北京市人大附中高中數(shù)學(xué)第一章解三角形課件人教版必修五1.2 正、余弦定理應(yīng)用舉例.ppt

1 2正 余弦定理應(yīng)用舉例 中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué) 實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用模型 問(wèn)題1 怎樣測(cè)量一個(gè)底部不能到達(dá)的建筑物的高度 如圖 在北京故宮的四個(gè)角上各矗立著一座角樓 如何通過(guò)測(cè)量 求得角樓的高度 分析 如圖 設(shè)線段ab表示角樓的高度 在宮墻外護(hù)城河畔的馬路邊 選位置c對(duì)角樓進(jìn)行測(cè)量 設(shè)cc 為測(cè)量?jī)x器的高 過(guò)點(diǎn)c 的水平面與ab相交于點(diǎn)b 這時(shí)由測(cè)點(diǎn)c 可測(cè)得點(diǎn)a的仰角 的大小 在 ab c 中 三條邊的長(zhǎng)度都無(wú)法測(cè)出 因而ab 無(wú)法求得 如果移動(dòng)測(cè)量?jī)xcc 到dd 測(cè)量?jī)x高度不變 想想看 我們能測(cè)得哪些數(shù)據(jù) 使問(wèn)題得以解決 事實(shí)上 如圖所示 在點(diǎn)b c d 構(gòu)成的三角形中 可以測(cè)得 和 的大小 又可測(cè)得b c 的長(zhǎng) 這樣 我們就可以根據(jù)正弦定理求出邊b c 的長(zhǎng) 從而求出ab 的長(zhǎng) 使得問(wèn)題得到解決 某校用自制的儀器 測(cè)得 20 99 45 cd 60m 測(cè)量?jī)x器的高是1 5m 試求出故宮角樓的高度 精確到0 1米 解 在 b c d 中 由正弦定理得 因此 在 ab c 中 ab b c tan 72 17 tan20 26 3m 因此 ab ab bb 26 3 1 5 27 8 m 答 故宮角樓的高約為27 8m 問(wèn)題2怎樣測(cè)量地面上兩個(gè)不能到達(dá)的地方間的距離 設(shè)a b是兩個(gè)海島 如何測(cè)量它們之間的距離 分析 如圖 a b分別是兩個(gè)海島上接近海面的兩處標(biāo)志性設(shè)施 與問(wèn)題1類(lèi)似 如果只旋轉(zhuǎn)一個(gè)測(cè)點(diǎn)c 那么在 abc中只能測(cè)得 acb的大小 問(wèn)題不能得到解決 因此需要再選擇一個(gè)測(cè)點(diǎn)d 構(gòu)造一個(gè)能測(cè)出其一條邊長(zhǎng)的 bcd 要求出ab 還應(yīng)先求出ac和bc 為此應(yīng)先解決 acd和 bcd 解 如圖在海邊適當(dāng)選取兩個(gè)測(cè)點(diǎn)c d 使a b c d在一個(gè)平面內(nèi) 測(cè)得cd a acb adc bcd bdc 在 bcd中 由正弦定理 得 即 在 acd中 a 180 由正弦定理 得 在 abc中 由余弦定理 得ab2 bc2 ac2 2bc accos 把bc ac代入上式即可求出ab 問(wèn)題3 如圖 墻上有一個(gè)三角形燈架oab 燈所受的重力為10n 且oa ob都是細(xì)桿 只受沿桿方向的力 試求桿oa ob所受的力 分析 點(diǎn)o處受到三個(gè)力的作用 燈線向下的拉力 記為f o到a方向的拉力 記為f1 從b到o方向的支持力 記為f2 這三個(gè)力是平衡的 即f f1 f2 0 解 如圖作 將f沿a到o o到b兩個(gè)方向進(jìn)行分解 作 oced 則 由題設(shè)條件可知 在 oce中 由正弦定理得 因此 答 燈桿ao所受的拉力為11 3n 燈桿ob所受的壓力為12 3n 問(wèn)題4 如圖 在海濱某城市附近海面有一臺(tái)風(fēng) 據(jù)檢測(cè) 臺(tái)風(fēng)中心位于城市a的南偏東30 方向 據(jù)城市300km的海面p處 并以20km h的速度向北偏西45 方向移動(dòng) 如果臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域 半徑為120km 幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲 精確到0 1h 解 如圖所示 設(shè)臺(tái)風(fēng)的中心x小時(shí)到達(dá)位置q時(shí) 開(kāi)始侵襲該城市 在 aqp中 依題意 得aq 120km ap 300km pq 20 x p 60 45 15 a 180 15 q 165 q 由正弦定理 得方程組 由 得 所以 q 40 3 不合題意舍去 q 139 7 因此 a 180 15 139 7 25 3 代入 得 所以 答 大約9 9小時(shí)后 該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲 例5 甲船在a點(diǎn)發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60 的b處 乙船以每小時(shí)a海里的速度向北行駛 已知甲船的速度是每小時(shí)a海里 問(wèn)甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn) 才能最快與乙船相遇 解 如圖所示 設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)兩船在c點(diǎn)相遇 則在 abc中 有bc at ac at b 90 30 120 由 得 因?yàn)? cab 90 所以 cab 30 故 dac 60 30 30 答 甲船應(yīng)沿北偏東30 的方向前進(jìn) 才能最快與乙船相遇 例4 如圖所示 a是海面上一條南北方向的海防警戒線 在a上點(diǎn)a處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn) 另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)b c分別在a的正東方20km處和54km處 某時(shí)刻 檢測(cè)點(diǎn)b收到發(fā)自靜止目標(biāo)p的一個(gè)聲波 8s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)a 20s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)c相繼收到這一信號(hào) 在當(dāng)時(shí)的氣象條件下 聲波在水中的傳播速度是1 5km s 1 設(shè)a到p的距離為xkm 用x表示b c到p的距離并求x的值 2 求靜止目標(biāo)p到海防警戒線a的距離 結(jié)果精確到0 01km 解 1 依題意知pa pb 1 5 8 12 km pc pb 1 5 20 30 km 因此pb x 12 km pc 18