是，且計算： 解： 計算下列各題 （1）已知等邊的邊長為且求； 已知兩兩垂直且 求的長和它與的夾角 已知與垂直，求的夾角 已知 問系數取何值時與垂直？ 解 且 設 設與的夾角分別為 ， ，即 ，即 得： 得： 頁后 圖1-114. 用矢量法證明以下各題：(1) 三角形的余弦定理 a2b2c22bccosA;(2) 三角形各邊的垂直平分線共點且這點到各頂點等距.證明：（1）如圖1-21，ABC中，設,，且|a，|b,|c. 則,2()22+222+22|cosA.圖1-12此即 a2b2+c22bccosA.(2) 如圖1-22，設AB, BC邊的垂直平分線PD, PE相交于P, D, E, F為AB, BC, CA的中點, 設, , , 則, , , (+), ().因為 , ,所以 (+)()(22)0,(+)()(22)0,從而有 222, 即 |2|2|2,所以 ()()(22)0,所以 , 且 |.故三角形各邊的垂直平分線共點且這點到各頂點等距. 已知平行四邊形以1，2，-1，1，-2，1為兩邊 求它的邊長和內角 求它的兩對角線的長和夾角 解： 或，. 已知的三頂點試求：三邊長 三內角 三中線長 角的角平分線矢量（中點在邊上），并求的方向余弦和單位矢量 解： ， = ， 設它的單位矢量為，且 =1.8 兩矢量的失性1.已知,試求: 解: 4.原式= .原式=92. 證明：（1）()222，并說明在什么情形下等號成立.（2） 如果+，那么，并說明它的幾何意義.如果,.那么與共線. 如果 那么, 共面. 證明: （1） ()2|2|2|2sin2(,)|2|222.要使等號成立, 必須sin2(,)1, 從而sin(,)1, 故(,)，即當時，等號成立.（2）由+, 有 (+), 但 ，于是 +,所以 .同理 由 (+), 有 ,從而 .其幾何意義是以三角形的任二邊為鄰邊構成的平行四邊形的面積相等.()()= = 與共線. =0 0 共面 3. 如果非零矢量(i1,2,3)滿足，那么,是彼此垂直的單位矢量，并且按這次序構成右手系.證明：由矢性積的定義易知,彼此垂直，且構成右手系. 下證它們均為單位矢量.因為 ，,所以 |, |,圖1-13所以 |2|.由于 |0，從而 |21，|1.同理可證 |1，|1.從而,都是單位矢量.4.已知: ,求與,都垂直,且滿足下列條件的矢量: 為單位矢量 ,其中. 解: 設.=0 =0 =1 由,得: 設. =10 由, 得: .5. 在直角坐標系內已知三點,試求: 三角形的面積 三角形的三條高的長. 解: , , =, . . , , . , , . 6.已知: , 試求: 以為邊的平行四邊形的面積. 這平行四邊形的兩條高的長. 解: . 7. 用矢量方法證明：（1）三角形的正弦定理.（2）三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式：D2p(pa)(pb)(pc).式中p(a+b+c)是三角形的半周長，D為三角形的面積.證明： (1) 如圖1-13，在ABC中，設，且|a，|b, |c, 則 +,從而有 ,所以 |,bcsinAcasinBabsinC,于是 .(2) 同上題圖，ABC的面積為D|,所以 D2()2.因為 ()2+()222,所以 D222()2.由于 +,從而 +，()22,所以 (222)(c2a2b2),故有 D2a2b2(c2a2b2)22ab(c2a2b2)2ab+(c2a2b2)(a+b)2c22(ab)2(a+b+c)(a+bc)(c+ab)(cab) 2p(2p2c)(2p2b)(2p2a).所以 D2=p(p-a)(p-b)(p-c),或 D=.1.9 三矢量的混合積1. 設, , 為三個非零矢量，證明(3) (, , +l+m) =(, , );(4 ) (, , ) =2(, , ).證明：(1)左端=()(+l+m)=()+()(l)+()(m)=()+l()+m()=()+l()+m()=()=右端.(2) 左端=(+)(+)(+)=+(+)=()+()+()+()+()+()=()+()=2()=右端.2 設徑矢, , , 證明 ()()()垂直于ABC平面. 證明:由于 =,所以 .同理可證 .所以 平面ABC.3=+,+, =+,試證明 ()=(,).證明： =()+()+() ()=()=c3()+a3()+b3()=()=(,).4.已知直角坐標系內矢量的分量,判別這些矢量是否共面?如果不共面,求出以它們?yōu)槿?