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學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò),僅供參考主要公式總結(jié)第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)1、 二次曲面1) 橢圓錐面:2) 橢球面: 旋轉(zhuǎn)橢球面:3) 單葉雙曲面: 雙葉雙曲面:4) 橢圓拋物面: 雙曲拋物面(馬鞍面):5) 橢圓柱面: 雙曲柱面:6) 拋物柱面:(二) 平面及其方程1、 點(diǎn)法式方程: 法向量:,過點(diǎn)2、 一般式方程:截距式方程:3、 兩平面的夾角:, ; 4、 點(diǎn)到平面的距離:(三) 空間直線及其方程1、 一般式方程:2、 對(duì)稱式(點(diǎn)向式)方程: 方向向量:,過點(diǎn)3、 兩直線的夾角:, ; 4、 直線與平面的夾角:直線與它在平面上的投影的夾角, ; 第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、 連續(xù):2、 偏導(dǎo)數(shù): ;3、 方向?qū)?shù): 其中為的方向角。4、 梯度:,則。5、 全微分:設(shè),則(一) 性質(zhì)1、 函數(shù)可微,偏導(dǎo)連續(xù),偏導(dǎo)存在,函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系:偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)充分條件必要條件定義122342、 微分法1) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):鏈?zhǔn)椒▌t 若,則 ,(二) 應(yīng)用1) 求函數(shù)的極值 解方程組 求出所有駐點(diǎn),對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn),令, 若,函數(shù)有極小值, 若,函數(shù)有極大值; 若,函數(shù)沒有極值; 若,不定。2、 幾何應(yīng)用1) 曲線的切線與法平面曲線,則上一點(diǎn)(對(duì)應(yīng)參數(shù)為)處的切線方程為:法平面方程為:2) 曲面的切平面與法線曲面,則上一點(diǎn)處的切平面方程為: 法線方程為:第十章 重積分(一) 二重積分 :幾何意義:曲頂柱體的體積1、 定義:2、 計(jì)算:1) 直角坐標(biāo), , 2) 極坐標(biāo) , (二) 三重積分1、 定義: 2、 計(jì)算:1) 直角坐標(biāo) -“先一后二” -“先二后一”2) 柱面坐標(biāo),3) 球面坐標(biāo)(三) 應(yīng)用曲面的面積:第十一章 曲線積分與曲面積分(一) 對(duì)弧長的曲線積分1、 定義:2、 計(jì)算:設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù),的參數(shù)方程為,其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則(二) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1、 定義:設(shè) L 為面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,函數(shù),在 L 上有界,定義,.向量形式:2、 計(jì)算:設(shè)在有向光滑弧上有定義且連續(xù), 的參數(shù)方程為,其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則3、 兩類曲線積分之間的關(guān)系:設(shè)平面有向曲線弧為,上點(diǎn)處的切向量的方向角為:,則.(三) 格林公式1、 格林公式:設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,函數(shù)在D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有2、為一個(gè)單連通區(qū)域,函數(shù)在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則 曲線積分 在內(nèi)與路徑無關(guān)(四) 對(duì)面積的曲面積分1、 定義:設(shè)為光滑曲面,函數(shù)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),定義 2、 計(jì)算:“一單二投三代入”,則(五) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、 定義:設(shè)為有向光滑曲面,函數(shù)是定義在上的有界函數(shù),定義 同理, ;2、 性質(zhì):1),則計(jì)算:“一投二代三定號(hào)”,在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),在上連續(xù),則,為上側(cè)取“ + ”, 為下側(cè)取“ - ”.3、 兩類曲面積分之間的關(guān)系:其中為有向曲面在點(diǎn)處的法向量的方向角。(六) 高斯公式1、 高斯公式:設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成, 的方向取外側(cè), 函數(shù)在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有或2、 通量與散度通量:向量場通過曲面指定側(cè)的通量為:散度:(七) 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式:設(shè)光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S 的側(cè)與 G 的正向符合右手法則, 在包含 在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:2、 環(huán)流量與旋度環(huán)流量:向量場沿著有向閉曲線G的環(huán)流量為旋度:第十二章 無窮級(jí)數(shù)(一) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、 定義:1)無窮級(jí)數(shù):部分和:,正項(xiàng)級(jí)數(shù):,交錯(cuò)級(jí)數(shù):,2)級(jí)數(shù)收斂:若存在,則稱級(jí)數(shù)收斂,否則稱級(jí)數(shù)發(fā)散3)條件收斂:收斂,而發(fā)散;絕對(duì)收斂:收斂。2、 性質(zhì):1) 改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的收斂性;2) 級(jí)數(shù),收斂,則收斂;3) 級(jí)數(shù)收斂,則任意加括號(hào)后仍然收斂;4) 必要條件:級(jí)數(shù)收斂.(注意:不是充分條件!)3、 審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù):,1) 定義:存在;2) 收斂有界;3) 比較審斂法:,為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且 若收斂,則收斂;若發(fā)散,則發(fā)散.4) 比較法的推論:,為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),而收斂,則收斂;若存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),而發(fā)散,則發(fā)散. 5) 比較法的極限形式:,為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若,而收斂,則收斂;若或,而發(fā)散,則發(fā)散.6) 比值法:為正項(xiàng)級(jí)數(shù),設(shè),則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.7) 根值法:為正項(xiàng)級(jí)數(shù),設(shè),則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.8) 極限審斂法:為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若或,則級(jí)數(shù)發(fā)散;若存在,使得,則級(jí)數(shù)收斂.交錯(cuò)級(jí)數(shù):萊布尼茨審斂法:交錯(cuò)級(jí)數(shù):,滿足:,且,則級(jí)數(shù)收斂。任意項(xiàng)級(jí)數(shù):絕對(duì)收斂,則收斂。常見典型級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù): ; p -級(jí)數(shù):(二) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、 定義:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),收斂域,收斂半徑,和函數(shù);2、 冪級(jí)數(shù):3、 收斂半徑的求法:,則收斂半徑 4、 泰勒級(jí)數(shù) 展開步驟:(直接展開法)1) 求出;2) 求出;3) 寫出;4) 驗(yàn)證是否成立。間接展開法:(利用已知函數(shù)的展開式)1);2);3);4);5)6)7)8)5、 傅里葉級(jí)數(shù)1) 定義:正交系:函數(shù)系中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間上積分為零。傅里葉級(jí)數(shù):系數(shù): 2) 收斂定理:(展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2p的周期函數(shù), 并滿足狄利克雷(
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