專題四：三角形中的三角問題含向量.doc

高三數(shù)學微專題四三角形中的三角向量問題（含向量）一、 基礎回顧 1在ABC中，M是BC的中點，AM3，BC10，則_2在邊長為1的正三角形ABC中，設2，3，則_.3在ABC中，a，b，c為內角A，B，C的對邊，向量m(1，)與n(cos A，sin A)平行，且acos Bbcos Acsin C，則角B_.4在ABC中，C，AC1，BC2，則f()|2(1)|的最小值是_二、 典型例題 例1如圖，在OAB中，已知P為線段AB上的一點，xy.(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且與的夾角為60時，求的值例2如圖所示，已知ABC的面積為14 cm2，D，E分別是AB，BC上的點，且2，, 求APC的面積例3.的三個內角依次成等差數(shù)列 （）若，試判斷的形狀； （）若為鈍角三角形，且，試求代數(shù)式的取值范圍例4已知點A，B，C是直線l上不同的三點，點O是l外一點，向量，滿足(ln xy)0，記yf(x)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)若對任意的x1,2，不等式|aln x|ln(f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍三、 同步練習1設O是ABC內部的一點，P是平面內任意一點，且222，則ABC和BOC的面積之比為 2在四邊形ABCD中，(1,1)，則四邊形ABCD的面積為_3在ABC中，已知a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，S為ABC的面積，若向量p(4，a2b2c2)，q(1，S)滿足pq，則C_.4設兩個向量a(2，2cos2 )和b，其中，m，為實數(shù)若a2b，則的取值范圍是_5 在ABC中，M是BC的中點，|1，2，則()_.6ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，BC，則_.7在ABC中，已知BC2，1，則ABC的面積SABC最大值是_8. 給出下列三個命題（1）若00恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解析(1)由題意，得(ln xy)，且A，B，C三點共線，所以(ln xy)1，所以yf(x)ln xx2(x0)(2)因為f(x)x，所以|aln x|ln，即aln xln恒成立因為ln xlnlnln在1,2上取最小值ln 2，ln xlnln(x21)在1,2上取最大值ln 5，所以a的取值范圍是(，ln 2)(ln 5，)三、 同步練習 1設O是ABC內部的一點，P是平面內任意一點，且222，則ABC和BOC的面積之比為 51 2在四邊形ABCD中，(1,1)，則四邊形ABCD的面積為_3在ABC中，已知a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，S為ABC的面積，若向量p(4，a2b2c2)，q(1，S)滿足pq，則C_.4設兩個向量a(2，2cos2 )和b，其中，m，為實數(shù)若a2b，則的取值范圍是_6,1_解析由a2b，得由2mcos22sin 2(sin 1)2，得22m2，又2m2，則24(m1)2m2，解得m2，而2，故61.5在ABC中，M是BC的中點，|1，2，則()_.解析因為M是BC的中點，所以2，又2，|1，所以()24|2|2.6ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，BC，則_.7在ABC中，已知BC2，1，則ABC的面積SABC最大值是_解析以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則B(1,0)，C(1,0)設A(x，y)則(1x，y)，(1x，y)，于是(1x)(1x)(y)(y)x21y2.由條件1知x2y22，這表明點A在以原點為圓心，為半徑的圓上當OABC時，ABC面積最大，即SABC28 給出下列三個命題（1）若0tanAtanB1，則ABC一定是鈍角三角形；（2）若lgcosA=lgsinClgsinB=lg2, 則ABC是等腰直角三角形；（3）若cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，則ABC一定是等邊三角形以上正確命題的序號是： 9已知ABC所在平面上的動點M滿足222，則M點的軌跡過ABC的_外_心解析如圖，設N是BC的中點，則由2()()2，得()0，即0，所以，所以M點的軌跡過ABC的外心10已知中，邊上的高與邊的長相等，則的最大值為 11ABC 內接于以O為圓心，1為半徑的圓，且（1）求數(shù)量積；（2）求ABC的面積解析（1）兩邊平方，得，同理可得，（2）由，可得，由，得，同理求得其他三角形面積，所以12設函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sinx. （1）求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期. （2）設A,B,C為ABC的三個內角，若cosB=，f()=，且C為銳角，求sinA.解析（1）f(x)= 函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期. （2）f()=， C為銳角，,sinA =cosB=. 13在ABC中，A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知向量m(1,2sin A)，n(sin A,1cos A)，且滿足mn，bca.(1)求A的大小；(2)求sin的值解析(1) A.(2)bca，由正弦定理，得sin Bsin Csin A.因為BC，所以sin Bsin.所以cos Bsin B，即sin.14已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點，作PQl，垂足為Q，且()()0.(1)求動點P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最值解析(1)設P(x，y)，則Q(8，y)由()()0，得|PC|2|PQ|20，即(x2)2y2(x8)20，化簡得1.所以點P在橢圓上，其方程為1. (2)因()()()()()2221，